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浅谈数学中的对称性摘要通过对代数、几何、解析几何中对称的分析,说明了数学中的对称对的重要性。关键词代数;几何;解析几何;对称对称,物体或图形在某种变换条件例如绕直线的旋转、对于平面的反映,等等下,其相同部分间有规律重复的现象,亦即在一定变换条件下的不变现象。对称的现象,广泛地存在于各个学科之中,比如说,在建筑学中,很多建筑如故宫呈轴对称之势;在生物学中,很多动物也呈左右对称的体形;在艺术领域,各种风格的服装图画也表现出对称的形态。那么,数学中的对称性是怎样的呢让我们来简析一下数学的对称性吧。㈠寻求数学对称之源,在代数中感受数学的对称之美⑴寻求数学之源在数学学习的过程中,很多时候,提到对称便让我们想到某些几何图形。然而,数学对称的源头却是来自于代数,来自于多项式方程的解,这就使很多人感到疑惑了,所以,首先,让我们通过多项式方程的求解来发现代数中的对称。一元N次方程的根的对称多项式1、当N2时,假设A、B、C都是实数,而且A≠0,X是未知数,那么X的二次方程AX2BXC0的两个根是X1BB24AC2A和X2BB24AC2A依照判别式VB24AC0、VB24AC0、VB24AC0三种不同情况,两根X1,X2或是不等的两个实数,或是相等的两个实数,或是共轭的两个复数。韦达定理告诉我们X1X2B/A,X1X2C/A,把X1和X2对换结果仍不变,因为X1X2X2X1,X1X2X2X1凡是有这样性质的X1和X2的多项式称为对称多项式。2、当N2时设A0,A1AN都是复数且A0≠0,X是未知数,那么X的N次方程A0XNA1XN1AN1XAN0有N个根X1,X2XN。韦达定理告诉我们X1X2XNA1/A0,X1X2X1X3X1XNX2X3X2XNXN1XNX1X2XN1NAN/A0像X1X2XN,X1X2X1X3X1XNX2X3X2XNXN1XNX1X2,,XN这样的多项式,不论把哪二个根XI,XJI≠J对换一下,这些多项式都不变动,所以称为X1,X2XN的对称多项式。在一元N次方程求解的过程中,我们发现了其解总是为对称多项式,这种看似很神奇的现象其实确实不是不无规律的在代数中,这种有趣的现象很多很多,接下来让我们从回文数中探索一下代数中对称性。⑵有趣的回文数11111111211111111232111111111123432111111111111111111112345678987654321一般来说,通过以下方式可得到一个回文数29+9212168+86154154+451605605+5061111194+491586586+68512711271+17212992但196这个数,按照这个规则重复数十万次,仍没有得到回文数。现在大家都还在探索中。3511536211264307622670349753333579上面这些算式,等号左边是两个或三个因数相乘,右边是它们的乘积。如果把每个算式中的“”和“”去掉,那么,它们都变成回文数。12422421348668431024022042011012420220242101如果分别把上面的回文算式等号两边的因数交换位置,得到的仍是一个回文算式,比如分别把“12422421”等号两边的因数交换位置,得到算式是42122124这仍是一个回文算式。1223113221(积是2772)124032230421(积是48384)这种回文算式,连乘积都是回文数。四位的回文数有一个特点,就是它决不会是一个质数。设它为ABBA,那它等于A1000B100B10A1001A101B。能被11整除。六位的也一样,也能被11整除。代数中对称的现象有很多,如杨辉三角等,当然还有很多未研究出的问题需要我们不断去探索。掌握这些代数的对称,对培养我们的思维能力、转化解题方式和提高做题速度有很大的积极作用,在以后的学习中,我们要多多注意代数中的对称问题。㈡在几何中感受数学的直观美古希腊的著名数学家毕达哥拉斯说一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形。在几何中,数学的对称更为直观的反应到我们的视野中。几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释。圆关于圆心是对称的,关于直径也是对称的。球形则最为特殊,它既是中心对称,又是轴对称,也是面对称的图形。⑴直观的感受这些现象中的对称,你注意到了吗⑵黄金分割比在几何图形中还有一些深层的对称美,如一条线段关于它的中点对称,这条线段若左端点的坐标为0,右端点的坐标为1,那么中点在05处。又如似乎黄金分割点在X0618处不是对称点,但若将左端点记为A,右端点记为B,黄金分割点记为C,则BCCACAAB;而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点,因为ADDBDBBA;再进一层看,D又是AC的黄金分割点;C是DB的黄金分割点。类似地一直讨论下去,这可视为一种连环对称。数学几何的对称,普遍应用于生活中,甚至说我们是在追求这样一种对称来寻求美和平衡。这种对称的应用,可以很好地直观地表现我们的思想和研究成果。我们要学会用更多的对称几何来丰富我们的生活。㈢在代数与几何的结合中感受数学的对称之美1637年,笛卡儿创立了解析几何学。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究,他建立起来的解析几何学就是在数学方程和几何图形之间建立的一种对称关系。在解析几何中,许多问题的解决都采用了对称性原理。如建立适当的坐标系,可使运算过程简单,所得的方程也简单;而各种曲线方程标准形式的推导,更是充分利用了图形本身的对称性。下面以椭圆为例。椭圆平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2A大于|F1F2|的点的轨迹。根据定义,求曲线方程时如何选择坐标系,有以下几种方案方案1如图1,建立坐标系。图1方案2如图2,取一个定点F1为原点,F1、F2所在直线为X轴,过F1与F1F2垂直的直线为Y轴。图2方案3如图3,取两个定点F1、F2所在直线为X轴,线段F1F2的垂直平分线为Y轴。图3方案4如图4,取两个定点F1、F2所在直线为Y轴,线段F1F2的垂直平分线为X轴。图4直觉告诉我们方案2比方案1好,方案1漫无头绪,方案2利用了轴对称;方案3、方案4比方案2更好,由于利用了中心对称,显得更直观,更美观。以方案3为例设两个焦点间的距离为2CC0,为什么不设为C,点MX,Y是椭圆上任意一点,M与F1、F2的距离的和为2A,则F1C,0,F2C,0,且|MF1||MF2|2A√XC2Y2√XC2Y22A1方程1就是椭圆方程,但是它太繁杂了,远远不是我们所追求的,还必须化简,因为简单是真理的标志。由XC2Y2XC2Y24CX2得√XC2Y2√XC2Y22CX/A313/2,得XC2Y2ACX/A化为A2C2X2A2Y2A2A2C24AC0A2C204式两边同除以A2A2C2,得X2/A2Y2/A2C215方程5比1简单多了。但我们觉得既然椭圆的图形具有对称性,则它的方程也应该有对称性。这种对称性激发心灵中对数与形、美与真、形式与内容的统一和谐的追求,方程5尚不完美,我们设想应该使Y2的分母和X2的分母取得对称的形式,即可把A2C2也写成一个正数的平方形式。A2C20若A2C2B2B0则X2/A2Y2/B21AB066便是椭圆的标准方程。以上步骤是否只是一种形式上的游戏呢不是,即使最后由5到6的直觉的调整也并非漫无目的,它符合追求对称美的愿望,恩格斯说形式的变化,不是无聊的游戏,而是解决问题的有效杠杆。事实上,A正好是椭圆长半轴的长,B正好是短半轴的长,原来,游戏中引进的B居然有如此鲜明的几何意义,真的符合对称美的追求,这种标准形式也是我们对椭圆的几何性质整体把握的基础。因为X与Y的地位是对称的,将两者互换,可得方案4中的方程Y2/A2X2/B21AB07进一步通过移轴,对照6式,可得方案2的方程XC2/A2Y2/B21AB08还可类推得到方案1中的方程,把椭圆X2/A2Y2/B21AB0的中心平移到H,K得到XH2/A2YK2/B21AB09利用标准方程6,得到了方案1的椭圆的方程,特殊化的结果创造了一般性的解决问题的办法。在这篇文章中,我们通过数学中的代数、几何、解析几何的对称性的研究,分析了数学的对称性。对称性,它让我们体会到很多美感和趣味。对称性的应用,可以简化很多问题。在今后的数学学习中,我们要逐步培养利用对称性解题的思维,使我们的学习效率提高更多。参考文献①从对称性看数学中的美学胡本荣
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