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基于高斯函数形式的热平衡积分法AGaussianFunctionBasedHeatBalanceIntegralMethod袁国静2,1，令锋21.内蒙古工业大学理学院，内蒙古呼和浩特010051；2.肇庆学院计算机学院，广东肇庆526061投寄：潍坊学院学报收稿日期：2010-06-22；修改日期：2010-基金项目：广东省自然科学基金资助项目（04011600）作者简介：袁国静（1983-），女，山东潍坊人，内蒙古工业大学与肇庆学院联合培养硕士研究生。通讯作者：令锋（1963-），男，陕西岐山人，教授，博士，基于高斯函数形式的热平衡积分法袁国静2,1，令锋2（1.内蒙古工业大学，内蒙古呼和浩特010051；2.肇庆学院，广东肇庆526061）摘要：采用高斯函数形式的温度分布，应用热平衡积分法及热平衡积分法的细化方法求得单相融化问题的近似解。通过讨论得知，当Stefan数的倒数小于1时，热平衡积分法的细化可有效提高精度。关键词：热平衡积分法；细化；高斯函数中图分类号：O241.82文献标志码：A0引言热平衡积分法（HBIM）是1958年由Goodman最早提出的一类可以用来生成由微分方程控制的热传导方程的近似解的半解析的有效方法1。但是，HBIM的计算结果对选取的温度分布函数具有敏感性，Goodman最先提出选用二次多项式作为温度分布函数，同时也简单提及三次函数的情况，有算例表明，选择三次函数作为温度分布函数的精度却比二次多项式的结果更差32，为了减少计算结果对温度分布函数的依赖性，提高计算结果精度，Noble提出了HBIM的细化（Refinement）方法。Bell据此法求解了伴有相变的一维Stefan问题54，获得较好的结果。Mosally等人以单相融化问题为模型，采用与数值实验结果相对比的方法，给出了当Stefan数等于1时单相融化问题HBIM细化解的收敛速度6。徐湘田和令锋通过理论分析而不依赖数值试验，分别给出了单相融化问题7和Neumann问题8的热平衡积分细化解收敛性的证明。Gauss函数在Hermite多项式的定义中起着重要作用。热传导问题导热过程的特征促使人们设想指数函数可能是适当的温度分布函数的选取形式，但计算表明，选择指数函数作为温度分布函数的精度反而比选取二次多项式的结果要差9，所以，选取高斯函数作为温度分布函数可能是一种有益的尝试。本文以单相融化问题为模型，以高斯函数为温度分布形式，应用热平衡积分法及热平衡积分法的细化方法求解单相融化问题，从而得到细化可提高精度的条件。1模型方程研究的定解问题采用半无限大介质中固体融化问题的无量纲形式，初始温度为它的融化温度，数学描述如下6：22xutu，)(0tsx，0t（1）0)0,(xu，0x（2）,1),0(tu0t（3）0),(txu，)(tsx，0t（4）dtdsxu，)(tsx，0t（5）其中)(10muucLSte，其中Ste称为Stefan数。方程式（1）（5）的解析解为6erftxerftxu21),(，)(0tsx，0t（6）tts2)(，0t（7）其中是超越方程1)(2eerf（8）的根，称为融化参数。2高斯函数形式的热平衡积分解方程式（1）两边关于x在,0s内应用热平衡积分法，得到热平衡积分方程0)(0xtsxsxuxudxtu（9）把式（5）代入上式得00xsxudtdsdxtu（10）研究高斯函数形式热平衡积分方程近似解，令2),(sxcesxbatxv（11）参量cba,为常数，由式（11）得tv，0xxv（12）把式（12）计算结果代入式（10）得cceebbcdtdsscc2)12(2（13）由式（11）得)2()(cctsxceesbxv（14）由式（14）和式（5）得)21(cbedtdssc（15）由式（3）（4）得1a，0cbea（16）联立式（13）（15）（16）得cececcc21)1(2)21(（17）由式（15）（16）得ttcs*22212（18）221*c（19）当1t，取不同值时，融化界面s的精确解、高斯函数形式热平衡积分解、二次多项式形式热平衡积分解作比较，如表1所示表1精确解，高斯函数形式热平衡积分解和二次多项式形式热平衡积分解比较精确解高斯函数形式二次多项式形式数值解相对误差数值解相对误差0.22.11942.0698-0.02342.21520.04520.41.72481.7079-0.00981.79540.04090.61.50241.4942-0.00551.55500.03500.81.35171.3470-0.00341.39260.030311.24021.2372-0.00241.27300.02641.21.15191.1508-0.00181.18000.0235由表1可见，高斯函数形式热平衡积分解比二次多项式形式解有更高的精度。3高斯函数形式的热平衡积分细化解将区间,0sn等分，得到n个长度为ns的子区间，10v，0nv，nsixi令：2sxciiiiesxbav，iixxx1，ni,2,1(20)由上式可知：未知参数为13n个。（1）据式（3）（4）得11a，ncnneba（21）（2）据在节点ix上的连续性得当,1iixxx时，节点ix上温度近似为2niciiiienibav当,1iixxx时，节点ix上温度近似为2111niciiiienibav所以21211niciniciiiiiebebniaa，1,2,1ni，（22）（3）同理，据在节点ix上导数的连续性得21212121212nicenicebbiniciniciiii，1,2,1ni，（23）（4）当sxxn,时)21()(ncntsxcesbxvn（24）由式（24）和式（5）得)21(ncncebdtdssn（25）（5）在iixx,1内对x积分得n个热平衡积分方程11iiiixxxxxxxvxvdxtv，ni,2,1（26）由式（20）得ixxxv，1ixxxv，tv（27）把式（27）结果代入式（26）得2222221121221211122121212niciiniciniciiniciiniciiniciiiiiiiiebcniebebcniebnicebnicebcdtdss（28）令式（28）等于式（25）得代数方程21211121212221nicebnicebciniciiniciiii2222121212221niciiniciniciinicincniiiinebcniebebcniebceb1,2,1ni，（29）（6）在区间sxn,上11)(nnxxtsxsxxvxvdxtv（30）由式（20）得dxtvsxn1，1nxxxv（31）把式（31）结果和式（5）代入式（30）得第n个热平衡积分方程同（5）做法：令第n个热平衡积分方程等于式（25）得代数方程2112122nncebcnnncnnnnnnncnncnnncncnncncnncebcebebebcebnnnnn2112122121122ni（32）由式（21）（22）（23）（25）（29）（32）可求得13n未知参数。4结果与讨论为了比较讨论，取2n为例，图1给出了当1t代入不同的值后高斯函数形式的热平衡积分细化解和热平衡积分解与精确解的误差比较。20.040.060.03变量误差热平衡积分细化解热平衡积分解图1近似解与准确解的误差随值变化情况比较由图1可看出，当Stefan数的倒数小于1时，热平衡积分细化解与精确解的误差明显小于热平衡积分解与精确解的误差.即：当Stefan数的倒数小于1时，细化可有效提高精度。参考文献1GoodmanTR.Theheat-balanceintegralanditsapplicationtoproblemsinvolvingacha-ngeofphaseJ.TransASMEJournalofHeatTransfer,1958,80:335-342.2LangfordD.TheheatbalanceintegralmethodJ.IntJHeatMassTransfer,1973,16:2424-2428.3CrankJ.ThemathematicsofDiffusionM.Oxford:ClarendonPress,1964,310-325.4BellGE.ArefinementoftheheatbalanceintegralmethodappliedtoameltingproblemJ.IntJHeatMassTransfer,1978,21:1357-1362.5BellGE.SolidificationofaliquidaboutacylindricalpipeJ.IntJHeatMassTransfer,1979,22:1681-1686.6MosallyF,WoodAS,Al-FhaidA.OntheconvergenceoftheheatbalanceintegralmethodJ.AppliedMathematicalModelling,2005,29:903-912.7徐湘田,令锋.单相融化问题热平衡积分细化解的收敛性J.内蒙古大学学报:自然学版，2009，40（2）：128-131.8徐湘田,令锋.Neumann问题热平衡积分细化解的收敛性J.工程数学学报，2010，27（2）：115-124.9MosallyF,WoodAS,Al-FhaidA.AnexponentialheatbalanceintegralmethodJ.App-liedMathematicsandComputation,2002,130:87-100.AGaussianFunctionBasedHeatBalanceIntegralMethodYUANGuo-jing2,1,LINGFeng2（1.InnerMongoliaUniversityofTechnology,Hothot010051,china2.ZhaoqingUniversity,Zhaoqing526061,china）Abstract:Gaussianfunctionisselectedastheapproximatetemperatureprofile,anapproximatesolutionforone-phasemeltingproblemispresentedbyusingheatbalanceintegralmethodanditsrefinedmethod.Itshowsthat,whenthereciprocalofthestefannumber1,therefinementofheatbalanceintegralmethodcan