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第三章 电路的暂态分析,第一节 暂态分析的基本概念与换路定律 第二节 RC电路的暂态过程 第三节 一阶电路暂态分析的三要素法 第四节 RL电路的暂态过程,返回,第一节 暂态分析的基本概念与 换路定律,暂态过程 产生暂态过程的原因 换路定律,一、暂态过程,返回,稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。,当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时，电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所经历的过程，称为电路中的过渡过程。由于过渡过程经历的时间很短，所以又称为暂态过程或暂态。,若开关在t = 0 时接通，电路中的电流逐渐增加，最终达到I=U/R,这是一种稳态。,+,t=0,S,R,L,UL,US,UR,S打开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。,在图示的RL电路中,返回,二、产生暂态过程的原因,内因：电路中存在储能元件（C、L） 电容与电感上存储的能量不能跃变，所以，在含有C、L的电路中，从一种稳态到另一种稳态，要有一个过渡过程。,返回,外因： 换路 换路是指电路的结构或参数发生变化。如开关的通断、短路、信号突然接入、电源电路参数的改变等。 换路时电路的状态会发生改变。,三、换路定律 通常我们把换路瞬间作为计时起点。 即在t0时换路。把换路前的终结时刻记为 t 0-，把换路后的初始时刻记为t 0+。,在电感元件中，储存的磁场能量为 WL=1/2 L iL2,电感中的能量不能跃变，表现为电感中的电流iL不能跃变。,在电容元件中，储存的电场能量为WC=1/2CUC2,电容中的能量不能跃变，表现为电容两端的电压不能跃变。,返回,iL(0+)iL(0) uC(0+)uC(0),电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律，表示为：,换路定律适用于换路瞬间，用它来确定暂态过程的初始值。,返回,若iL(0+)= iL (0)=0，uC(0+)= uC(0)=0，换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。,若iL(0+)= iL(0)0，uC(0+)= uC(0) 0，换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流源。,电路中其它电压电流在换路瞬间，用换路定律、KVL、KCL定律联合求解。,元件,特征,C,L,iL(t),t = 0+,t = 0,t =,uC(t),uC(0+)=0,uC(0 ) =0,uC(0 ) =U0,uC(0+)=U0,+,-,开路,短路,iL(0+)=I0,iL(0) =I0,iL(0-)=0,iL(0+)=0,返回,例、在图示电路中，已知：R=1k US=10V，L=1H,求开关闭合后的初始值。,+,S,i,uL,R,US,返回,解：,S闭合前，电路已 处于稳态。 iL(0 ) = 0,在S闭合的瞬间，根据换路定律有： iL(0+)iL(0) = 0,uR(0+) = i(0+) R = 0 uR(0+) + uL(0+) =US uL(0+)=10V,返回,R1,US,S,C,iL,iC,uC,+,R2,解：,t = 0，电路稳态 C 开路，L短路, iL(0 ) =US/(R1+R2) uC(0 )= iL(0 ) R2,例 t=0时S断开，求uC(0+ ) 、 uL(0+) 、 uR2(0+) 、 iC(0+ ) 、 iL(0+ ) 。,L,uL,在S闭合的瞬间，根据换路定律有： uC(0 ) = uC(0+ ), iL(0 ) = iL(0+ ) 所以有等效电路：,返回,+,R2,uC(0+),iL(0+),uR2 (0+),iC(0+),iC(0+ )= iL(0+ )=US/(R1+R2) uR2(0+ ) = iL(0+) R2 uC(0+ ) uL(0+ )= uC(0+ ) uR2(0+ ) = 0,第二节 RC电路的暂态过程,零输入响应 零状态响应 电路的全响应,返回,返回,一、零输入响应,如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流。这是因为储能元件要释放能量。 因此，将电路中无输入信号作用时，由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为零输入响应。,1、换路后电路的微分方程,返回,S在1位置 uC(0)= US (初始条件),S在2位置 uR(t)+uC(t) = 0 uR(t) = i(t)R i(t) = Cduc(t)/dt 得到一阶常系数线性齐次微分方程,+,S,i,uC,R,US,1,2,uR,2. 解微分方程,RCduC(t)dt+uC(t) = 0,特征方程 : RCP+1= 0,P=1/RC,uC(t)= Aet/RC, uC(0) = US,有 A = Us,令它的通解形式为: uC=Aept,返回,代入方程得: (RCP+1) Aept = 0,显然uC、i、uR 都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。,返回,i(t)=Cduc(t)/dt =Cd(USet / RC) dt =(US/R) et / RC,uR(t) = i(t) R =US et / RC,令=RC，称为R、C串联电路的时间常数，单位为s。,变化曲线为:,U，i,t,返回,2.时间常数,从上面的变化规律可知,过渡过程的快慢与RC有关, =RC,返回,值越小,暂态过程进行得越快. 值越大,暂态过程进行得越慢.,当t时 uC()=USe/ = USe1 =0.368US,也就是说，零输入响应的初始值经过一个 ，衰减为原来的36.8。,一般在t(35)时 uC(t)的值已很小,可认为暂态结束。,Us,uC,0.368Us,1,t,1 2 3,2,3,返回,二.零状态响应,返回,与零输入相反，如果在换路前储能元件没有能量储存，这种状态称为零状态。 因此，将电路中输入信号作用时，所产生的响应称为零状态响应。,1.换路后的微分方程,S在1位置 uR(t)+uc(t) = Us,uR(t) = i(t)R,i(t) = Cduc(t)dt,得到一阶常系数线性非齐次微分方程,返回,+,S,i,uC,R,US,1,2,uR,S在2位置 uC(0)= 0 (初始条件),2 .解微分方程,RCduC(t)/dt+uC(t) = Us,uc() = Us, uc(0) = 0,返回,i(t)=Cduc(t)/dt=(US/R) et/,uR(t)= i(t) R =US et/ ,显然i、uR 是按指数规律衰减，最后趋于零。uC随t不断增加，最后趋于US 。,U，i,Us,t, 反映RC电路充电的速度。一般，经过 （35) 的时间，可认为暂态结束。,返回,u,Us,0.632Us,uC(t),t,uC(t)=Us(1e 1)0.632Us,当t = 时,返回,返回,+,uC,R,US,例、已知R=103k ，US=100V，C=10F, 求开关闭合后5、10、30s时的uC值，并 画出uC曲线。,解：,uC(0)= 0 (初始条件),开关闭合,=100(1e0.1t),t =5 uC = 39.4V t =10 uC = 63.2V t =30 uC = 95V,u/V,uC(t),t,100,换路前,储能元件有储能,即非零状态, 这种状态下的电路与电源接通，储能元 件的初始储能与外加电源共同引起的响应 称为全响应。,三.电路的全响应,返回,对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加。,全响应=零输入响应+零状态响应,1.换路后的微分方程,t = 0, S闭合 uR(t)+ uC(t) = Us,初始条件为 uC(0+)=uC(0) = U0,RCduC(t) d t + uC(t)=Us,返回,+,Us,S,i,(t = 0),uR,uC,R,C,得到一阶常系数线性非齐次微分方程,2. 解微分方程.,通解形式为:,uC(t)=Us+Aet/,uC(0)=Uo,Uo=Us+A , A=UoUs,所以RC电路的全响应为,uC(t)=Us +(UoUs)et/,返回,RCduC(t) d t + uC(t)=Us,2对全响应的讨论,(1),此时电容将放电，最后达到稳态值Us。,全响应=稳态解+暂态解。,Uo Us,Uo Us,此时电容将充电， 最后达到稳态值Us。,返回,uC(t)=Us +(UoUs)et/,Uo,Uo,Us,UoUs,UoUs,放电,充电,变化曲线,t,uC,返回,全响应=零输入响应+零状态响应,返回,(2),uC(t)=Us +(UoUs)et/ = Us Uset/ + Uo et/ =Us (1et/ ) + Uo et/,可分别求零输入响应（令电源为零）；零状态响应（令初始值为零），然后求叠加。,返回,+,Us,S1,i,uR,uC,R1,C,例、已知R1=R2 =10 ，US=80V，C=10F, t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求uC的变化规律。(C上初始能量为零),S2,解：,(1) 0 t 0.1ms,R2,uC(0+)=uC(0)=0,零状态响应,= 80(1e10000t ),t1 = 0.1ms uC(t1)=50.56V,(2) t 0.1ms,uC(t1+)=uC(t1 )=50.56V,全响应,uC(t)=Us +(UoUs)et/,= 80+(50.5680) et/ =(R1+R2)C=2104 uC(t)=80 29.44e5000(tt1),第三节 一阶电路暂态分析的 三要素法,一阶电路 求解一阶电路的三要素法 三要素公式说明 例题,返回,只含有一个（或者可以化为一个）储能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微分方程,这种电路称为一阶电路。,一 、一阶电路,返回,对于一阶电路，它的时域响应是从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数。,因此将初始值、稳态值、时间常数 称为一阶电路的三要素。,二、求解一阶电路的三要素法 用f (t)表示电路中的某一元件的电压或电流, f ()表示稳态值, f (0+)表示初始值， 为时间常数。,全响应= 稳态分量+暂态分量,f (t)=f ()+Aet,f (t)=f () + f (0+) f ()e t,只要求出f(0+),f()和 值,即可直接写出暂态过程中电压,或电流的表达式。,返回,f (0+) ：uC(0+)和iL(0+)可用换路定律在换路 前的电路求，其它电压和电流要在 换路后的电路中求得。 f () ：进入稳态后电容相当于开路,电感 相当于短路，可应用电路的分析 方法计算电压或电流的稳态值。,三、三要素公式说明.,时间常数 ：在换路后的电路中求得, =R0c,R0是换路后的电路中,从C两端看进去的 将恒压源短路，恒流源开路后的等效电阻。,返回,例、图示电路中,IS=6mA, C=0.1F, R1=6k, R2=1k, R3=2k，在t = 0时将S闭合, 试求uC(t)，画出曲线。,返回,S,R2,R3,R1,IS,解:,uC(0+)=uC(0),C,= (R1+R2) / R3 C =0.155103S,uc(t)=uc()+uc(0+) uc()et/ = 8+(368)e6430t V =828e6430t V,36,例、图示电路中,IS=8mA, C=4F, R1=2K, R2=3K, R3=1K,R=5K ，E=10V，在t = 0时将S由1打向2, 试求uC(t)，画出曲线。,返回,S,R,R2,R3,R1,IS,E,解:,uC(0+)=uC(0),C, = (R1/R2)+R3 C=8.8103S,uc(t)=uc()+uc(0+) uc()et/ = 6+(126)e114t V =6+6 e114t V,1,2,12,返回,r,US,C,iK,iC,uC,+,R,ir,例、图中电路原已稳定，求开关闭合后的 uC 和 iK 。,解：,iC uC(t)R (USR) et/RC,ir= US / r,uC(0+)=uC(0) = US,uC()= 0, = RC,求解RL电路的暂态过程与求解RC电路的暂态过程的步骤相同,所不同的是RL电路的时间常数为 =L/R。 L 单位为（H），R单位为（）时, 单位是s。 用列微分方程，解微分方程来求解暂态过程的方法称为经典法,通过经典法可归纳出求解一阶电路的三要素法。,第四节 RL电路的暂态过程,返回,例、在图示电路中,已知L=1mH,R=10,电压表内电阻Rv=1.5k,电源电压U=10V,在t=0时开关S断开,S断开前电路已处于稳态,求S断开后电压表两端电压的初始值及变化规律。,V,Rv,S,a,b,L,R,iL,t=0,U,解： iL(0-)=U/R=1A iL(0+)=iL(0)=1A S断开的瞬间 uab(0+)=iL(0+)RV =1500V,返回,uab()=0 = L/(R+Rv) =10.001/(10+1500) =0.6610 8 s uab(t)=uab()+uab(0+) uab()et/ = 1500e1. 51 1000000t,返回,说明:换路的瞬间,电压表两端出现了1500V的高压,尽管暂态时间很短也可能使电压表击穿。通常在切断电感电路时,在线圈两端反并联一个二极管,以限制断开时的电压，保证电路中电气设备和操作人员的安全,电路如图所示。,VD,S,L,R,i,t=0,U,返回,例 t = 0，断开S，求iL(t)。,6V,10mH,10,iL,解: iL(0+)= iL(0) =6/(10+2.5)5/(5+5)A =0.24A,返回,S,5,5,5, = 1010310/(5+5)+5 103S,iL(t)