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微分几何教案（十三） 曲面的第二基本形式：2.13 曲面的第二基本形式3.1 曲面的第二基本形式2讨论的是曲面的第一基本形式。第一基本形式在等距变换下不变，第一基本形式确定的曲面的性质或量在等距变换下不变的。如弧长、面积、曲线的交角。就是说第一基本形式刻画了曲面本身的内在性质，这些性质与曲面在空间的位置，与曲面的弯曲没有关系。为了研究空间曲面的弯曲性，本节介绍曲面的第二基本形式。SPQ(C)设类曲面的方程是，即有二阶连续偏导矢。现在固定曲面上一点P(u,v),设曲面在P点的切平面是。下面先介绍1. 曲面S上的点到其邻近点P的切平面的有向距离设在过P点的曲线(C)：u=u(s),v=v(s)或上，s为(C)的自然参数。P与的自然参数分别为 ,则,其中。设为曲面S在P点的单位法向量，由作平面的垂线，垂足为Q.如果=, 则称为为从平面到曲面S的有向距离（ 与同向时,， 与反向时，）。因为，所以。当时，的主要部分是， 2. 曲面的第二基本形式 由于，又因为，故 引进记号： 则 定义 称为曲面的第二基本形式 ，它的系数L、M、N 叫做曲面的第二类基本量。 说明（1）由定义曲面的第二基本形式近似的等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的程度。即刻画了曲面在空间中的弯曲性。 （2）第二基本形式不一定是正定的。即可正可负，曲面向正侧弯曲时为正，曲面向反侧弯曲时为负。所以第二基本形式的符号刻画了曲面的弯曲（相对于）的方向。（3） 因为，所以也有。（4）第二基本量的计算可按下式：， （5）第二基本形式、第二类基本量的另一表示形式，证明 因为,微分得：，所以。因为, 对u,v分别微分得：， ，所以，因为，对u,v分别微分得：，所以，所以。3. 求第二基本形式举例 例1计算球面的第二基本形式。解 。 。例2 计算z=z(x,y)的第二基本形式.解 曲面的向量方程 记， 则所以第一基本形式。
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