2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编2.2函数的性质与反函数.doc

高考地理复习第二章函数二函数的性质与反函数【考点阐述】函数的单调性.奇偶性反函数互为反函数的函数图像间的关系【考试要求】（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数【考题分类】（一）选择题（共21题）1.（安徽卷理9）在同一平面直角坐标系中，函数()ygx的图象与xye的图象关于直线yx对称。而函数()yfx的图象与()ygx的图象关于y轴对称，若()1fm，则m的值是（）AeB1eCeD1e解：由题知()ln,()ln(),gxxfxx则1)ln(m，em1选D。2.（安徽卷理11）若函数(),()fxgx分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()xfxgxe，则有（）A(2)(3)(0)ffgB(0)(3)(2)gffC(2)(0)(3)fgfD(0)(2)(3)gff解：用x代换x得：()(),xfxgxe即()()xfxgxe，解得：2)(,2)(xxxxeexgeexf，而)(xf单调递增且大于等于0，1)0(g，选D。3.（安徽卷文6）函数2()(1)1(0)fxxx的反函数为A1()11(1)fxxxB1()11(1)fxxxC1()11(2)fxxxD1()11(2)fxxx解：由原函数定义域是反函数的值域，1()0fx，排除B,D两个；又原函数x不能取1，()fx不能取1，故反函数定义域不包括1，选C.(直接求解也容易)4.（北京卷文5）函数2()(1)1(1)fxxx的反函数为（）A1()11(1)fxxxB1()11(1)fxxx高考地理复习C1()11(1)fxxxD1()11(1)fxxx【答案】B【解析】221(1)1,(1)1,11,xyxxyxy所以反函数为1()11(1)fxxx5.（福建卷理4文4）函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为A.3B.0C.-1D.-2解：3()1sinfxxx为奇函数，又()2fa()11fa故()11fa即()0fa.6.（湖北卷文6）已知()fx在R上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)fxfxxfxxf当时，则A.-2B.2C.-98D.98解：由题设2(7)(3)(1)(1)212ffff7.（湖南卷文4）函数)0()(2xxxf的反函数是()0()(.1xxxfA)0()(.1xxxfB)0()(.1xxxfC)0()(.21xxxfD【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),则其反函数过点(1,1),验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。8.（辽宁卷理12）设()fx是连续的偶函数，且当x0时()fx是单调函数，则满足3()4xfxfx的所有x之和为（）A3B3C8D8答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足3()()4xfxfx时，即34xxx时，得2330xx，此时123.xx又()fx是连续的偶函数，()()fxfx，另一种情形是3()()4xfxfx，即34xxx，得2530xx，345.xx满足3()()4xfxfx的所有x之和为3(5)8.高考地理复习9.（辽宁卷文2）若函数(1)()yxxa为偶函数，则a=（）A2B1C1D2答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性。(1)2(1),fa(1)0(1),ff1.a10.（全国卷理6）若函数(1)yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则()fx（）A21xeB2xeC21xeD22xe解析：B.由21212ln1,1,yxxyxxefxefxe11.（全国卷文8）若函数()yfx的图象与函数ln1yx的图象关于直线yx对称，则()fx（）A22exB2exC21exD2+2ex2y1y12y22x2y1=lnx,x=e,x=e=e,y=eA解析:本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法。改写为：答案为，12.（全国卷理3文4）函数1()fxxx的图像关于（）Ay轴对称B直线xy对称C坐标原点对称D直线xy对称【答案】C【解析】1()fxxx是奇函数，所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性的性质13.（山东卷理4）设函数f(x)x+1+x-a的图象关于直线x1对称，则a的值为(A)3(B)2(C)1(D)-1解：1x、xa在数轴上表示点x到点1、a的距离，他们的和()1fxxxa关于1x对称，因此点1、a关于1x对称，所以3a（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以）14.（陕西卷理7文7）已知函数3()2xfx，1()fx是()fx的反函数，若16mn（mn+R，），则11()()fmfn的值为（）A2B1C4D10解：312()2()log3xfxfxx于是高考地理复习11222()()log3log3log6fmfnmnmn2log16646215.（四川卷理11文9）设定义在R上的函数fx满足213fxfx，若12f，则99f()（）13（）2（）132（）213【解】：213fxfx且12f12f，1313312ff，13523ff，1313752ff，13925ff，221132nfnn为奇数为偶数，1399210012ff故选C【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；16.（四川卷文）函数1ln212yxx的反函数是()（）112xyexR（）21xyexR（）112xyexR（）21xyexR【解】：由ln21yx反解得112yxe112xye从而淘汰（）、（）又原函数定义域为12x反函数值域为12y故选C；【考点】：此题重点考察求反函数的方法，考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性；【突破】：反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰；17.（天津卷理7）设函数1011xxxf的反函数为xf1，则(A)xf1在其定义域上是增函数且最大值为1(B)xf1在其定义域上是减函数且最小值为0(C)xf1在其定义域上是减函数且最大值为1(D)xf1在其定义域上是增函数且最小值为0高考地理复习解析：1yx为减函数，由复合函数单调性知()fx为增函数，所以1()fx单调递增，排除B、C；又1()fx的值域为()fx的定义域，所以1()fx最小值为018.（天津卷文3）函数1(04)yxx的反函数是（）A2(1)(13)yxxB2(1)(04)yxxC21(13)yxxD21(04)yxx解析：当04x时，,311x，解1yx得12()(1)fxx，选A19.（重庆卷理6）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是（）(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数解：令0x，得(0)2(0)1ff，(0)1f，所以()()()11fxxfxfx()()110fxfx,即()1()1fxfx，所以()1fx为奇函数,选C20.（重庆卷文6）函数y=10x2-1(0x1的反函数是（）(A)11lg()10yxx(B)1lgyx(x110)(C)1lgyx(110x1(D)1lgyx(110x1【答案】D【解析】本小题主要考查反函数的求法。由2110(01)xyx得：21lgxy，即lg1xy。又因为01x时，2110x，从而有21110110x，即原函数值域为1(,110。所以原函数的反函数为1lg1(1)10yxx，故选D。21.（四川延考理11文11）设函数()yfx()xR的图象关于直线0x及直线1x对称，且0,1x时，2()fxx，则3()2f（）（A）12（B）14（C）34（D）94解：23311111()()(1)(1)()()2222224fffff（二）填空题（共8题）1.（湖南卷理13）设函数()yfx存在反函数1()yfx,且函数()yxfx的图象过点高考地理复习(1,2),则函数1()yfxx的图象一定过点.【答案】(-1,2)【解析】由函数()yxfx的图象过点(1,2)得:(1)1,f即函数()yfx过点(1,1),则其反函数过点(1,1),所以函数1()yfxx的图象一定过点(1,2).2.（湖南卷理14）已知函数3()(1).1axfxaa（1）若a0,则()fx的定义域是；(2)若()fx在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】3,a,01,3【解析】（1）当a0时，由30ax得3xa,所以()fx的定义域是3,a；(2)当a1时，由题意知13a；当0a1时，为增函数,不合；当a0时，()fx在区间0,1上是减函数.故填,01,3.3.（辽宁卷理13）函数100xxxyex，的反函数是_答案：11ln1.xxyxx，解析：本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。4.（辽宁卷文13）函数21()xyex的反函数是答案：1(ln1)(0)2yxx解析：本小题主要考查反函数问题。21121ln(ln1),2xyexyxy所以反函数是1(ln1)(0).2yxx5.（上海卷理4）若函数f(x)的反函数为f1(x)x2（x0），则f(4)【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2ftftttt.高考地理复习6.（上海卷文4）若函数f(x)的反函数为12()logfxx，则()fx【答案】2xxR【解析】令2log(0),yxx则yR且2,yx()2.xfxxR7.（上海卷文9）若函数()()(2)fxxabxa（常数abR，）是偶函数，且它的值域为4，则该函数的解析式()fx【答案】224x【解析】22()()(2)(2)2fxxabxabxaabxa是偶函数，则其图象关于y轴对称,202,aabb22()22,fxxa且值域为4，224,a2()24.fxx8（四川延考理13文13）函数11xye()xR的反函数为。解：11111ln(1)xxyeeyxy，所以反函数ln(1)1(1)yxx，（三）解答题（共1题）1.（江苏卷20）若121212()3,()3,xpxpfxfxxRpp为常数，且112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx（I）求1()()fxfx对所有的实数x成立的充要条件（用12,pp表示）；(II)设,ab为两实数，ab且12,(,)ppab，若()()fafb，求证：()fx在区间,ab上的单调增区间的长度和为2ba（闭区间,mn的长度定义为nm）。解：（1）由()fx的定义可知，1()()fxfx（对所有实数x）等价于12fxfx（对所有实数x）这又等价于12323xpxp，即123log2332xpxp对所有实数x均成立.（*）由于121212()()()xpxpxpxpppxR的最大值为12pp，故（*）等价于1232pp，即123log2pp，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i）当1232pplog时，由（1）知1()()fxfx（对所有实数,xab）高考地理复习Oyx(a,f(a)(b,f(b)图1Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图2则由fafb及1apb易知12abp，再由111113,()3,pxxpxpfxxp的单调性可知，函数()fx在区间,ab上的单调增区间的长度为22abbab（参见示意图1）（ii）1232pplog时，不妨设12,pp，则213log2pp，于是当1xp时，有1212()33()pxpxfxfx，从而1()()fxfx；当2xp时，有312122122log2()333333()xpppxpppxpxpfxfx从而2()()fxfx；当12pxp时，11()3xpfx，及22()23pxfx，由方程12323xppx解得12()()fxfx与图象交点的横坐标为12031log222ppx显然1022