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1谈谈自然对数李岩赤峰学院数学学院08级数学与应用数学赤峰024000摘要e是数学中的重要常数之一,数e的起源与对数的发明有一定的联系,e也是历史上第一个用极限来定义的数,通过对它的定义进行出发,推导出e的一个重要性质,以及欧拉公式,进而描述了三角函数与双曲函数的关系。关键词自然对数e引言圆周率生活中很容易被找到或被发现,一个圆的周长与其直径的比等于圆周率。可自然对数的底e一直困扰着我们。高中数学中,有以10为底的对数,即常用对数。教材中曾指出,如果底数是以e为底的对数,我们称之为自然对数,并且自然对数的底e71828.2是一个无理数。一、自然对数的由来e似乎是来自纯数学的一个问题。事实上,对于自然对数的底e是有其生活原型的。在历史上,自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。过去,有个商人向财主借钱,财主的条件是每借1元,一年后利息是1元,即连本带利还2元,年利率10。利息好多喔财主好高兴。财主想,半年的利率为50,利息是5.1元,一年后还25.25.12元。半年结一次帐,利息比原来要多。财主又想,如果一年结3次,4次,,365次,,岂不发财了财主算了算,结算3次,利率为31,1元钱一年到期的本利和是37037.23113元,结算4次,1元钱到一年时还44140.24114元。财主还想,一年结算1000次,其利息是1000100011这么大的数,年终肯定发财了。可是,财主算了算,一元钱结帐1000次,年终还的金额只有71692.21000111000元这令财主大失所望。他以为,结帐次数越多,利息也就增长得越快。财主根本不知道,nn11的值是随n的增大而增大,但增加的数额极其缓慢并且,不管结算多少次,连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把nn11极限记作1000e,17828.2e,即自然对数的底。2二、自然对数的定义、性质、应用在代数里我们知道,除1以外的任何正数都可以当作对数的底。通常为了计算方便起见,我们采用以10为底的对数,就是所谓常用对数。此外,在高等数学、科学技术里,我们还常采用以e为底的对数。e的近似值是718.2。以e为底的对数xelog,叫做自然对数。数e叫做自然对数的底。下面我们来看怎样确定e。2.1e的一个定义如果级数n11514131211111收敛,我们就把它的和记做e。我们先来证明级数1是收敛的。事实上,级数1的n次部分和是nSn113121111容易看出,SSSSn3212而且2122211321121222143211212213211212112232nnn个所以32121211122Snn应用等比数列求和的公式,得4221112112112121112nn把3和4结合起来,就得到33nS5从3和5可以看出,数列1S,2S,,nS,的各项逐次增大,但是它始终少于常量3。根据现行代数课本里的定理,可以知道nS存在极限。这就证明了级数1是收敛的。而3limnnS因此,3e。我们再来计算e的近似值.取级数1的第n次部分和作为近似值,那么误差是nnnnnnnnnnRn3211211111121111而3211321111211nnnnnnn所以6111111112nnnnnnRn特别地,取8n,那末70000280.03584018898R我们只要对716151413121118S进行简单的计算,就得到87182542.27182537.28S因此,从8Se得到e7182537.2从88RSe,并且应用7和8得到e7182822.20000280.07182542.24因此,e7182.2用上面的方法,只要取充分大的n的值,利用电子计算机可以得到e的近似值到上万位小数。2.2e的一个性质e也是无穷级数列nn,11,,411,311,211,11432的极限,就是ennn11lim这个公式的证明就略去。2.3e在其他方面的应用再来考察比1更一般的级数91321132nxxxxn我们也可以证明这个幂级数,对一切实数x是收敛的,而且它的和就是指数函数xe。换句话说,指数函数xe可以展开成幂级数1012112nxxxenx在10里,如果取1x,就是级数1如果取1x,那末就得到。如果用复数z代替10右边的x。所得到的级数也可以证明它是收敛的。我们就把它的和记做ze,称做e的z次幂。例如,我们用i表示虚数单位1,y表示实数,那么111321132niyiyiyiyeniy我们已经知道iiiiiiiiii,1,,1,,1,,18765432因此,11又可以写做5yyyiyyyyyiyyiyyiyiyeiy53642187622221536423762222我们就得到12sincosyigeiy这是一个有用的公式,叫做欧拉公式。在12里,设πy或者πy,那末就得到和e之间的一个重要关系1301πei上面两式里出现的四个数e,i,,1都是数学里的重要的数。应用欧拉公式可以把三角函数用指数函数(但指数是复数)表示出来。就是192csc182sec17ctg16tg152cos142sineeixeexeeeeixeeieexeexieexixixixixixixixixixixixixixixixix上面这些公式,我们可以证明如下事实上,在12式里,用y代替y,就得到yiyeiysincos20把11式和20式相加再除以2,就得到15式把15代入12就得到14.至于公式16、17、18、19,我们很容易从公式17、15出发,利用三角函数间的关系得到。除三角函数以外,利用指数函数还可以得到另外一些有用的函数双曲函数。双曲函数也有六个,双曲正弦,记做sinh双曲余弦,记做cosh双曲正切,记做tgh双曲余切,记做ctgh双曲正割,记做hsec双曲余割,记做hcsc(后面三个函数不常用)。它6们的定义是.2hcsc2hsecctghtgh2cosh2sinheexeexeeeexeeeexeexeexxxxxxxxxxxxxxxxx上面这六个式子与公式1419相比较,我们可以发现双曲函数和三角函数有许多类似之点.例如双曲函数之间有如下的关系sinh1cschcosh1sechtgh1ctghcoshsinhtgh1sinhcosh22xxxxxxxxxxx等等,这里我们不一一列举了。三、总结自然对数的出现,不但使一些数学问题迎刃而解,而且对数使得复杂的乘法运算可以转变为简单的加法,只要查阅对数表就可以了。还推出了一些重要的数学公式。同时,对数尺(这里就不介绍了)也应运而生。当然在计算器普及的今天,已经很少有人用这种东西了。四、参考文献1张景中.不可思议的e[M].北京科学出版社,2005,04.2高泽民.自然对数与自然界的复利律[J].厦门教育学院学报,2005,736263.3宋秉信.自然对数漫谈[J].怀化师专学报,1998,1726669.4桂德怀.数e探源[J].湖州师范学院学报,2003,256116-119.
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