(习题解答)习题9-2常数项级数收敛性的判定

习题 9-21.判断下列级数的敛散性.（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（）解：（1）；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。（2）；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛（级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数收敛。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛（级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。（3）；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为（），且调和级数发散；则由正项级数的比较判别法，得级数发散。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而，所以，即，又调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。（4）；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛（级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数收敛。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛（级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。（5）；因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。（6）（）当时，则由级数收敛的必要条件，得级数（）发散；当时，则由级数收敛的必要条件，得级数（）发散；当时，且级数是公比为（）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。综上，当时，级数发散；当时，级数收敛。 2. 判断下列级数的敛散性.（1）； （2）； （3）（）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）（其中，均为正数）.解：（1）；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为，且收敛，由正项级数的比较判别法，得级数收敛。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，且级数收敛，由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。（2）；方法一：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，且等比级数收敛，由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。方法二：（利用正项级数的比值判别法）因为，由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（3）（）；因为（），而，利用级数收敛性的结论，得当即时级数是发散的；当即时级数是收敛的；由正项级数的比较判别法的极限形式，得当时级数发散；当时级数收敛。（4）；因为，且级数收敛，由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。注：本题不能用正项级数的比值判别法。（5）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数发散。（6）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（7）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（8）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（9）；因为，则由正项级数的根值判别法，得级数收敛。（10）；因为，则由正项级数的根值判别法，得级数收敛。（11）；因为，由正项级数的根值判别法，当即时级数收敛；当即时级数发散；当即时，级数可能收敛也可能发散。3. 判断下列级数的敛散性.（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）； （9）解：（1）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。(2）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（3）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（4）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（5）；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（6） ；因为，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛。（7）；因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。（8）；因为，所以，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。（9）；因为，此时由正项级数的比值判别法不能得到级数的敛散性。但是由于数列是单调递增的，且，所以，从而，即，从而，此时，利用收敛级数的必要条件，可知级数是发散的。4.判断下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）.解：（1）；因为发散（级数的结论），所以级数不绝对收敛；对交错级数，由于，且，则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛；从而级数条件收敛。（2）；因为，而，且调和级数发散，则由正项级数的比较判别法，得级数发散，即级数不绝对收敛；对交错级数，由于，且，则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛；从而级数条件收敛。（3）；对级数，因为，且级数收敛（级数的结论），则由正项级数的比较判别法，得级数收敛，即级数绝对收敛。 （4）；因为，而，则由正项级数的根值判别法，得级数收敛，即级数绝对收敛。（5）；因为，而，且发散（级数的结论），则由正项级数的比较判别法，得级数发散，所以级数不绝对收敛；对交错级数，令，则，从而当时，即当时单调递减；故，又（因为，所以），则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛，从而也收敛。故级数条件收敛。（6）；因为，而，则由正项级数的比值判别法，得级数收敛，