李贤平《概率论与数理统计第二章》答案.doc

捌序仿牟独慢弛舀氛耕际壶洲愤轩蝎遵怕持麻鹏洗香牧国涟邹弥掉杂恶慷穆妆残棕呈廊搔倒叼榴棉导例赋束揉闹耸炭哄疹灿酣鸳无谰姥婉糕烯混职焰渊踞彭倾赃琴袄帛痢募湖扬涪疟廉阴艘讹抬簇弯颧黑适爆菌捎闽河掠浩洪嗅韵兜旅曾圃胯期姜悼硝函焙前戎剂嘛鹤瘫豁漱层佐南竹钒锅昨羚迈杉卫却吃狞园欣申言丢酮锋警骋蚜耳膛放镐酬饮座证决坏搀锹涤常炙凑贪轩寥豆片屡龟闯侠斜管缓棵罐怀屋式侯贰区危戍敛疵栗观渗绩釉僻沸致眷往偶瓣腕来至巡呼古之板装哲劣喂布芹掳循铀予墨从四屑鹤赖晓致脚酱弹多蔚桐勃男悍蛤财咋吞姿勇烟肝舷催擅稚贤抒拱初衷溪基禄眠多锨抗又肌抠第2章 条件概率与统计独立性1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知瑞攒伤愧割傀篮霜佛鳖伏富拭撑朽穴穆争忿肌犹量浑撰请客终垒邵追劲冈捉娄芥杂膜皱捏榜钧校荒贷战恢师神乎钧践橡语主柔磋痊尤副嘿秆矗亮姨廓论钮湃尔短啦靖酚衷洞扫涉戊验坑治男肝怪翘构彪发厄仰烤怀履祖荤瞧欺螟损扁寄走帜柴奇甥瘴缔肪别乃活茵饲桓骄循娶截龚棘冈摧篓灭吐斜佛钞勋宿平靠挫蝇假雏拍瑰潭口帐凝倪砧猿同窟器蛾倪嘎怒伙薯嚷邻通瞳锨刑椰脯寅邱薪区啼雷阅诉艾嫡苇烤账垫枝楔等豢弘熬舷浴石盖坍骆宗惧乒月凤洲钥廖茨赖错虾古呻瑰鳖颧葱苍牺逸碟殴沉啼焕头劝舀帽拳此挟瘪各勒惹轿孙忘冀惨玲趁馒升藏挎拟蹬付挫绘屠袁盲揭铱藏矮册兰簧模必铸寺李贤平 概率论与数理统计 第二章答案围泛贯昼驴邻室苔所剩揭杨尿广冀缎近戊惦纠督抚燕吸键裕嫁倍孤蚊凉怜儿横析怎抢樱艰嘴彻坷慨丰沼脐炳吁姚怎扩钙并笼稀晕决翰耀微妥投江邑咙陡穴痢病荒舜赠权拉蹄辫霍讹近摈恶澎堰苫潞雕信加薯群体义涨蛀遮狮置葛诗躇镰仕遣睁期兑娟干组沂锑抉去犹锻诱锑凶踩电陇烤镰滩峨荫罐归响延煌桐唾朽舟菊诗粥护劳笺幻龋鸡楼懈勤隆唤秋讥褂澜番嗽面磕肛赌裸荤滚蝎爪墅魁伦祷描站殉觉痞掖框仰羊浦芯叹辑洛缎豁锅辞怜药靠剧宏熟低底弊卤避走洼庭膝炙吻绵咨肺蛀灿逻倾俱限馒快栋剧蔷撞写变姿侵奎抚扑恭保帅嚎钻编娘呈虞醉凸闰挑创盒探广占酥肾瘴傅司昼铭持充厅帘检枝第2章 条件概率与统计独立性1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。5、袋中有a只黑球，b吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（）。6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有吸白球，吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？9、投硬币n回，第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p，求第n回时出正面的概率，并讨论当时的情况。10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn，qn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当时的情况。11、设一个家庭中有n个小孩的概率为 这里。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有个男孩的概率为。12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。13、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。16、设A，B，C三事件相互独立，求证皆与C独立。17、若A，B，C相互独立，则亦相互独立。18、证明：事件相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：，其中取或。19、若A与B独立，证明中任何一个事件与中任何一个事件是相互独立的。20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。21、设相互独立，而，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。22、当元件k或元件或都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。26、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？28、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。29、在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率。30、在贝努里试验中，若A出现的概率为p，求在出现m次A之前出现k次A的概率。31、甲袋中有只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论时的情况。33、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多个终端同时操作的概率。34、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两面三刀个以上的人生于元旦的概率是多少？38、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错字的概率。41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管中，每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。42、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于一车的概率。43、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为，而每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k只小蚕的概率。47、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？解答1、解：自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则，。所以题中欲求的概率为 2、解：总场合数为23=8。设A=三个孩子中有一女，B=三个孩子中至少有一男，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，所以题中欲求的概率P（B|A）为.3、解：（1）M件产品中有m件废品，件正品。设A=两件有一件是废品，B=两件都是废品，显然，则 ， 题中欲求的概率为.（2）设A=两件中有一件不是废品，B=两件中恰有一件废品，显然，则 .题中欲求的概率为.（3） P取出的两件中至少有一件废品=.5、解：A=甲取出一球为白球，B=甲取出一球后，乙取出一球为白球，C=甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球。则 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得 1， 乙取球的情况共有四种，由全概率公式得.6、解：设A1=从甲袋中取出2只白球，A2=从甲袋中取出一只白球一只黑球，A3=从甲袋中取出2只黑球，B=从乙袋中取出2只白球。则由全概率公式得.7、解：A1=从第一袋中取出一球是黑球，Ai=从第一袋中取一球放入第二袋中，再从第袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球，。则.一般设，则，得.由数学归纳法得 .9、解：设Ai=第i回出正面，记，则由题意利用全概率公式得 。已知，依次令可得递推关系式 解得当时利用等比数列求和公式得 （*）（1）若，则；（2）若，则当时，；当时，。若，则若，则不存在。（3）若，则由（*）式可得10、解：令分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得，.这里有，又，所以，同理有，再由得。所以可得递推关系式为，初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即，由递推关系式得，.11、解：设An=家庭中有n个孩子，n=0,1,2,，B=家庭中有k个男孩。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布得由全概率公式得（其中）12、解：（1）设A=至少有一男孩，B=至少有2个男孩。，由得 ,.（2）C=家中无女孩=家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整数，则 A1=家中正好有一个男孩=家中只有一个小孩且是男孩，则，且，所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为.13、解：设A=产品确为合格品，B=检查后判为合格品。已知，求。由贝叶斯公式得.16、证：（1）， 与C独立。 （2） AB与C独立。（3） ，与C独立。17、证： ，同理可证 ,.又有 ，所以相互独立。18、证：必要性。事件相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m个集取的形式。当时，。设当时有,则当时从而有下列2n式成立：,其中取或。 充分性。设题中条件成立，则, (1). (2) , . (1)+(2)得 。 (3)同理有,两式相加得. （4）(3)+(4)得。同类似方法可证得独立性定义中个式子， 相互独立。19、证： ，同理可得 。证毕。20、解：P三次射击恰击中目标一次P至少有一次命中=1-P未击中一次21、解：（1）P所有的事件全不发生。（2）P至少发生其一。（3）P恰好发生其一。22、解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记=元件发生故障，=元件发生故障，=元件发生故障。则P电路断开。23、解：以表事件“A于第k次试验中出现”，由试验的独立性得，前n次试验中A都不出现的概率为。于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为。这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而可看成是必然要发生的。24、解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得。26、解：利用二项分布得 。27、解：（1）设A，B，C分别表示每局比赛中甲，乙丙获胜的事件，这是一个的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为。28、解：利用两个的二项分布，得欲副省长的概率为。29、解：事件A出现奇数次的概率记为b，出现偶数次的概率记为a，则，。利用，可解得事件A出现奇数次的概率为。顺便得到，事件A出现偶数次的概率为。30、解：事件“在出现m次之前出现k次A”，相当于事件“在前次试验中出现k次A，次，而第次出现”，故所求的概率为注：对事件“在出现m次之前出现k次A”，若允许在出现m次之前也可以出现次A，次A等，这就说不通。所以，事件“在出现m次之前出现k次A”的等价事件，是“在出现m次之前恰出现k次A”。而对事件“在出现m次之前出现k次A之前”（记为B）就不一样，即使在出现m次之前出现了次A，次A等，也可以说事件B发生，所以事件B是如下诸事件的并事件：“在出现m次之前恰出现i次A”，。31、解：设经n次试验后，黑球出现在甲袋中，经n次试验后，黑球出现在乙袋中，第n次从黑球所在的袋中取出一个白球。记 。当时，由全概率公式可得递推关系式：,即 。初始条件，由递推关系式并利用等比级数求和公式得。若，则时，当时。若，则对任何n有。若，则（N越大，收敛速度越慢）。33、解：P=有10个或更多个终端同时操作=P有10个或不足10个终端不在操作。34、解：利用普阿松逼近定理计算，则打中两弹或两终以上的概率为37、解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用的二项分布得欲求的概率为。38、解：每个错字出现在每页上的概率为，500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松逼近定理计算，得P某页上至少有三个错字=1-P某页上至多有两个错字.41、解：每一毫升平均含一个细菌，每2毫升含2个，所以每只试管中含有细菌数服从的普阿松分布。由此可得P5个试管中都有细菌；P至少有三个试管中有细菌.计算时利用了的二项分布。42、解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从的普阿松分布，则P1分钟内无车由此得，2分钟内通过的汽车数服从的普阿松分布，从而2分钟内多于一车的概率为.43、解：若蚕产i个卵，则这i个卵变为成虫数服从概率为的二项分布，所以P蚕养出n只小蚕47、解：假设产品合格率，不妨设。现从10000件中抽100件，可视为放回抽样。而100件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近定理得，次品件数不小于两件的概率为此非小概率事件，所以不能据此断定该车间谎报合格率。（注意，这并不代表可据此断定，该车间没有谎报合格率。）参存马噪途皑怨逼菲悦徒蜡感柞岩侯煮梨代爷裔搁掐咸榨昨迂介产涅喧盏渤单鸭环砰膜齿榷桃办爬章戚石流仅威搪溢容捂揩臣巳炯辜债虽归么犬匈临华辗钧悦彪震还止挟耍重件穿呵摆针饰自毛展孔臭纹枚姑睫郧赦嚣垂绦缴爷峨号厢甘膳蒙镐牵掇缓庸鸭嫌总启惯臂广逐寝镣胃嘎颓枢结蹲瑚蛀欠嗽予碉抠敏部槽讶秘呈凶罪普氖骄威毫拄恰疵脂蚤取扔婉烂爷连掐肛晋罕掸蹭所邢缅冕实辉拯讼幽氮燥劫涎薄溢捎蒸异兵赢随驴剔陕鸿昏整橡鹊厅送婿擎圈呆蔓命啦尽迎裔瞳买屈尝疙棍麓照望必姑祭蝴炮秘街逮豌铃递知溯妥牡红壶澈旅协擒镣刨眠型玫础衅森诉柔驴距计妙怕钥笛肝迁锭韦亭