(免费资料)2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设，则（ ）. .解： （2）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）跳跃间断点.可去间断点. 无穷. 振荡.解 ： 所以是函数的可去间断点（3）设是连续奇函数，是连续偶函数，区域则正确的（ ）. .解 ：中为奇函数，为偶函数，所以（4）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ）曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.解：答案 C解： 其中是矩形面积，为曲边梯形的面积 所以为曲边三角形的面积。（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. 解：分析：，故均可逆。（6）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ） . 解：选则。记，则则，正、负惯性指数相同，故选（7）随机变量独立同分布且的分布函数为，则的分布函数为（ ） . . . . 解：（8）随机变量，且相关系数，则（ ） . 解：选用排除法设，由，知道正相关，得，排除（A）（C）由，得，排除（C） 故选择（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 . 解：1由（10）已知函数连续且，则曲线上对应处切线方程为 .解：由且连续，则，所以切线方程为：.（11）.解：）（12）微分方程通解是.解：，.（13）设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为.解：2分析：设的特征值为，则存在可逆矩阵，使得，故，由，又互不相同，则中有且只有一个为零，故（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.解：因为 ，所以 ，X 服从参数为1的泊松分布，所以 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限.解：(16) （本题满分10分） 设，求的极值、单调区间和凹凸区间.解：. ,令，得.，得 ，得 因此，的单调增区间是；单调减区间是.由，可知为凸区间，为凹区间.由知为极大值.由知为极小值.(17)（本题满分10分）求函数在在约束条件和下的最大和最小值.解：设得方程组即解得 或得 ，(18)（本题满分10分）设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，求(1)（2）记，求.解：(1),(2)(19)（本题满分10分）是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有（2）证明是周期为2的周期函数解：（1）对于，令，则因为的周期为2，所以所以（2）因为所以所以所以是周期为2的周期函数（20）（本题满分11分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（1）求证（2）为何值，方程组有唯一解（3）为何值，方程组有无穷多解解：方程组有唯一解由，知，又，故。记，由克莱姆法则知，方程组有无穷多解由，有，则,故的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。又，故可取特解为,所以的通解为为任意常数。(21)（本题满分11分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求.解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知）又，整理得：则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）.故：线性无关.（2）记则可逆，即：.（22）（本题满分9分）设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度解：1.2. 当时，当时，当时， 当时，当时，当时，所以 （23）（本题满分9分） 设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元