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济南大学毕业论文毕业论文题 目 三重积分的计算与应用 学 院 数学科学学院 专 业 数学与应用数学 班 级 数学0802 学 生 xxxx 学 号 20000903042 指导教师 二一二年五月二十五日- 1 -济南大学毕业论文摘 要三重积分在现实中有着广泛的应用.利用三重积分求解不规则物体的体积，不仅仅是当代大学生要学习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有着不可替代的作用.然而，很多学生不能熟练掌握三重积分的相关知识，因而也不会去应用该知识.为了让学生更好地掌握三重积分的相关知识，以便以后能够熟练巧妙运用，本文系统的总结了三重积分的求解方法.求解三重积分最根本的就是将三重积分化为累次积分.但是化为累次积分时可以有不同的选择，既可以“先二后一”（坐标面投影法），也可以“先一后二”（坐标轴投影法），有的题目还可以巧妙地运用对称性求解，复杂的题目可以选择换元法来求解.不同的方法在不同的情况下适用，对于一个题目来说，具体应该选择哪种方法来求解，则应该进一步分析.三重积分有着广泛的应用，主要是在大型桥梁工程建设中用来计算不规则物体的体积.无论在哪儿应用，都要先抽象成数学模型，再计算.因此本文的应用只是采用了一些简单的例题，关键是让学生去体会不同方法解三重积分的过程.关键词：三重积分；先一后二；先二后一；换元法；分析应用；abstracttriple integral in the reality in a wide range of applications. using triple integral solving the volume of irregular objects, is not only the foundation of contemporary college students to learn knowledge, in many large bridges, building engineering, triple integral also having the effect that cannot replace. however, many students cant master triple integral related information, and thus wont go with the application of the knowledge. in order to let the student to grasp the triple integral of relevant knowledge, so that later skilled to clever apply, this paper summarized the system triple integral solution. solving the most fundamental triple integral is will triple integral into leici points. but into leici integral will have different options, already can after the first one (coordinate surface projection method), also can first after a second (a projection method), some questions can also smart use of symmetry solution, complex title can choose for yuan method to solve. different methods in different situations, applicable, for a topic for, specific should choose which kind of method to solve, it should be further analysis. triple integral in a wide range of applications, mainly in the large bridge engineering construction is used to calculate the volume of irregular objects. no matter where application, first into abstract mathematical model, then calculation. so this paper is the application of the simple examples, the key is to let students to experience different ways to solve triple integral process. key words： triple integral；after the first one；first after a second；for yuan method； 目 录摘 要iabstractii目 录iii1 前 言12 三重积分的定义与性质22.1 三重积分的定义22.2 三重积分的性质23 三重积分的计算43.1 利用直角坐标计算三重积分43.3.1 坐标面投影法43.3.2 坐标轴投影法73.3.3 利用对称性化简三重积分计算83.2 利用换元法计算三重积分93.2.1 柱坐标变换103.2.2 球坐标变换114 三重积分的应用144.1 利用三重积分求重心144.2 利用三重积分求转动惯量164.3 利用三重积分求引力175 结 论20参 考 文 献21致 谢22- - 21 - -1 前 言三重积分在现实中有着广泛的应用.利用三重积分求解不规则物体的体积，不仅仅是当代大学生要学习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有着不可替代的作用.在国内，三重积分的实际应用远远比不上国外应用广泛，因此，国内的学生很多情况下只限于对三重积分的书面认识，意识不到它在现实中的广泛应用.很多学生在学习三重积分时，不了解三重积分的几何意义，因而不能熟练掌握求解三重积分的方法.当面临求解三重积分问题时，往往不知如何下手.即便是知道将三重积分化为累次积分，也不知道该选用哪种方法求解，求解过程中更是会出现各种各样的错误.为了让学生更好地掌握三重积分的相关知识，本文系统的总结了三重积分的求解方法，以便学生尽快掌握相关内容.本文主要是将三重积分所有的求解方法系统的进行归纳总结，详尽介绍运用三重积分求重心，转动惯量，及引力的方法，同时给出求解上述问题的公式，并列举了部分例题，以便学生更好地掌握三重积分相关知识.要想熟练地掌握三重积分，首先要了解三重积分的定义，理解三重积分的定义及意义，熟练掌握三重积分的性质，为后面的求解方法打下坚实基础.（1）在直角坐标系下计算三重积分时，可以选用“先一后二”的坐标面投影法和“先二后一”的坐标轴投影法，甚至可以利用对称性进行计算.但是，对于不同的问题，应该选择哪种方法，责应当具体问题具体分析.（2）利用换元法求解三重积分时，要注意把空间中的闭区域一对一地映成空间中的一般常用的是柱坐标变换和球坐标变换.当选择用换元法求解三重积分时，还应该注意积分限的确定.三重积分有着广泛的应用，主要是在大型桥梁工程建设中用来计算不规则物体的体积，重心，在物理学上求解转动惯量，及求质点对其他点的引力.不管什么问题，只要遇到三重积分问题，先看清题意，将实际问题抽象成数学问题，再套用公式，进行计算.2 三重积分的定义与性质2.1 三重积分的定义设密度函数是定义在三维空间可求质量的有界区域上的有界函数,现用若干光滑曲面所组成的曲面网来分割,他把分割成个小区域.记的体积为,.在每个中任取一点，作积分和定义 设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的常数.若对任给的正数,总存在某一正数,使得对于任的意分割,只要,属于分割的所有积分和都有则称在上可积，数j称为函数在上的三重积分，记作其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域.当时，在几何上表示的体积.2.2 三重积分的性质性质1 若在上可积，为常数，则在上也可积，且性质2 若在上可积，且无公共内点，则在上也可积，且性质3 若上可积，且，则性质4 若在上可积，则在上也可积，且3 三重积分的计算3.1 利用直角坐标计算三重积分在直角坐标系下求解三重积分时，一般是先将三重积分化为累次积分.但是，将三重积分化为累次积分时，可以“先一后二”也可以“先二后一”.不同的题目，适合化为哪一种累次积分，还得具体问题具体分析.3.3.1 坐标面投影法如图2.5，在面上闭区域的投影为闭区域,， 过作一条与轴平行且穿过闭区域的直线，这时，该直线和闭区域的边界曲面分别相交于两点首先，我们将看作定值，则就可以看成只关于的函数.令在面上，我们可知因此，在上的二重积分有 图2.5所以三重积分可以化为 这种方法称为坐标面投影法，即先一后二法.闭区域称为型空间区域.同理，我们可以得到型空间区域.例1 若使由曲面和平面所围成的立体，将三重积分化为三次累次积分.图2.2从图2.2中可知， .例2 求，其中是由曲面，与平面和所围成的闭区域.解 由题意可知 .例3 一立体是由曲面围成，求该立体的体积.解 由题意可知因此3.3.2 坐标轴投影法 图2.3如图2.2，把积分区域向轴投影，得投影区间用过且平行于面的平面截，得截面.在截面上，可以计算二重积分.此时是关于的函数，只需计算单积分的值就可以得到三重积分的值.由分析可知，三重积分可以化为.这种方法被称为坐标轴投影法，即先二后一法.闭区域.这样的闭区域被称为-型空间区域.同理，可以得到-型，-型空间区域.例4 计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.解 由题意可知. .例5 计算，其中是曲面，以及抛物柱面所围成的闭区域.解 由题意可知 .3.3.3 利用对称性化简三重积分计算若是三维空间中关于面对称的有界闭区域，为v上的连续函数，则有当关于为奇函数时，.当关于为偶函数时，.其中为在面上方的部分.3.2 利用换元法计算三重积分是三维空间中的有界闭区域，函数在上连续.设变换,.把空间中的闭区域一对一地映成空间中的，并设，及它们的一阶偏导数在内连续且行列式则.例6 利用适当的坐标变换，计算以下曲面所围成的体积.，.解 令, 即.且满足因此.3.2.1 柱坐标变换设为空间中的一点，在面上的投影为图2.4由图2.4可知，因此在面上的的极坐标为，我们称为的柱坐标.因此，我们得到柱坐标变换而相对应的雅克比行列式所以.例7 计算其中由与所围的立体.解 .例8 求，其中是锥面与平面所围成的立体.解 柱坐标变化 .3.2.2 球坐标变换图2.5如图2.4，在面内的投影为，轴正半轴与的夹角为，轴正半轴与的夹角为，则为的球坐标.因此，我们得到球坐标变换而对应的雅克比行列式所以，三重积分的球坐标变换公式为.例9 计算，其中是由锥面和球面围成.解 ， . .4 三重积分的应用4.1 利用三重积分求重心设物体占有空间闭区域，该区域在点处的密度函数为，假定在上连续，则该物体的重心为.例10 已知椭球体的方程为求椭球体的体积.解 做变换其中,.因此 例11 求其中是由与所围成的区域.解 做变换使映射到由题意可知.雅克比行列式所以 .例12 求密度均匀的上半椭球体的重心.解 设椭球体由不等式表示，由对称性可知 密度均匀，所以为常数.因此由例10和例11可知4.2 利用三重积分求转动惯量设物体占有空间闭区域，在点处的密度为，假定在上连续，则该物体对坐标面转动惯量为该物体对坐标轴的惯量为例13 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解 设球体由不等式表示，密度函数为其中是比例系数.切平面方程为则球体相对于平面的转动惯量为 .例14 求边长为密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.图2.6解 如图2.6所示,正方体的棱长为，我们求正方体关于在轴上的那一棱边的转动惯量，有公式 4.3 利用三重积分求引力设物体的密度函数为该物体对立体外质量为的质点的引力在三个坐标轴上的投影为其中为引力系数，.例15 设球体有均匀的密度，求对球外一点（质量为）的引力（引力系数为）.解 设球体为球外一点的坐标为有对称性显然可知因此我们只需计算，而其中所以 .令.对做柱坐标变换得到，由此可知.因此 .所以因此，该球体对的引力为：.例16 密度均匀柱体：，单位质量的点，求该柱体对质点的引力.解 由例题15可知 .所以，该柱体对质点的引力为：.5 结 论经过分析，我们总结出了面对不同问题，选择合适的方法来计算三重积分，并给出了三重积分在计算重心，转动惯量及引力中的应用.在直角坐标系分一下三种情况给出了计算（1）当平行于轴切穿过闭域内部的直线与闭域的边界曲面相交不多于两点的时候，应该选用“先一后二”化为累次积分的方法，即选用坐标面投影法.（2）当积分区域是型，恰好是-型或-型，-型的；被积函数与无关，且的面积容易表达为的函数时，易于计算；应当选用“先二后一”化为累次积分的方法，即坐标轴投影法. （3）积分区域关于坐标面具有对称性；被积函数在积分区域上关于坐标轴有奇偶性时应选择利用对称性求解三重积分.然后又给出了用换元法计算三重积分，主要用（1）柱坐标变换若的投影区域是圆或为圆域的一部分；被积函数是或的形式；的边界曲面为圆柱面或旋转抛物面.（2）球坐标变换法积分区域由球面或圆锥面围成的立体；被积函数是的形式.最后给出了三重积分在计算重心，转动惯量，引力等方面的应用.参 考 文 献1华东师范大学数学系.数学分析m.北京:高等教育出版社, 2001(8):152-1532林谦,在直角坐标系下三重积分计算法的探讨j.云南师范大学学报(自然科学版),1999, (5) :86-883王浚岭.三重积分先一后二求围定顶的计算方法j.高等数学研究,2006,(5):32-34董培建.“截面法”在三重积分计算中的应用j.高等数学研究,1994,(1):112-1135董艳梅,林谦.在柱坐标系下三重积分计算法的探讨j.云南师范大学学报(自然科学版),2009,(2):12-156隋英,孙常春.利用球坐标计算一个三重积分j.赤峰学院学报,2010,(8):82-857潘正义.对三重积分f(x,y,z)dxdy方法的一些看法j.高等数学研究,1997,(1):11-158徐建新.关于三重积分的积分限的简捷确定j.江西科技师范学院学报,1994,(4):102-1139武家华.关于一类三重积分的简便求法j.工科数学,1994,(2):44-4810魏贵珍,喻德生.曲面积分在三重积分中的应用j.南昌航空工业学院学报(自然科学版),2001,(4):42-4611顾庆凤.关于三重积分的积分限的简捷确定j.科技资讯,2010,(2):142-14512贾小勇.三重积分化三次积分时确定积分限的一种方法j.甘肃高师学报,1999, (5):182-18313李昆,赵刚.三重积分中两种计算方法的比较j.孝感学院学报,2010,(6):72-7514鲍红梅,吴延东,蒋国民,华洪波.浅谈三重积分积分限的确定j.牡丹江大学学报,2011, (8):74-7815贾建文.三重积分的计算方法j.高等数学研究,2010, (2) :12-1