巧妙编写几何变式训练题,促进学生数学能力的提高.doc

巧妙编写几何变式训练题，促进学生数学能力的提高由一道平行四边形习题所引发的变式探究及启示仓桥学校 陈习梅摘要：上海市中小学数学课程标准中指出:充分关注学习训练方式对学生创新精神和实践能力的促进作用;重视学习训练体系中的开放性、实践性、研究性、应用性和综合性。这就提倡教师采用变式教学来提高教学的有效性。所谓变式是指对数学概念、定义、定理、公式等保持核心本质不变的前提下，从不同层次，不同情形，不同背景去设计问题，拓展内涵与外延，使其耳目一新。引导学生从不同角度去发散性思考，加深对所学知识的准确理解，培养学生发现问题,分析问题，解决问题的能力。笔者以一道平行四边形习题的变式设计为例，采用以下不同思路与方法进行了原题再设计,包括:交换问题的条件和结论；改变图形的部分结构；添加特殊的点或线；变定性关系为定量关系；几何图形与函数整合；图形运动（如图形的翻折，旋转等）；几何图形的实际应用等。这样做是为了尽量避免师生掉入繁重的题海训练中，而又能提高学生提出问题，分析问题，解决问题的数学能力。关键词：几何图形 平行四边形 变式 数学能力我们经常通过让学生做几何小试卷，来检查我们的上课效率，发现考查双基类型的题目，学生做得挺好的，可是稍微有点考查能力的题目，班级能够做完整的学生不多。于是老师把那一道能力题再详细的讲一遍，过几天再拿出来练习，学生还是没什么印象，仍然会做的学生增加不多。说明与几何图形相关的一些定理、定义、重点例题在学生的头脑中并没有生根发芽，学过即忘，留不下深刻印象。于是老师们坐在一起，交流此事，诊断出结果：做的太少了，要多做些能力题。于是几何能力题目一日一练，老师们又惊愕地发现：量开始是有了，质却没有，要么交上来一堆错题，要么一堆空白，最后连量也没有了。学生不交能力训练题了，尤其是女生。问其原因，学生说不知从何下手。老师们上火了，这是为什么呢？教研组请来专家与老师们共同把脉，对这种现象的解释是：学生学习时没有学活，不会变通，不会举一反三，应变性差。定理在什么情形下使用，相关联题型如何用；解题时不清楚有些条件该如何使用。一句话，大脑中的数学思维杂乱无章，混乱不堪，形不成清晰的解题套路。即解题所需要的数学能力学生并没有形成。教师所设计的习题与学生的思维并没有形成共振区域，学生只知道思维定势的去考虑问题，一旦题目环境发生变化，学生便束手无策，学生是害怕陌生的、变化的题目啊！找到了问题的症结所在，那我们就通过设计几何变式习题发展学生的数学能力，循序渐进的提高学生的思维品质。因此，掌握一些编写变式训练题的常用方法和技巧是非常必要的。一、 变式训练的方法母题：如图： ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，EF过点O分别与AB、DC相交于点E、点F. 求证：OE=OF变式一 ：把原命题的已知条件和结论(或部分已知条件和结论)交换，看是否成立。举例1：如母图：四边形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，EF过点O分别与AB、DC相交于点E、点F， OE=OF，OA=OC. 求证：四边形ABCD是平行四边形。简析：考查学生平行四边形性质及判定方法，三角形全等等知识点，通过三角形全等,得出判定平行四边形需要的两个条件。变式二：一箭多雕，即已知条件相同，添加相应的线条，但有不同的结果得出。举例2：在母题中，连接哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？简析：通过母体图形得出OE=OF,连接EC，AF和BF,ED又可以得出两个平行四边形。变式方法三：添加一个常见的几何图形要素，例如不同类型的特殊线段，如高线、角平分线、中线等，盘活题型。举例3：在母题图中，如果过点O再作GHEF，分别交于AD、BC于G、H，那么EHFG是怎样的四边形?为什么？（图1）简析：考查学生平行四边形性质及判定方法，三角形全等,菱形判定方法等知识点的应用。要求学生能从复杂图形中分离出基本图形的能力。举例4：在母题图中，若改为过点A作AGBC，垂足为G，连接GO并延长交AD于H,连结HC，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？（图2）再加一个条件，使得四边形AHCG成为正方形，留给学生探究。简析：可通过三角形全等得出满足矩形的有关条件。举例5：在母题图中，若改为AC为DAG的平分线交BC于G，连接GO并延长交AD于H,连结HC，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？（图3）简析：通过平行四边形是关于其对角线交点成中心对称图形，我们能很快得出OH=OG,AO=CO,得出其是平行四边形，或通过其他方法得出平行四边形，再通过平行线和角平行线的性质就可以得出其是菱形。举例5：在图1中，若GHBD，垂足为O，则四边形BGDH是什么四边形？为什么？（图4）简析：GH其实就是线段BD的垂直平分线，可以用多种方法得出这个四边形是菱形。 图形一复杂，有些同学就无从下手，而且推理过程比较繁琐。通过一系列的变式，这些题目学生能很快找到恰当的方法解决出来，而且印象深刻。 变式方法四：变定性为定量研究。举例6：在举例4中，若将“ ABCD”改为：”矩形ABCD”,则四边形BGDH是什么四边形？并求证，若AB=6,BC=8,试求GH的长。（图5）简析：易知四边形BGDH是菱形，通过勾股定理可求出AG和BD,再求出OG,当然也可利用相似形推出ABD与GOD相似，求出OG,再求出GH。变式方法五：加入新知，扩展能力。举例7：已知：如图6四边形ABCD是平行四边形，其中D点与坐标轴原点重合，C点在X轴正半轴上，A、B两点在第一象限，C的坐标（3,0），BCD的面积为3，对角线BD=4。（1） 求点B坐标及ABD的度数；（2） 连结AC与DB相交于M，直线m经过M点，并且与DB垂直，求直线m的解析式。简析：把几何图形和函数结合起来的综合应用。考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质及待定系数法求函数解析式，三角形面积公式，两点之间距离公式等知识点。方法得当，计算就简便准确。培养学生的综合解题能力。变式六：折叠变式。图7例题8：将平行四边形纸片按如图7方式折叠，使点与重合，点落到处，折痕为连结，判断四边形是什么特殊四边形？说明你的结论简析：把平行四边形与图形的运动中的翻折结合起来。考查了学生平行四边形性质及判定，还有翻折的相关性质的知识点的应用。变式七：旋转变式。举例9：一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90，能够与它本身重合，则该四边形是什么图形，试求证。简析：考查学生的作图能力，把平行四边形与图形的运动中的旋转结合起来。变式九：动点变式。举例10：如图8，长为a的菱形ABCD中，DAB60，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足A ECF=a，说明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。简析：考查学生在运动中找不变的量，AE+CF=a，也就是说明AE=DF,或DE=CF,连接BD,通过证三角形全等及等边三角形的判定方法可得。变式十：应用于实际生活中。举例11：如图9，ABCD是老王家的一块平行四边形田地，P为水井，图9现要把这块田平均分给两个儿子,为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由.简析：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 我们说只要满足所分的两块地面积相等，且都与水井相邻就可以。那么可以考虑利用平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分）来解题。找到两条对角线的交点，则交点和水井所在的直线将田地分成面积相等的两块，培养学生用数学解决简单实际问题的能力。二、 变式训练对师生的影响。对教师而言，减少了编写重复、低效习题的繁杂劳动，腾出时间，精心钻研教师专业技术水平。每当有一个高质量变式习题创新出来，心情自然愉悦。长时间坚持，教师的专业水平将突飞猛进。学生也感觉到教师不一般的水平，师生产生向心力，在学习数学的过程中，相向而行，师生关系融洽，更有利于学习数学。对学生而言，通过一定量的变式训练，使学生从各个角度认识问题，认识到问题的主旨，又扩展了认识，形成全新视角。新题和原题存在关联，能形成一系列的知识链、问题链、方法链，纵向加深，横向迁移，可以培养学生善于提出问题、分析问题、解决问题的能力，自主地探究问题的内涵和外延。同时习题中渗透的数学方法与技巧形成思维能力，提高了解题的效率，提高了数学能力，个体思维品质也获得良好发展。另外学生接触变式题目，新鲜感增强，能唤起学生的好奇心和求知欲，对数学几何题的恐惧会逐渐减弱，内心产生学习动力，保持学习数学的浓厚的兴趣和持久热情。三、变式设计中应注意的几个问题。1、根据学情，把握变式设计的递度和深度 。 在几何习题变式设计的过程中，必须考虑到几何学习困难生、中等生、优等生的不同学习需求。既要有由简单图形到复杂图形的递进变式，又要有简单思维到数学高阶思维的深度变式，即有一定的递度，同时又要有一定的深度。 2、变式题量要适度 。 教师不必每题必变，选作变式训练的题目必须是典型的，有一定的代表意义，能体现特定的教学目的。根据学生的数学知识程度与思维特点，精致设计适量的变式.敲开学生变式思维的大门，触发学生创新灵感，提高数学能力。 3、学生的积极参与度。 数学课堂教学，教师主导，学生主体。变式教学是老师与学生共享的专利，在几何变式训练中应充分调动学生的积极性，使学生主动参与到变式的过程中来。几何画板作为一种专门研究动态几何的教学软件，如果教师和学生熟练掌握，那么变式数学课堂，就搬到了计算机机房，搬到了数学实验室。学生根据老师的引导，亲自动手，准确画图，改变点、线、面，翻转、平移图形，得出不同的变式图形，真正引起学生主动探究的欲望。思维活动被充分激活，学习效率大大提高，教学效率也更上一层楼。这不仅有利于培养学生的创新能力，有时还会产生意想不到的、令人兴奋的情景： 当他们互相演示给对方看时，激动不已，一种说不出的成就感油然而生，喜悦之情溢于言表.总结：变式训练作用的几点浅薄认识。I、有利于面向全体学生，因材施教，使层次不同的学生在数学学科方面取得不同的进步。进行变式训练时，我们把握住由浅入深，由特殊到一般，由简单思维到综合抽象思维，循序渐进，螺旋上升，这样有利于面向全体学生。特别是基础较差的学生，通过坚持长久的变式训练，可以夯实一些双基知识、加深基本解题方法的理解，形成深刻的印象，提高解题效率；对于基本功扎实的学生，通过变式训练可以使学生开阔视野，活跃思维，降低思维阻断，形成高层次思维能力。II、精致的变式设计练习，可有效减少题海战术的负面效果，提高课堂效益.经常性的变式训练教学，久而久之，潜移默化的培养了学生数学能力。III、有利于学生掌握科学的学习方法，实现能力的迁移。例如变式训练中的变式对比研究过程，训练了学生发现