对称性在积分计算中的应用+-+复制-复制(2).doc

大庆师范学院毕业论文 大庆师范学院 本科生毕业论文 对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用 摘要:本文主要讨论了对称性在积分计算中的应用，对每一类积分，先给出对称 性用于该类积分的相关结论，在用例子展示了结论的有效性，合理的利用对称性可简 化繁琐的积分计算。 关键词：对称性；积分区域；奇偶性；定积分；二重积分；三重积分；曲线积分； 曲面积分 大庆师范学院毕业论文 I 目录目录 1、引引言言 .1 二二、正正文文.1 （一）定积分的计算（一）定积分的计算.2 （二）（二）二重积分的计算二重积分的计算4 （三）三重积分的计算（三）三重积分的计算7 （四）曲线积分的计算（四）曲线积分的计算8 （五）曲面积分的计算（五）曲面积分的计算10 三、结束语三、结束语10 致谢辞致谢辞.11 参考文献参考文献 .12 大庆师范学院毕业论文 1 文章的过渡与引入重新整理，有很多地方不通顺，不自然文章的过渡与引入重新整理，有很多地方不通顺，不自然 引言引言（整个文章按标准格式写，格式初步按范文格式改）（整个文章按标准格式写，格式初步按范文格式改） 积分区域的对称性和奇偶性不仅可以体现数学美，而且可以为积分计算提供某种 信息，帮助人们寻找最优的解题策略，使复杂的问题得以简化 如在计算定积分时， 很多高等数学教材都给出了如下结论：当积分区间关于原点对称且被积函数为奇函数 时，该定积分的值为0；当积分区间关于原点对称且被积函数为偶函数时，该定积分可 转化为原被积函数在单侧区间上积分值的2 倍 此外对奇函数只要在上)(xfaa, 可积, 则必有 这里的原函数不必求出来,但定积分可以直( )0. a a f x dx )(xf( ) a a f x dx 接计算。计算不必依于牛顿-莱布尼兹公式,，而主要依于定积分的某种对称性,依于定 积分的换元法进行.。这里称它为积分的非常规计算方法。本文对这种非常规方法和上 面提到的积分区域的对称性和奇偶性在积分计算进行说明。 （此段我简单的改了一下，（此段我简单的改了一下， 还有些不通顺的，你好好改改）还有些不通顺的，你好好改改） 正文正文 1 积分区域的对称性 积分区域随着积分的类型不同而不同，它可以是区间，也可以是平面区域或者空 间区域，还可以是弧段或曲面片 若将它们统一为空间区域，则可建立积分区域对称 性的一般定义 定义1 设是任一空间区域， 3 R 1）若点，有，则称 关于面对称；),(zyx ),(zyx xoy 2）若点，有，则称关于 面对称；),(zyx),(zyx yoz 3）若点，有，则称关于面对称；),(zyx),(zyxxoz 4）若点，有，则称关于轴对称；),(zyx),(zyxz 5）若点，有，则称关于轴对称；),(zyx),(zyxy 6）若点，有，则称关于 轴对称；),(zyx),(zyxx 7）若点，有，则称关于坐标原点对称),(zyx),(zyx 2 函数的奇偶性 奇偶性是定义在对称区间上的函数的一个重要性质，通过研究函数的奇偶性可以 了解函数的图像是否具有对称性，进而简化某些问题的求解 21 一元函数的奇偶性 一元函数的奇偶性清晰地表达了奇(偶)函数图形关于原点(轴)的对称性特征，y 即有： 大庆师范学院毕业论文 2 定义2 设函数的定义域关于原点对称.若对任一，都有)(xfDDx ，则称是奇(偶)函数)()(xfxf)()(xfxf)(xf 类似一元函数的奇偶性，我们可以讨论多元函数的奇偶性和其图形的对称性 22 多元函数的奇偶性 多元函数的奇偶性可以表现为其关于任意多个变元的奇偶性，如一元奇偶、二元 奇偶和三元奇偶等 定义3 若函数的定义域关于轴对称，且满足(或),(yxfDx),(),(yxfyxf ，则称是上关于的一元偏奇(偶)函数),(),(yxfyxf),(yxfDy 定义4 若函数的定义域关于面对称，且满足),(zyxfxoy （或） ，则称是上关于z的一元),(),(zyxfzyxf),(),(zyxfzyxf),(zyxf 偏奇(偶)函数 类似地，可以给出关于轴对称区域上的二元函数关于的一元偏奇偶性;关于y x 面对称区域上的三元函数关于的一元偏奇偶性；关于面对称区域上的三元函yozxzox 数关于的一元偏奇偶性等y 定义5 若函数的定义域关于原点对称，且满足（或),(yxfD),(),(yxfyxf )，则称是上关于的二元全奇（偶）函数),(),(yxfyxf),(yxf),(yx 定义6 若函数的定义域关于轴对称，且满足),(zyxfz （或） ，则称是上关于的),(),(zyxfzyxf),(),(zyxfzyxf),(zyxfyx, 二元偏奇(偶)函数 定义7 若函数的定义域关于原点对称，且满足),(zyxf 或，则称是上关于),(),(zyxfzyxf),(),(zyxfzyxf),(zyxf 的三元全奇（偶）函数),(zyx 类似地，可以建立定义域关于轴对称的三元函数关于 的二元偏奇偶性；xzy, 以及定义域关于轴对称的三元函数关于的二元偏奇偶性yzx, 以下对定积分，重积分，第一、二型曲线积分，第一、二型曲面积分中的应用. （1）定积分的计算 在一个定积分中，如果积分区间关于原点对称，并且被积函数关于积分变量具有 奇偶性，则可利用定理1来简化计算 大庆师范学院毕业论文 3 定理 1 设在上可积，则=)(xfaa,dxxf a a )( .)(,)( 0 2 ,)(, 0 为偶函数若 为奇函数若 xfdxxf a xf 证明：因为 dxxfdxxfdxxf a aa a )()()( 0 0 对积分作代换 ， ，则得dxxf a )( 0 txdtdx dxxfdttfdttfdxxf aa aa 00 00 )()()()( 于是 dxxfxfxfdxxfdxxf aaaa a 000 )()()()()( 若（即为偶函数时），则)()(xfxf)(xfdxxfdxxf aa a 0 )(2)( 若（即为奇函数时），则)()(xfxf)(xf0)( dxxf a a 例 1 计算dxxxxx 3 3 223 )2tansin( 解：区间 关于原点对称，被积函数可分解为一个奇函数和3 , 3xxxtansin 23 一个偶函数2 2 x dxxxxx 3 3 223 )2tansin( =dxxdxxxx 3 3 2 3 3 23 )2()tansin( =0+dxx 3 0 2 )2(2 =30)2 3 1 (2 3 0 3 xx 当在上对称时除了利用上述的定理外我们还可以利用以下简单而有用的)(xfba, 公式： 公式一：dxxbafxfdxxbafdxxf b a b a b a )()( 2 1 )()( 公式一主要用于的原函数找不出来,，而f却非常简单，)(xf)()()(xgxbafxf 使积分成为可能。 例2 计算0 sincos sin 2 0 dx xx x 大庆师范学院毕业论文 4 解， xx x xf sincos sin )( xx x xx x xfxf 2 sin 2 cos 2 sin sincos sin ) 2 ()( =+=1 xx x sincos sin xx x sincos cos 从而，原式= 4 *1 2 1 2 0 dx 例3 计算dx xx x 4 2 )3ln()9ln( )9ln( 解 , )3ln()9ln( )9ln( )( xx x xf =+=1)6()(xfxf )3ln()9ln( )9ln( xx x )3ln()9ln( )3ln( xx x 从而，原式=1*1 2 1 4 2 dx 由例2，例3可得一个一般结果: 这里要求在 2 ) 2 )( () 2 )(3 ( ) 2 )(3 ( ab dx ba xfx ba f x ba f b a )(xf 上为非负连续函数.2)3( , 23baba 定积分计算中，当一个函数在对称区间上积分时，先设法将它分解为一个奇函数 和一个偶函数，这样可使计算大大简化。也可以利用公式一得非常规方法来化简复杂 的积分计算。同样在二重积分、三重积分、第一类型曲线或曲面积分计算时，也可以 利用对称性、奇偶性简化计算。 （二）二重积分的计算 当积分区域关于坐标轴对称，被积函数具有一元偏奇偶性时，可利用下述的定理2、定理3 和 推论1 来简化二重积分的计算 定理2 设区域关于轴对称，若在区域上可积，Dx0,),(),( 1 yDyxyxD),(yxfD 则 的奇函数。为， 的偶函数，为 y),(0 y),(,),(2 ),( 1 yxf yxfdyxf dyxf D D 证明 则,分别表示积分区域在轴的上方和下方区域，根据积分的区域可加性有 1 D 2 DDx 大庆师范学院毕业论文 5 。 21 ),(),(),( DDD dyxfdyxfdyxf 令，可得ux vy1 10 01 ),( ),( vu yx J ， 222 ),(),(),( DDD dudvvufdJvufdxdyyxf 其中,于 1222 ),(),(),( ,),(DDyxyxDyxyvxuvuD 是 1 ),(),(),( DDD dxdyyxfdudvvufdyxf 从而=， 21 ),(),(),( DDD dyxfdyxfdyxfdxdyyxfyxf D 1 ),(),( 因为 .),(0 ),(, ),(2 ),(),( 的奇函数为， 的偶函数，为 yyxf yyxfyxf yxfyxf 所以 的奇函数。为， 的偶函数，为 y),(0 y),(,),(2 ),( 1 yxf yxfdyxf dyxf D D 类似的可以得出定理3，推论1以及定理4.（此处能否都用定理符号，感觉有点乱） 定理3 设区域关于轴对称，若在区域Dy0,),(),( 1 xDyxyxD),(yxf 上可积，则D 的奇函数。， 的偶函数，为 xyxf yxfdyxf dyxf D D ),(0 x),(,),(2 ),( 1 推论1 设在区域上可积,且关于轴和轴都对称，则当同时),(yxfDDxy),(yxf 满足关于和的偶函数特性时，有xy 1 ),(4),( DD dyxfdyxf 其中；当满足关于或的奇函数特性时，0, 0,),(),( 1 yxDyxyxD),(yxfxy 大庆师范学院毕业论文 6 有。0),( dyxf D 当积分区域关于坐标原点对称，被积函数具有二元全奇偶性时，可利用定理4 来 简化二重积分的计算 定理 4 设区域关于原点对称，若在区域D0,),(),( 1 xDyxyxD),(yxf 上可积，则D 。的二元全奇函数， ），的二元全偶函数（为 ),(),(,),(0 ),(),(yx,),(,),(2 ),( 1 yxfyxfyxyxf yxfyxfyxfdyxf dyxf D D 例 4 计算，其中是由抛物线，及直线围成。 D dyxI)(D 2 xy 2 4xy 1y 解：，又区域关于轴对称，如图1所示， DD ydxdI Dy ),(),(yxfxyxf),(),(yxfyyxf ， D xd0dydy DD 1 2 5 2 22)( 1 0 2 1 y y DD dxydydydyxI 例5 计算，。 dxdyyx D 2),(yxyxD 大庆师范学院毕业论文 7 分析：积分区域既对称于轴，又对称于轴（如图1） ，被积函数是或的一元偏偶函xyxy 数 据定理2、定理3 或推论1 有 ，dxdyyxdxdyyx DDD 21 )(2)( 或者 ，dxdyyxdxdyyx DDD 41 )(2)( 或者 。dxdyyxdxdyyx DD 1 )(4)( 此外，积分区域,其中, 4321 DDDDD 1 D 与,分别关于原点对称,被积函数是的二元全偶函数 应用定理4 得 3 D 2 D 4 Dyx, dxdyyxdxdyyxdxdyyx DDD 21 )(2)(2)( 又有定理 2，3 知 ，dxdyyxdxdyyx DD 41 )()( dxdyyxdxdyyx DD 21 )()( 于是，只要计算在上的积分即可 1 D (3)三重积分的计算 三重积分的计算同样可用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化.常用的结 论如下,其中是关于对称平面、对称轴或对称点一侧的区域. 定理五：（1）当积分区域关于平面对称，则yoz 此处有打印错 1 .),(2 ,0 ),( 于为偶函数关若 于为奇函数关若 xfdvzyxf xf dvzyxf 其中0, 1 xzyx （2）当积分区域关于平面对称，则xoz （此处有打印错误） 1 .),(2 ,0 ),( 于为偶函数关若 于为奇函数关若 yfdvzyxf yf dvzyxf ，其中0, 1 yzyx 图 2 积分区域 大庆师范学院毕业论文 8 （3）当积分区域关于平面对称，则xoy 此处有打印错 1 .),(2 ,0 ),( 于为偶函数关若 于为奇函数关若 zfdvzyxf zf dvzyxf 其中0, 1 zzyx 证明：（1）依三重积分的性质得： 其中 dvzyxfdvzyxfdvzyxf 21 ),(),(),( ，0),( 1 xzyx0),( 2 xzyx 作变量替换，则=-1 zz zytyy tx 1 ),( ),( ),( zytD zyxD J 100 010 001 1J 当关于变量为偶函数时),(zyxfx dtdydzzytfdtdydzJzytfdvzyxf 112 ),(),(),( 当关于变量为奇函数时),(zyxfx 又积分与积分变量无关。dtdydzzytfdtdydzJzytfdvzyxf 112 ),(),(),( 所以 1 .),(2 ,0 ),( 于为偶函数关若 于为奇函数关若 xfdvzyxf xf dvzyxf 余下定理同理可证。 例6计算其中为抛物体与球体 ,)(dvxzyzxyI 02 22 ayxaz 的公共部分，如图 2222 3azyx 解：因为关于面对称，而，关于是奇函数0yxyyzy 所以，又关于面也对称，而关于是奇函数 0)(dvyzxy0xxzx 所以 0xzdv0I (4)曲线积分计算 类似重积分的计算，曲线积分的计算也可以利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简 大庆师范学院毕业论文 9 化 常用的结论如下. 定理六 当积分曲线为平面曲线，且关于轴（或 轴）对称，被积函数关LLyx),(yxf 于（或）具有一元偏奇偶性，则xy ， 1 ),(),(2 ),(0 ),( L Lyxyxfdsyxf yxyxf dsyxf ）为偶函数（或关于变量若 ）为奇函数（或关于变量若 其中。)0y(0, 1 或xLyxL 证明：设关于轴对称的平面光滑曲线的函数为，则：yL)(xyy aax, dxxyxyxfdsyxf a aL 2 )(1)(,(),( =+dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,( dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,( 又令，则：tx =dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,( )()(1)(,( 2 0 tdtytytf a =dttytytf a 2 0 )(1)(,( dttytytf a 2 0 )(1)(,( 由于关于轴对称及，L)()(tyty)()(tyty 当关于是偶函数时：),(yxfx 上式=dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,(2 = L dsyxf),(dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,( 1 ),(2 L dsyxf 当关于是奇函数时，同理可证。),(yxfx 例7 设是圆周求,求L 222 Ryxdsyx )( 32 解：，关于轴和轴对称，关于是偶函数，dsydsxI 32 Lxy 2 ),(xyxfx 关于是奇函数，则： 3 ),(yyxfy =0,02 222 1 2 1 xRyxyxLdsxI L 且 RdR 2 2 2 2 cos2 dR 2 0 23 cos4 3 R 定理七 当积分曲线为空间曲线，且关于坐标面（或或）对称，LLxoyyozzox 被积函数关于（或或）具有一元偏奇偶性时，则zxy 1 yxz),()z,(2 yxz),(0 ),( L Lzyxfdsyxf zyxf dsyxf ）为偶函数或（或关于变量若， ）为奇函数或（或关于变量若 大庆师范学院毕业论文 10 证明同上： （5）曲面积分计算 在曲面积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某 种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方 面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性。 定理八（第一类曲面积分) 设分片光滑曲面关于面对称，为曲面在xoy 1 面的上半部分，那么xoy0,: 1 yxzz 为偶函数关于若 为奇函数关于若 zzyxfdszyxf zzyxf dszyxf ),(),(2 ),(0 ),( 1 证：设，为与关于面对称的曲面, 21 2 1 xoy),(: 2 yxzz 和在面上的投影为，和是上的单值函数。 1 2 xoy xy D),(yxzz ),(yxzz xy D 故dszyxfdszyxfdszyxf 21 ),(),(),( =+dxdyzzyxzyxf yx Dxy 22 1),(,( dxdyzzyxzyxf yx Dxy )()(1),(,( 22 =dxdyzzyxzyxfyxzyxf yx Dxy 22 1),(,(),(,( 当是的奇函数时，有),(zyxfz),(),(zyxfzyxf0),( dszyxf 当是的偶函数时，有),(zyxfz),(),(zyxfzyxf dszyxfdszyxf 1 ),(2),( 若关于另外两个坐标面有对称性，则有类似的方法。第二类曲面积分的奇偶对称性 也有类似的性质，参照上述证明过程同样可以得到下述定理。 定理九（第二类曲面积分定理）设分片光滑的空间曲面关于面对称，为yoz 1 曲面在面的前半部分，那么yoz0,: 1 zyxx 为偶函数关于若 为奇函数关于若 xzyxfdszyxf xzyxf dszyxf ),(),(2 ),(0 ),( 1 若关于另外两个坐标面有对称性, 则有类似的方法。 大庆师范学院毕业论文