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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编2.2函数的性质与反函数.doc2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编2.2函数的性质与反函数.doc -- 12 元

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高考地理复习第二章函数二函数的性质与反函数【考点阐述】函数的单调性.奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.【考试要求】(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数.【考题分类】(一)选择题(共21题)1.(安徽卷理9)在同一平面直角坐标系中,函数ygx的图象与xye的图象关于直线yx对称。而函数yfx的图象与ygx的图象关于y轴对称,若1fm,则m的值是()A.eB.1eC.eD.1e解由题知ln,ln,gxxfxx则1lnm,em1选D。2.(安徽卷理11)若函数,fxgx分别是R上的奇函数、偶函数,且满足xfxgxe,则有()A.230ffgB.032gffC.203fgfD.023gff解用x代换x得,xfxgxe即xfxgxe,解得2,2xxxxeexgeexf,而xf单调递增且大于等于0,10g,选D。3.(安徽卷文6)函数2110fxxx的反函数为A.1111fxxxB.1111fxxxC.1112fxxxD.1112fxxx解由原函数定义域是反函数的值域,10fx,排除B,D两个又原函数x不能取1,fx不能取1,故反函数定义域不包括1,选C.直接求解也容易4.(北京卷文5)函数2111fxxx的反函数为()A.1111fxxxB.1111fxxx高考地理复习C.1111fxxx≥D.1111fxxx≥【答案】B【解析】22111,11,11,xyxxyxy所以反函数为1111fxxx5.(福建卷理4文4)函数fxx3sinx1xR,若fa2,则fa的值为A.3B.0C.1D.2解31sinfxxx为奇函数,又2fa11fa故11fa即0fa.6.(湖北卷文6)已知fx在R上是奇函数,且24,0,22,7fxfxxfxxf当时,则A.2B.2C.98D.98解由题设27311212ffff7.(湖南卷文4)函数02xxxf的反函数是0.1xxxfA0.1xxxfB0.1xxxfC0.21xxxfD【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点1,1,则其反函数过点1,1,验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用原函数与反函数的定义域、值域互换来解答。8.(辽宁卷理12)设fx是连续的偶函数,且当x0时fx是单调函数,则满足34xfxfx的所有x之和为()A.3B.3C.8D.8答案C解析本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足34xfxfx时,即34xxx时,得2330xx,此时123.xx又fx是连续的偶函数,∴fxfx,∴另一种情形是34xfxfx,即34xxx,得2530xx,∴345.xx∴满足34xfxfx的所有x之和为358.高考地理复习9.(辽宁卷文2)若函数1yxxa为偶函数,则a()A.2B.1C.1D.2答案C解析本小题主要考查函数的奇偶性。121,fa101,ff1.a10.(全国Ⅰ卷理6)若函数1yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称,则fx()A.21xeB.2xeC.21xeD.22xe解析B.由21212ln1,1,yxxyxxefxefxe11.(全国Ⅰ卷文8)若函数yfx的图象与函数ln1yx的图象关于直线yx对称,则fx()A.22exB.2exC.21exD.22ex2y1y12y22x2y1lnx,xe,xee,yeA----解析本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法。∵-∴∴改写为∴答案为,12.(全国Ⅱ卷理3文4).函数1fxxx的图像关于()A.y轴对称B.直线xy对称C.坐标原点对称D.直线xy对称【答案】C【解析】1fxxx是奇函数,所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性的性质13.(山东卷理4)设函数fx=|x1||xa|的图象关于直线x=1对称,则a的值为A3B2C1D1解1x、xa在数轴上表示点x到点1、a的距离,他们的和1fxxxa关于1x对称,因此点1、a关于1x对称,所以3a(直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦,如取特殊值解也可以)14.(陕西卷理7文7)已知函数32xfx,1fx是fx的反函数,若16mn(mnR,),则11fmfn的值为()A.2B.1C.4D.10解3122log3xfxfxx于是高考地理复习11222log3log3log6fmfnmnmn2log16646215.(四川卷理11文9)设定义在R上的函数fx满足213fxfx,若12f,则99f(A)13(B)2(C)132(D)213【解】∵213fxfx且12f∴12f,1313312ff,13523ff,1313752ff,13925ff,,∴221132nfnn为奇数为偶数,∴1399210012ff故选C【点评】此题重点考察递推关系下的函数求值【突破】此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值,或者得到函数的周期性求解16.(四川卷文2)函数1ln212yxx的反函数是(A)112xyexR(B)21xyexR(C)112xyexR(D)21xyexR【解】∵由ln21yx反解得112yxe∴112xye从而淘汰(B)、(D)又∵原函数定义域为12x∴反函数值域为12y故选C【考点】此题重点考察求反函数的方法,考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性【突破】反解得解析式,或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰17.(天津卷理7)设函数1011xxxf的反函数为xf1,则Axf1在其定义域上是增函数且最大值为1Bxf1在其定义域上是减函数且最小值为0Cxf1在其定义域上是减函数且最大值为1Dxf1在其定义域上是增函数且最小值为0高考地理复习解析1yx为减函数,由复合函数单调性知fx为增函数,所以1fx单调递增,排除B、C又1fx的值域为fx的定义域,所以1fx最小值为0.18.(天津卷文3)函数104yxx≤≤的反函数是()A.2113yxx≤≤B.2104yxx≤≤C.2113yxx≤≤D.2104yxx≤≤解析当04x时,,311x,解1yx得121fxx,选A.19.(重庆卷理6)若定义在R上的函数fx满足对任意x1,x2R有fx1x2fx1fx21,,则下列说法一定正确的是()Afx为奇函数(B)fx为偶函数Cfx1为奇函数(D)fx1为偶函数解令0x,得0201ff,01f,所以11fxxfxfx110fxfx,即11fxfx,所以1fx为奇函数,选C20.(重庆卷文6)函数y10x210<x≤1=的反函数是()A11lg10yxx>B1lgyxx>110C1lgyx110<x≤1D1lgyx110<x≤1【答案】D【解析】本小题主要考查反函数的求法。由211001xyx得21lgxy,即lg1xy。又因为01x时,2110x,从而有21110110x,即原函数值域为1,110。所以原函数的反函数为1lg1110yxx,故选D。21.(四川延考理11文11)设函数yfxxR的图象关于直线0x及直线1x对称,且0,1x时,2fxx,则32f()(A)12(B)14(C)34(D)94解23311111112222224fffff(二)填空题(共8题)1.(湖南卷理13)设函数yfx存在反函数1yfx,且函数yxfx的图象过点高考地理复习1,2,则函数1yfxx的图象一定过点.【答案】1,2【解析】由函数yxfx的图象过点1,2得11,f即函数yfx过点1,1,则其反函数过点1,1,所以函数1yfxx的图象一定过点1,2.2.(湖南卷理14)已知函数31.1axfxaa(1)若a>0,则fx的定义域是2若fx在区间0,1上是减函数,则实数a的取值范围是.【答案】3,a,,01,3【解析】(1)当a>0时,由30ax得3xa,所以fx的定义域是3,a2当a>1时,由题意知13a当0a1时,为增函数,不合当a0时,fx在区间0,1上是减函数.故填,01,3.3.(辽宁卷理13)函数100xxxyex,,,≥的反函数是__________.答案11ln1.xxyxx,,,≥解析本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。4.(辽宁卷文13)函数21xyex∞∞的反函数是.答案1ln102yxx解析本小题主要考查反函数问题。21121lnln1,2xyexyxy所以反函数是1ln10.2yxx5.(上海卷理4)若函数fx的反函数为f-1x=x2(x>0),则f4=【答案】2【解析】令1244402ftftttt.高考地理复习6.(上海卷文4)若函数fx的反函数为12logfxx,则fx.【答案】2xxR【解析】令2log0,yxx则yR且2,yx2.xfxxR7.(上海卷文9)若函数2fxxabxa(常数abR,)是偶函数,且它的值域为4,,则该函数的解析式fx.【答案】224x【解析】22222fxxabxabxaabxa是偶函数,则其图象关于y轴对称,202,aabb2222,fxxa且值域为4,,224,a224.fxx8.(四川延考理13文13)函数11xyexR的反函数为。解11111ln1xxyeeyxy,所以反函数ln111yxx,(三)解答题(共1题)1.(江苏卷20)若1212123,3,,,xpxpfxfxxRpp为常数,且112212,,fxfxfxfxfxfxfx(I)求1fxfx对所有的实数x成立的充要条件(用12,pp表示)II设,ab为两实数,ab且12,,ppab,若fafb,求证fx在区间,ab上的单调增区间的长度和为2ba(闭区间,mn的长度定义为nm)。解(1)由fx的定义可知,1fxfx(对所有实数x)等价于12fxfx(对所有实数x)这又等价于12323xpxp,即123log2332xpxp对所有实数x均成立.()由于121212xpxpxpxpppxR的最大值为12pp,故()等价于1232pp,即123log2pp,这就是所求的充分必要条件(2)分两种情形讨论(i)当1232pplog时,由(1)知1fxfx(对所有实数,xab)高考地理复习Oyxa,fab,fb图1Oyxa,fab,fbx0,y0p2,2p1,1图2则由fafb及1apb易知12abp,再由111113,3,pxxpxpfxxp的单调性可知,函数fx在区间,ab上的单调增区间的长度为22abbab(参见示意图1)(ii)1232pplog时,不妨设12,pp,则213log2pp,于是当1xp时,有121233pxpxfxfx,从而1fxfx当2xp时,有312122122log2333333xpppxpppxpxpfxfx从而2fxfx当12pxp时,113xpfx,及2223pxfx,由方程12323xppx解得12fxfx与图象交点的横坐标为12031log222ppx⑴显然10221321log22pxpppp,这表明0x在1p与2p之间。由⑴易知101022,,pxxfxfxxxpfx综上可知,在区间,ab上,0102,,axxfxfxxxbfx(参见示意图2)故由函数1fx及2fx的单调性可知,fx在区间,ab上的单调增区间的长度之和为012xpbp,由于fafb,即12323pabp,得123log2ppab⑵故由⑴、⑵得0121231log222baxpbpbpp综合(i)(ii)可知,fx在区间,ab上的单调增区间的长度和为2ab。
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