信号与系统课件 ch7 section 4-5

7 7 7 7. . . .4 4 4 4 离离离离散散散散系系系系统统统统的的的的零零零零输输输输入入入入响响响响应应应应 零输入 零输入 0)(=ke， ， 0)()(=kySD n 阶齐次 定解： n 阶齐次 定解： )1(),1(),0(nyyy zizizi ? 东南大学移动通信国家重点实验室 一、一、)(kyzi求法 求法 1.1. 一阶系统： 一阶系统： )0(, 0)() 1( 0zi ykyaky=+已知 已知 0)()( 0 =+kyaS 由 由 0),() 1( 0 =+kkyaky 东南大学移动通信国家重点实验室 )0()() 1 ()2( ),0() 1 ( 2 00 0 zizizi zizi yayay yay = = 0,)0()()( 0 =kyaky zi k zi ? 比较比较 )0(, 0 0 =+yyay已知，已知， 00 0)(aappD=+= )()0()()( 0 teytAety tat zi = 东南大学移动通信国家重点实验室 2n 阶离散系统 2n 阶离散系统 0)()(=kySD， 设 ， 设 0,)(=kvky k 是一个解， 将 是一个解， 将 nikyviky i ,2 , 1 , 0),()(?=+ 代入方程 得： 代入方程 得：00)()( 01 1 1 + kkyavavav n n n ? 0)( 01 1 1 =+= avavavvD n n n ? 特征方程特征方程。 。 东南大学移动通信国家重点实验室 （1）设特征根均为单根（1）设特征根均为单根 n vvv? 21, ,则 ,则 0)()()( 1 2211 =+= = kvckvcvcvcky n i k ii k nn kk zi ? （2）设有一个（2）设有一个l重根重根 nll vvvvv, 121 ? + =，则 ，则 0)()( 1 1 1 21 += += kvcvkckccky n lj k jj kl lzi ? 注：一对共轭根配对（变幅正弦序列） 。 注：一对共轭根配对（变幅正弦序列） 。 东南大学移动通信国家重点实验室 二二二二、举举举举例例例例 例 1：电阻网络，n=3,a=2 由 例 1：电阻网络，n=3,a=2 由 0)() 1() 1 2()2(=+kuku a ku 即 即 0)() 1( 2 5 )2(=+kukuku 有： 有： 01 2 5 )( 2 =+=SSSD，得：，得：2, 2 1 21 =vv 08 8 1 )3( )0( ; 3 , 2 , 1 , 0)( 21 21 2211 =+= =+= =+= ccu Eccu kvcvcku kk 东南大学移动通信国家重点实验室 解得：EcEc 63 1 63 64 21 = 3 , 2 , 1 , 0,2) 2 1 (64 63 )(=k E ku kk 即 0)3( 21 4 )2( 21 10 )1()0( = = uEu EuEu 东南大学移动通信国家重点实验室 例 2：后向差分方程表示的离散系统 例 2：后向差分方程表示的离散系统 1) 2( 2 1 ) 1(0) 2(2) 1(2)(=+ zizi yykykyky 解： （1）解： （1）直接求解直接求解 0)22(221)( 2221 =+=+= SSSSSSD 得 得 4 2 , 1 21 = j ejv 2)( 2211 +=kvcvcky kk zi 东南大学移动通信国家重点实验室 由 由 2 1 ) 1( 1 22 1 11 =+= vcvcy zi 及 及 1)2( 2 22 2 11 =+= vcvcy zi 得 得 2 2 2 1 11 2 5 2 1 2 5 2 1 =+= jtgjtg ejcejc )2()2tan 4 cos()2( 2 5 2 )2()cos(|2)( 1 += += kk kkvCky k k zi 东南大学移动通信国家重点实验室 （2）转换成前向方程 （2）转换成前向方程 00)(2) 1(2)2(=+kkykyky 1)2(2) 1(2)0(= zizizi yyy 3) 1(2)0(2) 1 (= zizizi yyy （ 余略，类似（1） ） 得 （ 余略，类似（1） ） 得 )()2tan 4 cos()2( 2 5 2)( 1 kkky k zi = 东南大学移动通信国家重点实验室 一一一一、 零零零零状状状状态态态态响响响响应应应应的的的的求求求求法法法法：时时时时域域域域卷卷卷卷和和和和法法法法 7 7 7 7. . . .5 5 5 5 离离离离散散散散系系系系统统统统的的的的零零零零状状状状态态态态响响响响应应应应 东南大学移动通信国家重点实验室 设已知单位函数响应 h(k) 由： 设已知单位函数响应 h(k) 由： = = j kkejkjeke)(*)()()()( 记 则 则 + = = j zs jkhjekhkeky)()()(*)()( 卷积和卷积和 = = = = k j j jkhje kejkhje 因 果 有 始 )()( )()()( 0 二二二二、卷卷卷卷和和和和的的的的计计计计算算算算 图解法, 不进位长乘法, 解析法, 性质（结合查表）, Z 变换法 图解法, 不进位长乘法, 解析法, 性质（结合查表）, Z 变换法 1.1. 图解法，有限长序列的卷积和 例： 图解法，有限长序列的卷积和 例：210312)(，；，=kke 210321，）（=kkh 则由公式： 则由公式： = = k j jkhjekhkeky 0 *）（）（）（）（）（ 直接计算得： 直接计算得： 东南大学移动通信国家重点实验室 2120000=）（）（）（，heyk 514011011=+=+=）（）（）（）（）（，heheyk 1102112022=+=）（）（）（）（）（）（）（，heheheyk 9233133=+=）（，yk 93344=）（，yk 其它 k：y（k）=0 其它 k：y（k）=0 4, 3, 2, 1, 0; 9, 91152=kky，）（ （卷和结果仍是一个序列） （卷和结果仍是一个序列） ? 与图解对比 东南大学移动通信国家重点实验室 图解法四步：图解法四步： + = = j jkhjeheky)()(*)( （1） 反褶： （1） 反褶：)()(jhjh （2） 平移： （2） 平移：)()(jkhjh，移 k 位 （3） 相乘： ，移 k 位 （3） 相乘：)()()(jgjkhje= （4） 相加： （4） 相加：=)()(kyjg （5） （5） 1+= kk：回到（2） ：回到（2） 东南大学移动通信国家重点实验室 2不进位长乘法 2不进位长乘法 2 1 3 1 2 3 - 6 3 9 4 2 6 2 1 3 - 2 5 11 9 9 上/下限是两个序列上/下限之和。对本题，两个序列起始 均为 k=0，故 上/下限是两个序列上/下限之和。对本题，两个序列起始 均为 k=0，故4, 3, 2, 1, 0; 9, 91152=kky，）（ K=0, 东南大学移动通信国家重点实验室 3解析法：针对无限长序列 例 1： 3解析法：针对无限长序列 例 1：)()()()(kbkhkake kk =， 求 ， 求 hebaky k j jkj *)( 0 = = 解： 解： = = = k j jk k j jjk k j jkj b a bbabbaky 000 )()( 东南大学移动通信国家重点实验室 1）1） a=b 时，为 a=b 时，为 )()1(kak k + 2） 2） ab 时，为 ab 时，为 )( 1 1 )(1 11 1 kab ab b a b a b kk k k = + + )() 1()(*)(kkkk+= 东南大学移动通信国家重点实验室 例 2： 例 2： e(k)=2ky(k)=? )() 3 1 (h(k) k k= + k- 解： 解： + = = = = kj jk k j jk k j jkj khkeky ) 6 1 () 3 1 (6) 3 1 ( ) 3 1 (2)(*)()( += = k k k k )2( 5 6 6 1 1 ) 6 1 ( ) 3 1 ( 注：注： vz kk zHvkykvke = =+=| )()()( 东南大学移动通信国家重点实验室 三三三三、卷卷卷卷和和和和的的的的性性性性质质质质 1 1 代数运算性质 （1）交换律 e*h=h*e （2）结合律 (e*h1)*h2=e*(h1*h2) 串联等效 （3）分配率 e*(h1+h2)=e*h1+e*h2 并联等效 代数运算性质 （1）交换律 e*h=h*e （2）结合律 (e*h1)*h2=e*(h1*h2) 串联等效 （3）分配率 e*(h1+h2)=e*h1+e*h2 并联等效 东南大学移动通信国家重点实验室 22 有限长序列 A(k),B(k)，项数为有限长序列 A(k),B(k)，项数为 BA NN ,， 则 C(k)=A(k)*B(k)有限长，且满足： （1）项数 ， 则 C(k)=A(k)*B(k)有限长，且满足： （1）项数1+= BAC NNN 线性卷和 （2）上下限 = 各自上下限之和 （3） 线性卷和 （2）上下限 = 各自上下限之和 （3）) )()()()( =jBjAjC 东南大学移动通信国家重点实验室 33)()(*)(kekke=，则 ，则 = = = k j k j j jk kkk 0 0 )( )( )(*)()( )()(*)(nkenkke= 4延时性 设 4延时性 设)(*)()(khkeky=， 则 ， 则 )()(*)( 2121 nnkynkhnke= 东南大学移动通信国家重点实验室 四四四四、单单单单位位位位函函函函数数数数响响响响应应应应 h h h h( ( ( (k k k k) ) ) )的的的的求求求求法法法法 常用 Z 反变换常用 Z 反变换)()( 1 zHZkh =， 其中： ， 其中： zS SHzH = =| )()(下一章介绍。 本章：算子法 设 下一章介绍。 本章：算子法 设 = = = n i i n i i i SH vS k SD SN SH 11 )( )( )( )( ， 则 ， 则 = = = n i k ii n i i kvkkSHkSHkh 1 1 1 ) 1()()()()()()( 东南大学移动通信国家重点实验室 注： （1）m=n 时，如 注： （1）m=n 时，如 vS v vS S SH += =1)( )() 1()()()( 1 kvkvvkkh kk =+= （2）分解时，基本因式用 （2）分解时，基本因式用 vS S