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微分几何教案（八） 空间曲线 ： 4.6一般螺线 5 一般螺线由曲线的基本定理告诉我们，曲线的曲率和挠率完全确定了曲线的形状。曲率和挠率满足不同的条件，就会得到不同类型的曲线。如k=0,直线；k = 常数 ，圆；k=常数，圆柱螺线。 下面给出一种特殊的曲线般螺线。它的讨论对于了解曲线的理论是非常必要的。1 一般螺线的定义定义：切线与固定方向作固定角的曲线叫做一般螺线。例1 圆柱螺线的切线与固定方向作固定角，所以圆柱螺线属于一般螺线。在长方形的纸上划一条斜的直线，当纸卷在圆柱面上时则斜线卷成了圆柱螺线，如果把纸卷在一个任意的柱面上时则斜线卷成了一般螺线。例2容易证明是一般螺线，因其切线也与z轴做固定角。因该曲线在二次锥面上，故称其为锥面螺线。注：按定义，直线和平面曲线也是一般螺线。但下面的讨论我们只限于挠曲线（因为直线没有主法向量，平面曲线挠率）。事实上，有的教材就把切线与固定方向作固定角的挠曲线叫做一般螺线。2 一般螺线的性质 命题1 一般螺线的主法线与固定方向垂直。证明 设为固定方向上的一个单位向量，由一般螺线定义，一般螺线的切向量与作固定角。即（常数），所以，由伏雷内公式得，而，所以，即，所以一般螺线的主法线与固定方向垂直。命题2 一般螺线的副法线与固定方向作固定角。证明 由命题1，而作固定角，因此也作固定角。 命题3 一般螺线的曲率与挠率之比为常数。即=常数。证明 由命题1，。， ，（，因若，则也有，这是不可能的）是常数。说明 命题1，2，3的条件不仅是必要的，也是充分的。因此三个条件都可作为一般螺线的定义。命题3的逆命题的证明如下：若所以是常向量，与其作固定角。所以曲线为一般螺线。 例3 设曲线的副法向量，求它的切向量与主法向量。并证明它的曲率与挠率之比是常数。 证明 ，所以与固定方向成定角，所以为一般螺线。所以它的曲率与挠率之比是常数。 因为，设，则。3 一般螺线的方程取固定方向为z轴的方向，其上单位矢量记为。设一般螺线方程为（常数），即.(设z=0时s=0) .于是一般螺线的方程为其中为任意的函数。可见一般螺
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