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文档简介

1谈谈自然对数李岩(赤峰学院数学学院08级数学与应用数学赤峰024000)摘要:e是数学中的重要常数之一,数e的起源与对数的发明有一定的联系,e也是历史上第一个用极限来定义的数,通过对它的定义进行出发,推导出e的一个重要性质,以及欧拉公式,进而描述了三角函数与双曲函数的关系。关键词:自然对数e引言:圆周率生活中很容易被找到或被发现,一个圆的周长与其直径的比等于圆周率。可自然对数的底e一直困扰着我们。高中数学中,有以10为底的对数,即常用对数。教材中曾指出,如果底数是以e为底的对数,我们称之为自然对数,并且自然对数的底e=71828.2是一个无理数。一、自然对数的由来e似乎是来自纯数学的一个问题。事实上,对于自然对数的底e是有其生活原型的。在历史上,自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。过去,有个商人向财主借钱,财主的条件是每借1元,一年后利息是1元,即连本带利还2元,年利率10。利息好多喔!财主好高兴。财主想,半年的利率为%50,利息是5.1元,一年后还25.25.12元。半年结一次帐,利息比原来要多。财主又想,如果一年结3次,4次,365次,岂不发财了?财主算了算,结算3次,利率为31,1元钱一年到期的本利和是:37037.2)311(3元,结算4次,1元钱到一年时还44140.24114元。财主还想,一年结算1000次,其利息是:1000100011这么大的数,年终肯定发财了。可是,财主算了算,一元钱结帐1000次,年终还的金额只有:71692.21000111000元这令财主大失所望。他以为,结帐次数越多,利息也就增长得越快。财主根本不知道,nn11的值是随n的增大而增大,但增加的数额极其缓慢;并且,不管结算多少次,连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把nn11极限记作1000e,17828.2e,即自然对数的底。2二、自然对数的定义、性质、应用在代数里我们知道,除1以外的任何正数都可以当作对数的底。通常为了计算方便起见,我们采用以10为底的对数,就是所谓常用对数。此外,在高等数学、科学技术里,我们还常采用以e为底的对数。e的近似值是718.2。以e为底的对数xelog,叫做自然对数。数e叫做自然对数的底。下面我们来看怎样确定e。2.1e的一个定义如果级数n!)1(1!51!41!31!21!111)1(收敛,我们就把它的和记做e。我们先来证明级数)1(是收敛的。事实上,级数)1(的n次部分和是nSn!)1(1!31!21!111容易看出,SSSSn321)2(而且;212221)1(3211;21222143211;212213211;212112)2(32nnn个所以)3(2121211122Snn应用等比数列求和的公式,得)4(221112112112121112nn把)3(和)4(结合起来,就得到33nS)5(从)3(和)5(可以看出,数列1S,2S,nS,的各项逐次增大,但是它始终少于常量3。根据现行代数课本里的定理,可以知道nS存在极限。这就证明了级数)1(是收敛的。而3limnnS因此,3e。我们再来计算e的近似值.取级数)1(的第n次部分和作为近似值,那么误差是nnnnnnnnnnRn)3)(2)(1(1)2)(1(1111!1!)2(1!)1(1!1而32)1(1)3)(2)(1(1)1(1)2)(1(1nnnnnnn所以)6(1!1)1(1111!12nnnnnnRn特别地,取8n,那末)7(0000280.03584018!898R我们只要对!71!61!51!41!31!21118S进行简单的计算,就得到)8(7182542.27182537.28S因此,从8Se得到e7182537.2从88RSe,并且应用)7(和)8(得到e7182822.20000280.07182542.24因此,e7182.2用上面的方法,只要取充分大的n的值,利用电子计算机可以得到e的近似值到上万位小数。2.2e的一个性质e也是无穷级数列nn,11,411,311,211,11432的极限,就是:ennn11lim这个公式的证明就略去。2.3e在其他方面的应用再来考察比)1(更一般的级数)9(!)1(!3!21132nxxxxn我们也可以证明这个幂级数,对一切实数x是收敛的,而且它的和就是指数函数xe。换句话说,指数函数xe可以展开成幂级数)10(!)1(!2112nxxxenx在)10(里,如果取1x,就是级数)1(;如果取1x,那末就得到。如果用复数z代替)10(右边的x。所得到的级数也可以证明它是收敛的。我们就把它的和记做ze,称做e的z次幂。例如,我们用i表示虚数单位1,y表示实数,那么)11()!1()(!3)(!2)()(1132niyiyiyiyeniy我们已经知道iiiiiiiiii,1,1,1,18765432因此,)11(又可以写做5yyyiyyyyyiyyiyyiyiyeiy!5!3!6!4!21!8!7!6!2!2!2!21536423762222我们就得到)12()sin(cosyigeiy这是一个有用的公式,叫做欧拉公式。在)12(里,设y或者y,那末就得到和e之间的一个重要关系:)13(01ei上面两式里出现的四个数:e,i,1都是数学里的重要的数。应用欧拉公式可以把三角函数用指数函数(但指数是复数)表示出来。就是:)19(2csc)18(2sec)17()(ctg)16()(tg)15(2cos)14(2sineeixeexeeeeixeeieexeexieexixixixixixixixixixixixixixixixix上面这些公式,我们可以证明如下:事实上,在)12(式里,用y代替y,就得到yiyeiysincos)20(把)11(式和)20(式相加再除以2,就得到)15(式;把)15(代入)12(就得到)14(.至于公式)16(、)17(、)18(、)19(,我们很容易从公式)17(、)15(出发,利用三角函数间的关系得到。除三角函数以外,利用指数函数还可以得到另外一些有用的函数双曲函数。双曲函数也有六个,双曲正弦,记做sinh;双曲余弦,记做cosh;双曲正切,记做tgh;双曲余切,记做ctgh;双曲正割,记做hsec;双曲余割,记做hcsc(后面三个函数不常用)。它6们的定义是:.2hcsc;2hsec;ctgh;tgh;2cosh;2sinheexeexeeeexeeeexeexeexxxxxxxxxxxxxxxxx上面这六个式子与公式)14()19(相比较,我们可以发现双曲函数和三角函数有许多类似之点.例如双曲函数之间有如下的关系:;sinh1csch;cosh1sech;tgh1ctgh;coshsinhtgh;1)(sinh)(cosh22xxxxxxxxxxx等等,这里我们不一一列举了。三、总结自然对数的出现,不但使一些数学问题迎刃而解,而且对数使得复杂的乘法运算可以转变为简单的加法,只要查阅对数表就可以了。还推出了一些重要的数学公式。同时,对数尺(这里就不介绍了)也应运而生。当然在计算器普及的今天,已经很少有人用这种东西了。

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