数学建模竞赛论文-制动器试验台的控制方法分析1.doc

制动器试验台的控制方法分析摘要汽车制动器的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检测制动器的综合性能，要在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。将路试车辆指定车轮在制动时承受载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量称为等效的转动惯量。用飞轮的机械惯量去等效模拟，对于不能精确地用机械惯量模拟试验的，先做近似的等效，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。本文根据相关的物理学知识、并对实际问题进行一定的假设，建立相关微分方程模型，同时借用excel表格进行数据整合与分析、matlab编程处理相关数据，从而对模型进行求解。根据题中评价控制方法优劣的数量指标（能量误差的大小：所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差），对问题进行评价。关键词：转动惯量；微分方程模型；电流控制；离散；评价推广目 录0 问题提出31问题分析52 模型假设63 符号说明74模型建立与求解84.1第一问的求解84.2问题二的求解84.3问题三的求解94.4第四问的求解104.5第五问的求解114.6问题六的求解145 模型的评价与改进176模型的评价与推广187 参考文献198 附录200 问题提出制动器试验台一般是由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。其工作原理为电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就完成一次制动。在试验台上，当等效的转动惯量不等于其机械惯量可选值时，就需要将与该等效转动惯量较为接近的机械惯量作为本次试验的固定机械惯量值，然后再用电动机将由于机械惯量不足而缺少的能量补足，使其满足模拟试验的原则。假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 a/nm）； 且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。在工程实际中，测电动机驱动电流与时间之间关系的常用计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。常用评价控制方法优劣的指标是能量误差。题中涉及到的相关概念：1、 等效的转动惯量：路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量就称为等效的转动惯量。2、 基础惯量：试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。3、 机械惯量：固定在主轴上的若干个飞轮的转动惯量之和再加上基础惯量就称为机械惯量。4、 能量误差：指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。根据以上所给信息，解答下列问题：（1）设车辆单个前轮的滚动半径为，制动时承受的载荷为，求等效的转动惯量。（2）假设飞轮组由3个外直径、内直径的环形钢制飞轮组成，厚度分别为、，钢材密度为，基础惯量为问可以组成哪些机械惯量？若设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为，那么对于问题（1）中得到的等效的转动惯量，还需要用电动机补偿多大的惯量？（3）建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。（4）附表是用某种控制方法对所设计的路试等效的转动惯量为，机械惯量为，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为的情况试验得到的数据。通过分析数据，对该方法执行的结果进行评价。（5）按照第（3）问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。（6）第（5）问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。1问题分析 在理想的路试中（即不考虑其他外界条件，如滑动摩擦力），以恒定的力踏下制动踏板，汽车以恒定的加速度做匀减速运动。但是在等效模拟实验中，由于飞轮组机械惯量的不连续性，无法精确模拟实际状况（即飞轮组提供的机械惯量不能完全等于汽车的等效惯量），所以必须由驱动电流补偿不足的转动惯量，驱动电流产生驱动扭矩，使得实验室中制动扭矩做功模拟路试时的制动扭矩做功，并且试验室中轮轴转速模拟路试时的实际转速，从而达到全真模拟的效果，分析其相关指标，以判断品质的优劣。 在模拟试验中，任意时间段内制动扭矩做功应该等于路试的理想情况下制动扭矩做的功，据此可以建立微分方程模型。分析题目给出的实验数据，可以发现，转速数据以及制动扭矩数据在初期都有较大变化，而后转速数据趋于线性，而制动扭矩数据在小范围内波动。两组数据的变化与波动应该与随机因素有关，最终造成能量误差。虽然随机因素的出现是不可预测的，但是，通过计算机监测可以及时发现不确定因素的出现，然后控制驱动电流，在接下来的一段时间内调整转速，补偿由于不确定因素带来的做功模拟以及转速模拟的偏差。据此可以建立针对不确定因素干扰修正系统的微分方程模型。2 模型假设1、 路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动；2、 假设汽车在路试时受到恒定的制动力，因而其在理想路试的状态下作匀减速运动；3、 试验台上制动器的制动过程与所设计的路试时车上制动器的能量控制制动过程理论上一致；4、 主轴的角速度与车轮的角速度始终一致；5、 试验中轮轴的转速也可以直接读出，所以作为已知函数；6、 试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为；7、 由于制动扭矩不可控制，但可从试验中直接读出，我们认为它是一个已知函数，并且不受轮轴转速微小变动的影响；8、 试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量；9、 把整个制动时间离散化为许多小的时间段；10、忽略试验数据的获得过程的主观误差和仪器误差，且实验过程中仪器运转良好无损坏；3 符号说明符号名称类型单位含义变量时间变量时刻的驱动力矩变量时刻主轴的角速度常量汽车减速时的加速度常量重力加速度常量汽车减速时的角加速度常量制动力所做的功常量路试系统动能的增量变量时刻电动机的驱动电流常量电动机的驱动电流与其产生的扭矩的比例系数变量汽车等效的转动惯量变量模拟系统的机械惯量常量初始角速度常量末角速度变量实际能量差变量理论能量差变量1能量差的相对误差4模型建立与求解4.1第一问的求解设车辆单个前轮的滚动半径为，制动时承受的载荷为，求等效的转动惯量。求解：汽车平动所具有的动能为： 飞轮组系统转动时所具有的动能为： 据题中“将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量”可知： 又有 由式可得： 代入数据可解得：4.2问题二的求解飞轮组由3个外直径、内直径的环形钢制飞轮组成，厚度分别为、，钢材密度为，基础惯量为问可以组成哪些机械惯量？若设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为，那么对于问题（1）中得到的等效的转动惯量，还需要用电动机补偿多大的惯量？求解：飞轮对主轴的转动惯量（基础惯量）为： 上式的具体推导过程详见附件（2）。（1） 外直径、内直径，厚度为的环形钢制飞轮的基础惯量为：（2） 外直径、内直径，厚度为的环形钢制飞轮的基础惯量为：（3） 外直径、内直径，厚度为的环形钢制飞轮的基础惯量为： 飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。 所以这三个基础惯量分别为，基础惯量为可组成的下列机械惯量：（1） 无飞轮：（2） 一个飞轮：（3） 两个飞轮：（4） 三个飞轮： 电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为，所以我们可以设计两种方案：第一种：选用机械惯量为的飞轮组合，需要用电动机补偿的惯量；第二种：选用机械惯量为的飞轮组合，需要用电动机补偿的惯量4.3问题三的求解建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。求解：初始速度为，制动5.0秒后车速为零，且制动减速度为常数，据匀变速直线运动速度与时间的关系有：可知：一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 a/nm）所以有：据相关物理知识有：第一种：选用机械惯量为的飞轮组合，需要用电动机补偿的惯量；第二种：选用机械惯量为的飞轮组合，需要用电动机补偿的惯量所建立的模型是：设时刻驱动扭矩为，主轴的角加速度为，经过时间，主轴的角加速度变化所以时间内制动力矩所做的功为：模拟路试系统动能的增量为：据模拟与实际的等效型可知：即电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 a/nm）4.4第四问的求解对所设计的路试等效的转动惯量为，机械惯量为，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为的情况试验得到的数据。通过分析数据，对该方法执行的结果进行评价。求解：将时间离散化，把整个刹车过程等分为个时间段，记为时间步长，第个时间段为。设时的角速度为，制动扭矩为，等效的转动惯量为，初始角速度为. 则在整个制动过程中，理论上能量应该减少而实际上能量减少为 于是，相对误差定义为程序运算详见附录，计算结果如下：计算可得到总能量的相对误差为：4.5第五问的求解按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。求解：在第3问中，我们可以导出如下的数学模型 该模型中，等效惯量为，机械惯量为，由题中附表中的数据用matlab可拟合得图一图一我们可以看出，除在初始时刻，其转速与时间成线性关系变化，故在图二中用直线逼近。图二由模型我们知道在理想状态下，其转速与时间成线性关系变化，即理想状态下其关系为一条直线。故我们可以相应的忽略一定的误差，可做理想状态处理。从图形当中，我们可以近似当作瞬时转速随时间是均匀变化的，此时，我们可以把瞬时电流用瞬时转速表示出来，即：考虑到瞬时转速是均匀变化到，我们可以把上式等效成此时，我们便可以设计出根据前段时间到瞬时电流，求出本时间段电流值的计算机控制方法 把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如为一段，然后逐一求取每个时间段的角加速度，这个过程逐次进行，直至完成制动，最后再求解整个制动过程中角加速度的平均值，我们可以近似认为这便是角加速度到真实值，即真实值为：代入数据可得由此我们可得设计方案电流与时间的关系为：而在所处理方法时，我们所得到的角加速度值实际为利用matlab软件（见附件），可以求得因此，我们就可以求出控制方法电流值的相对误差为：代入数据得：问题五中的控制方法成功与否很大程度上取决于扭矩的准确测量，若是扭矩贴片传感器测不准或是存在较大误差那么控制精度将会大打折扣。为避免对扭矩测量精度的过分依赖，提高控制的可靠性，在通过扭矩误差分析的同时也可以引入对瞬时转速的误差分析，通过对扭矩和瞬时转速误差的综合分析，计算当前的电流调节量，通过这样的方法相信定能取得更好的控制效果。 评价：由于瞬时速度误差分析的加入，大大降低了对扭矩传感器精度的过分依赖。同时通过对误差的综合分析，可以根据两处误差的对比判断是否传感器的测量受到了干扰，从而达到软件去噪的效果，进而有利于提高控制系统的可靠性和稳定性。4.6问题六的求解第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。求解：在问题5中，我们初略的把整个控制过程中的角速度看成是均匀变化的，这样便产生了比较大的误差，仔细看瞬时角速度与时间关系图表，我们发现，在、这三个时间段，它们各自的角加速度基本是一致的，这样，我们便可以把控制过程分成三个部分，这三个部分各自的角速度是均匀变化的，下面我们求解每个时间段角加速度的累积和。在时：在时：在时：下面我们来计算改进后的角速度：此时，控制电流值为：现在，我们来对这个方案进行误差分析，其相对误差为代入数据可得：在问题5的解答中，我们粗略的认为在整个控制过程中，角加速度是均匀变化的，这就给我们的计算造成了比较大的误差，在问题6中,我们利用问题5中所建立的求解模型，在此基础上采用逐段求解、整合的办法，这样就大大的降低了计算结果与实际之间的误差。5 模型的评价与改进模型的优点：我们的模型充分结合了物理学方面的知识，思路简明，对制动器的刻划精细深刻。设计的控制方法控制精度较高，易于实现。模型的不足之处：设计的控制方法在制动力矩改变趋势的时刻与路试曲线的吻合度还不是很高。可行的改进方向：1.刚开始的若干时刻按我们设计的控制方法进行控制，得到一系列制动扭矩的数据，用这些数据做样本训练神经网络，预测下一个时刻的制动扭矩，从而计算出下一个时刻的电流扭矩，从而决定下一个时刻的电流值。且随着试验过程的进行，每得到一个数据就将该数据作为样本，剔除最老的一个样本，用新的样本重新进行神经网络训练，再得到下面时刻的制动扭矩值。也可以用ar自回归预测下一时刻的制动扭矩。2.对制动扭矩数据进行插值，得出两个时刻之间的一系列时刻的扭矩值，这样，我们的数据就更多了，且以更小的时间间隔进行控制，控制精度就会上升。6模型的评价与推广微分方程模型是一类常用的数学模型，常用于描述对象的特性随时间（或空间）演变的过程，预测未来动态，研究控制手段。本文提出的关于制动试验系统的数学模型对于实际的试验是有参考作用的。我们设计的控制方法简单易行，控制精度高，非常适于工程应用。文中提出的计算机控制方法不仅适用于汽车制动试验系统的控制，可以很容易地推广到其他的控制领域，实现被控量的实时控制。7 参考文献1漆安慎，杜婵英，普通物理学教程力学，北京：高等教育出版社，2005.2 百度百科，转动惯量， /view/110433.htm，2011年8月23日3 百度百科，扭矩，/view/22440.htm，2011年8月23日8 附录【1】：转动惯量定义(惯性力矩)：定义1：构件中各质点或质量单元的质量与其到给定轴线的距离平方乘积的总和。 所属学科：机械工程(一级学科) ；机构学(二级学科) ；机构动力学(三级学科) 定义2：面积或刚体质量与一轴线位置相关联的量，是面积微元或组成刚体的质量微元 到某一指定轴线距离的二次方的乘积之积分。 所属学科：水利科技(一级学科) ；工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ；工程力学（水利）(三级学科) 圆柱筒对柱心的转动惯量公式推导：把圆柱筒分成许多无限薄圆环。用表示其密度，用表示其厚度，则半径为，宽为的薄圆环的质量为而圆柱筒的质量为：薄圆环对轴的转动惯量为积分得代入可知：【2】：第四问程序手段运算matlab程序：w0=514*pi/30; %初始角速度wn=257*pi/30; %末角速度j=48; %等效的转动惯量t0=0.01; %步长m=load(niuju.txt); %扭矩 w=load(zhuansu.txt); %转速en1=j*(w0*w0-wn*wn)/2; %理论上能量减少量en=0; for k=1:468en=en+(m(k).*w(k)*pi/30)*t0; %实际上能量减少量endre=abs(en1-en)/en1; %相对误差en,en1,re %各变量运行的结果运行结果：en = 4.9292e+004en1 = 5.2150e+004re =0.0548【3】第五问程序：（1）、t=0:0.01:4.67; %时间w=load(zhuansu.txt); %转速plot(t,w)（2）、w0=53.85; %在t=0时刻的转速w=load(zhuansu.txt); %转速x=0;for t=1:468x=x+(w(t)*2*pi/60-w0)/(t/100); %总角加速度之和endy=x/467; %平均角加速度x,yx = -2.3363e+003【4】第六问程序：w0=514*2*pi/60;w1=500.14*2*pi/60;w2=465.19*2*pi/60;w=load(zhuansu.txt);x1=0;x2=0;x3=0;for t1=1:51x1=x1+(w(t1)*2*pi/60-w0)/( t1/100);endfor t2=52:101x2=x2+(w(t2)*2*pi/60-w1)/( (t2-50)/100);endfor t3=102:468x3=x3+(w(t3)*2*pi/60-w2)/(t3-100)/100);endx=x1+x2+x3;xx=x/467;x1,x2,x3,x,xxx1 = -81.5369x2 = -247.2632x3 = -2.2281e+003x = -2.5569e+003xx = -5.4752上述程序的数据源：niuju.txt2540404041.2543.754547.55053.755557.558.7562.562.567.567.572.57581.2586.2591.2596.25101.25105110115120127.5133.75143.75150157.5161.25168.75172.5181.25186.25193.75198.75203.75208.75211.25216.25218.75222.5226.25230233.75237.5238.75242.5242.5247.5246.25245241.25245248.75256.25257.5262.5262.5266.25266.25266.25266.25266.25266.25265266.25268.75272.5273.75276.25277.5277.5272.5272.5268.75272.5267.5272.5270277.5278.75282.5282.5282.5282.5280277.5276.25273.75273.75275276.25280280282.5281.25283.75282.5278.75276.25275277.5280281.25285283.75283.75282.5281.25278.75277.5273.75277.5277.5281.25281.25283.75285285283.75282.5282.5281.25278.75275276.25276.25280281.25285283.75285282.5285280281.25276.25275273.75276.25278.75280281.25282.5282.5282.5281.25281.25281.25278.75276.25273.75275275278.75278.75283.75282.5285281.25283.75281.25281.25277.5273.75273.75275277.5280282.5283.75286.25285286.25282.5282.5278.75277.5272.5275273.75278.75276.25281.25280282.5281.25281.25281.25280278.75275273.75273.75277.5280282.5285286.25287.5283.75283.75281.25281.25276.25275270275276.25281.25281.25282.5285286.25285283.75282.5282.5281.25278.75277.5275276.25277.5281.25281.25285282.5286.25281.25285281.25282.5278.75277.5275273.75275278.75280282.5283.75283.75285283.75285282.5283.75277.5277.5271.25275271.25276.25275281.25282.5287.5287.5287.5286.25285283.75283.75282.5278.75276.25275276.25278.75280282.5291.25292.5297.5290291.25285287.5283.75282.5277.5276.25275275277.5280281.25282.5285286.25287.5285285283.75283.75278.75278.75272.5273.75270275273.75280282.5286.25287.5288.75288.75287.5286.25285285282.5280276.25275273.75277.5278.75282.5282.5286.25285290287.5288.75285286.25283.75283.75281.25277.5273.75273.75275276.25280280282.5282.5286.25286.25288.75283.75286.25282.5286.25280281.25275277.5276.25278.75278.75281.25282.5285285287.5288.75288.75287.5285285283.75283.75281.25281.25276.25276.25273.75278.75277.5282.5282.5285285287.5288.75287.5286.25285285283.75282.5280278.75275275275278.75277.5281.25281.25287.5283.75287.5285291.25290291.25287.5285283.75282.5281.25278.75276.25273.75273.75275278.75281.25283.75285287.5287.5291.25290292.5287.5288.75285285282.5282.5281.25277.5273.75272.5272.5275277.5280283.75285286.25286.25288.75287.5291.25287.5290283.75286.25281.25285281.25281.25276.25273.75272.5275276.25278.75281.25282.5285285288.75288.75291.25288.75zhuansu.txt:514.33513.79513.24513.79513.79513.79513.24513.24512.69512.69512.15512.15512.15512.69512.15512.15511.6511.6511.06511.6511.6510.51510.51510.51511.06510.51509.42509.42509.42509.42509.42508.87508.33507.78507.78507.23507.23507.23507.23506.69505.6505.05504.5503.96503.41502.87502.87502.32502.32501.23500.14499.59499.04499.04498.5498.5497.95497.95497.41497.41496.86496.31495.77495.22494.68493.58492.49491.4490.85490.31489.76489.22488.67488.12488.12487.03486.49485.39484.3483.21482.12481.57481.57481.57481.03479.93479.39479.39478.84478.3477.75477.2477.2476.66476.11475.02474.47473.93471.2468.47465.19463.55461.92461.37460.28459.73458.64458.09457.55457.55456.46455.91455.36455.36455.36454.82454.27453.18452.63451.54451450.45449.9449.36448.81448.27448.27447.72447.17446.63446.08445.54444.99443.9443.35442.81442.26441.71441.71441.71441.71441.17441.17440.62440.08438.98438.44438.44438.44437.89437.35436.8436.25435.71434.62433.52432.98432.98432.43431.34430.79430.79430.25429.7428.61427.52426.97426.43425.88425.88425.88425.33424.79423.7423.15422.6422.6422.06421.51420.42420.42419.87419.87418.78417.69416.6416.05416.05415.51414.96413.87413.32413.32412.78411.68410.59409.5409.5408.95408.95408.95408.41407.86406.77405.68405.13404.59404.59404.04403.49403.49402.95402.4401.31400.22399.67398.58398.03397.49396.94396.4396.4395.85395.3394.21393.12392.57392.57392.03391.48390.94390.94390.39389.84389.3388.75388.21387.66386.57386.02386.02386.02385.48384.38382.75382.2382.2381.11380.02379.47379.47380.02378.92377.83376.74376.19376.19375.1374.56373.46372