(高考资料)2012年数学一试题答案、解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）当时，与等价无穷小，则（）（A）（B）（C）（D）【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。参见水木艾迪考研数学春季基础班教材考研数学通用辅导讲义（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材大学数学强化 29916、17 等例题。 【答案】A意味选项B，C错误。再由存在，故有，故a=1，D错误，所以选A。（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，则=（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。参见水木艾迪考研数学春季班教材考研数学通用辅导讲义-微积分例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材大学数学同步强化 299117 题，以及考研数学三十六技例 18-4。关于x轴对称，而即被积函数是关于y的奇函数，所以两区域关于y轴对称，即被积函数是关于x的偶函数，由积分的保号性，所以正确答案为A。（3）设函数在区间-1,3上的图形为 则函数为（）【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。由的图形可见，其图像与x轴及y轴、x=0所围的图形的代数面积应为函数，由于有第一类间断点，只能为连续函数，不可导。时，且为常数，应有单调递增且为直线函数。时，且单调递减。时，单调递增。时，为常值函数。正确选项为D。【答案】D。（4）设有两个数列，若，则（）（A）当收敛时，收敛（B）发散时，发散（C）当收敛时，收敛（D）发散时，发散【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。（方法1）收敛，则，又，必存在N，使当nN时且（极限的有界性!），立即由正项级数的直接比较法得到：当收敛时，收敛。应选C。参见水木艾迪春季基础班教材考研数学通用辅导讲义-微积分（清华大学出版社）自测模拟题 15.3，例 15.4。（方法2）反例：对A取，对B取，对D取。（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为（）（A）（B）（C）（D）【解析】由基的过渡矩阵满足所以此题选（A）。【点评】本题考查的主要知识点：过渡矩阵。（6）设 A,B 均为 2 阶矩阵，分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由于分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆，根据公式，故答案为B。【点评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的逆矩阵等。（7）设随机变量X的分布函数为其中为标准正态分布函数，则EX=（）（A）0(B)0.3(C)0.7(D)1【解析】因为所以，由于是(0,1)的密度函数，故其期望值为0，是N(1,)的密度函数，其期望值为1，所以EX=，【答案】(C)【点评】这是一个已知分布函数求期望的问题，属于概率论的基本题型。其中需要知道正态分布的基本性质，这类问题在辅导讲义中有许多类似的题目。 （8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为PY=0=PY=1=，记为随机变量Z=XY的分布函数，则函数的间断点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】由于X，Y独立。（1）若z0，则，（2）若z0，则z=0为间断点，故选（B）【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）设函数具有二阶连续偏导数，z=则=_。【解析与点评】本题为多元函数偏导数计算的基本题目，同类题目可参见参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-10 题，水木艾迪考研大学数学同步强化 299例10.1210.13，10.15 等，还有考研数学三十六技例15-1，15-3，15-5等，以及考研数学通用辅导讲义-微积分101，103 等例题。答案：（10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的通解为y=_。【解析与点评】答案：由，得二阶常系数线性齐次微分方程的特征值，故a=-2,b=1，要求解的微分方程为。设特解代入微分方程为，得出-2A+Ax+B=x,A=1,B=2,故微分方程为的特解，通解为 代入初始条件，得，要求的解为参见水木艾迪 2009考研数学模拟试题数 1-12 题，【水木艾迪考研】大学数学同步强化299133，134，考研数学三十六技例 11-8，例 11-11，例 11-12，考研数学通用辅导讲义-微积分例 8.20，例 8.21，例 8.29，例 8.30。（11）已知曲线，则=_。【解析与点评】由题意，则，所以。【答案】参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化 299114，考研数学三十六技例 19-1微积分通用辅导讲义例 13.1，例 13.3（12）设，则_。【解析与点评】以下方法 1 是水木艾迪考生的首选方法。（方法一）由轮换对称性，（方法二）参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化 299125，考研数学三十六技例 18-5，例 18-6，例 18-7，微积分通用辅导讲义例 12.13，12.29。【答案】（13）若 3 维向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为_。【解析】由的非零特征值为2。【点评】本题考查的知识点有：特征值和特征向量的概念。本题也可根据矩阵是秩为1的3阶矩阵，可知其特征值必为0，0，而，求得答案。【答案】2。（14）设为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若+k为的无偏估计量，则k=_。【解析】由+k为的无偏估计，即np+knp(1-p)=np即1+k(1-p)=p，从而k=1，【答案】1【点评】这是一个考查样本均值与样本方差的典型问题，只要记住样本均值是总体均值的无偏估计以及样本方差是总体方差的无偏估计的结果，很容易获得结论。三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分 9 分）求二元函数极值。【解析与点评】考点：二元函数的局部极值问题。，驻点为。则在驻点，二元函数存在极小值参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-19题、基础班2009 模拟试题2-（3）题，还可参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化299106，107，108 等，考研数学三十六技例16-5，以及考研数学通用辅导讲义-微积分例 11.10，例 11.11，11.20。（16）（本题满分 9 分）设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值。【解析与点评】考点：定积分求面积，级数求和。级数求和的零部件组合安装法是水木艾迪强调的重要技巧。曲线与曲线在点x=0和x=1处相交，由，令x=1，得，参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-16题、基础班2009模拟试题1-17 题，以及【水木艾迪考研】大学数学同步强化 29976，78，例158-1等，考研数学三十六技例 9-16，10-8，考研数学通用辅导讲义-微积分例 15.14，例 16.18。（17）（本题满分 11 分）椭球面积是椭圆绕x轴旋转而成，圆锥面积是过点（4，0）且与椭圆相切的直线绕x轴旋转而成。（I）求及的方程；（II）求与之间的立体体积。【解析】（I）的方程为，过点（4，0）与的切线为两条，由线绕x轴旋转体的几何意义，只需求一条即可，切线过点（4，0），斜率为，得到切点为，取一条切线。得到的方程为（II）记，则（18）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数在a,b上连续，在（a,b）可导，则存在，使得。（II）证明：若函数在x=0处连续，在内可导，且则存在，且。【解析与点评】（I）过与的直线方程为取辅助函数，则；在a,b上连续，在（a,b）内可导，且。由罗尔定理，存在，使，即，或。（II）任取，则函数满足：在闭区间0,x上连续，开区间内可导，由拉格朗日中值定理可得：，使得，两边取时的极限，注意到，可得于是存在，且导数定义与拉格朗日微分中值定理是水木艾迪辅导的星级考点，尤其是拉格朗日微分中值定理本身的证明方法，及其在处理问题中的桥梁功能与逐点控制功能（连锁控制功能）是我们教学中一再强调的概念与方法，相关例题参见水木艾迪考研数学通用教材-微积分（清华大学出版社）。（19）（本题满分10分）计算曲面积分其中是曲面的外侧。【考点】中复连通域上的 Stokes定理、Guass公式。在水木艾迪2009点题班上曾强调数一考生今年要特别注意复连通域上的Stokes 定理、Guass 公式与 Green公式，并注意用积分与的约束条件简化计算。【解析与点评】，其中记，则，由轮换对称性， 除原点外，散度。记，由复连域上的Stokes公式及Guass公式，注意到约束条件可得：【水木艾迪考研】可参见大学数学同步强化 299129，130 等例题，考研数学三十六技例 20-4（完全相同），例 20-5，例 20-6，以及考研数学通用辅导讲义微积分例 14.8，例14.12，例 14.15，14.31，水木艾迪 2009 考研数学模拟试题数 1-19 题。（20）（本题满分11分）设（I）求满足的所有向量；（II）对（I）中的任一向量，证明：线性无关。【解析】（I）解方程，。故，其中为任意常数。解方程，故，其中为任意常数。（II）证明：由于。故线性无关。【点评】本题考查的知识点有：矩阵的运算，非齐次线性方程组求解，解的结构，线性无关的概念，三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零，行列式的计算等。（21）（本题满分11分）设二次型（I）求二次型的矩阵的所有特征值；（II）若二次型的规范形为，求a的值。【解析】（I）。所以二次型的矩阵A的特征值为a-2,a,a+1。（II）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0，当a=2时，三个特征值为 0，2，3，这时，二次型的规范形为。【点评】本题点：二次型的矩阵，求矩阵的特征值，二次型的规范形，惯性定理等。（22）（本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。（I）求PX=1|Z=0。（II）求二维随机变量( X，Y)的概率分布。【解析】（I）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以PX=1|Z=0=。（II）X，Y取值范围为1，1，2，故，Y X 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9