固体物理答案第三章能带理论习题和答案

1 第三章能带论习题和答案 1布洛赫函数满足)()(reRr n Rik n =+，何以见得上式中k具有波矢的意义？ 解答 人们总可以把布洛赫函数)(r展成付里叶级数 + += h rKKi h h eKKar )(/ / )()(, 其中 / K是电子的波矢。将)(r代入)()(reRr n Rik n =+ 得到 nn RikRik ee = / 其中利用了ppRK nh (2=是整数） ，由上式可知， / kk=， 即k具有波矢的意义。 2 波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ 解答 波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为 1 b， 2 b， 3 b，而波矢空间的 基矢分别为 11/N b， 22/N b， 33/N b； 1 N， 2 N， 3 N分别是沿正格基矢 1 a， 2 a， 3 a 方向晶体的原胞数目。 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 * 321 )(=bbb， 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 NN b N b N b * 3 3 2 2 1 1 )( = 即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的N/1。由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微 小的。也就是说， 波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波 矢空间内的状态点看成是准连续的。 3与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ 解答当电子的波矢k满足关系式0) 2 (=+ n n K kK时，与布里渊区边界平行且垂直于 n K 的晶面族对波矢为k的电子具有强烈的散射作用。此时，电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里 渊区边界上，k垂直于布里渊区边界的分量的模等于2/ n K。 4一维周期势函数的付里叶级数 = n nx a i ne VxV 2 )(中，指数函数的形式是由什么条件决定的？ 解答周期势函数)(xV付里叶级数的通式为 = n xi n n eVxV )(。上式必须满足势场的周期性， 即 2 =+ + n xi n n nexi n n axi n n ai nn eVxVeVeVaxV )()( )()( 显然1= ai n e 。 要满足上式， n 必为倒格矢n a n 2 =。可见周期势函数)(xV的付里叶级数中指数函数的形式是 由其周期性决定的。 5在布里渊区边界上电子的能带有何特点？ 解答电子的能带依赖于波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区边界上，近自由电子的能带一般 会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢 n K正交，边界是 n K的中垂面，则禁带的宽度 )(2 ng KVE=，)( n KV是周期势场的付里叶级数的系数。 不论何种电子，在布里渊区边界上，其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零， 即 电子的等能面与布里渊区边界正交。 6紧束缚模型电子的能量是正值还是负值？ 解答紧束缚模型电子在原子附近的几率大， 远离原子的几率很小， 在原子附近它的行为同在孤立 原子的行为相近。因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近。孤立原子中电子的能 量是一负值，所以紧束缚模型电子的能量是负值。s态电子能量表达式 = n Rik mi m eRJJk)()0()( 即是例证。其中孤立原子中电子的能量 i 是主项，是一负值，)0(J和)( m RJ是小量，也是负值。 7紧束缚模型下内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？ 解答以s态电子为例，紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分J的大小，而积分 drRrRrVrVrRJ mimatim )()()()()( * = 的大小又取决于)(r i 与相邻格点的)( mi Rr的交叠程度。紧束缚模型下，内层电子的)(r i 与 )( mi Rr交叠程度小，外层电子的)(r i 与)( mi Rr交叠程度大。因此，紧束缚模型下，内 层电子的能带与外层电子的能带相比，外层电子的能带宽。 8晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为 （1）x a ix k 3 cos)(=，（2） = = l k laxfx)()(，f是某一函数 ， 求电子在以上状态中的波矢。 解答 由由式)()(reRr k Rir nk n =+可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足 )()(xeax k ika k =+。 3 由此得 （1） )()() 3 cos( ) 3 cos()( 3 cos)( xexx a i x a iax a iax k ika k k = +=+=+ 于是1= ika e 因此得 a k =， a 3 ， a 5 ， 若只取布里渊区内的值： a k a ，则有ak/= （2） = = =+=+ ll k alxflaaxfax) 1()()(，令1 / =ll， 得)()()()( / / xexalxfax k ika k l k =+ = 由上式知1= ika e 所以有0=k， a 2 ， a 4 ， a 6 ， 由此得在布里渊区内的值为 0=k。 9一维周期势场为 + + = bnaxban bnaxbnanaxbmW xV ) 1(, 0 ,)( 2 1 )( 222 当 当 其中ba4=,W为常数，求出势能的平均值。 解答由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得 2232 2 222 2/ 2/ 2 2 6 1 3 1 8 2 1 4 1 )( 4 1 )( 1 bmWxxb b mW dxxbmW b dxxV b dxxV a V b b b b a a b b = = 10.用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出s态电子的能带为 2 cos 2 cos 2 cos) 1 (8)0()( ak ak ak JJk z y x i = 解答 用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示式 4 为 = m Rik i m eJJk) 1 ()0()(， m R是最近邻格矢。 对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（ 0，0，0） ，则 8 个最近邻格点的坐标为 2 , 2 , 2 aaa 。将上述 8 组坐标代入能带的表示式，得 = m Rik i m eJJk) 1 ()0()( )1 ()0( )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 zyxzyxzyxzyx zyxzyxzyxzyx kkk a ikkk a ikkk a ikkk a i kkk a ikkk a ikkk a ikkk a i i eeee eeeeJJ + + + += 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos)1 (2)0( )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 ak e ak e ak e ak eJJ z kk a i z kk a i z kk a i z kk a i i yx yxyxyx + + += 2 cos)()()1 (2)0( 222222 ak eeeee