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微分几何教案（二十一） 曲面上的测地线：6.1曲面上曲线的测地曲率6 曲面上的测地线本节讨论的是曲面的内在几何学，即研究仅由曲面的第一基本形式决定的几何性质。但为方便和直观起见，有些内在几何性质的引入，仍将借助于曲面的法向量，即借助于曲面的第二基本形式。6.1 曲面上的测地线给出一个曲面S：，（C）是S上的一条曲线：，是（C）的自然参数。设P是（C）上一点，分别是单位切向量、主法向量和副法向量.再设是曲面S在P点的单位法向量，是与的夹角。则曲面S在P点的切向量上的法曲率是，其中k为曲线(C)在P点的曲率.命，则是彼此正交的单位向量，并且构成右手系。 一 测地曲率的定义 定义 曲线(C)在P点的曲率向量在上的投影(也就是在p点的切平面上的投影) 称为曲线(C)在P点的测地曲率。注：由定义,。如果设与的夹角是,则还有。 命题1 。 证明 设与的夹角是，则 ，所以 。二 测地曲率的几何意义 命题2 曲面S上曲线(C)它在P点的测地曲率的绝对值等于(C) 在P点的切平面上的正投影曲线的曲率.证明 过(C)的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线,于是得一柱面.这柱面和S在P点的切平面的交线就是. (C)和都是柱面上的曲线.取为柱面上P点的法向量(见上图) ,柱面上过P点的在(C)的切方向上的法截线就是.由法曲率的定义知,柱面在这方向上的法曲率的绝对值等于在P点的曲率.但在柱面上,这个法曲率又等于(C)在P点的曲率乘以与的夹角的余弦,即。这正是(C)在P点的测地曲率。所以(C)在P点的测地曲率的绝对值等于在P点的曲率。 说明： 对照该命题可以写出法曲率的几何意义：曲面S上曲线(C)它在P点的法曲率的绝对值等于(C)在P点的法截面上的投影曲线的曲率。 推论 曲面上直线的测地曲率等于零。这是因为，直线在平面上的投影是直线，直线的曲率为零，所以曲面上的直线在每一点的测地曲率的绝对值是零，从而测地曲率等于零. 或由也可知。三 测地曲率的计算公式 给出一个曲面S：，(C)是 S上一条曲线：，是（C）的自然参数。则计算曲线(C)在一点P的测地曲率的公式是: 。证明 ， ， 所以，= 而。故所证公式成立。推论 曲面的坐标网是正交网时。其中是（C）的切向与的夹角。这个公式叫刘维尔（Liouville）公式。或 ，其中分别表示u-线和v-线的测地曲率 。证明 将F=0及其F=0下的带入的计算公式整理后得： 令（C）的切向与的夹角，即，又 。比较上面两式得，所以有 ，将此带入上面的表达式中，整理后得：= 对于u-线，代入上式得，对于v-线,代入上式得 。所以推论成立.说明1. 由刘维尔公式可知，测地曲率只与E,G及其导数和曲线的切向与的夹角有关,而夹角可用第一基本形式来确定，因此，测地曲率是曲面的内在几何量。这与法曲率不同。2. 若S是平面，(u,v)看作直角坐标，这时E=G=1,F=0,从而，这与平面
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