数值分析作业答案.doc

第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。（1）用单项式基底。（2）用Lagrange插值基底。（3）用Newton基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（1）用单项式基底设多项式为:，所以：所以f(x)的二次插值多项式为：（2）用Lagrange插值基底Lagrange插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为：(3) 用Newton基底:均差表如下：xkf(xk)一阶均差二阶均差10-1-33/2247/35/6Newton插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为：由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有式中令得插值点个数是奇数，故实际可采用的函数值表步长8、，求及。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：所以有：15、证明两点三次Hermite插值余项是并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。证明：利用xk，xk+1上两点三次Hermite插值条件知有二重零点xk和k+1。设确定函数k(x):当或xk+1时k(x)取任何有限值均可；当时，构造关于变量t的函数显然有在xk,xx,xk+1上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得在，上对使用Rolle定理，存在，和使得再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得而，将代入，得到推导过程表明依赖于及x综合以上过程有：确定误差限：记为f(x)在a,b上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间xk，xk+1上有而最值进而得误差估计：16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，。解：满足,的Hermite插值多项式为设，令得于是第3章 曲线拟合的最小二乘法16、观测物体的直线运动，得出以下数据：i012345时间t/s00.91.93.03.95.0距离s/m010305080110求运动方程。解：经描图发现t和s近似服从线性规律。故做线性模型，计算离散内积有：，求解方程组得：，运动方程为：平方误差：17、已知实验数据如下：i01234Xi1925313844Yi 19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方差。解： ，计算离散内积有：，求解方程组得：，所求公式为：均方误差：第4章 数值积分与数值微分1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）；将分别代入公式两端并令其左右相等，得解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于故具有3次代数精确度。（2）分别代入公式两端并令其左右相等，得解得：令，得令，得故求积分公式具有3次精确度。（3）当时，易知有令求积分公式对准确成立，即则解得或将代入已确定的积分公式，则故所求积分式具有2次代数精确度。（4）当时，有故令时求积公式准确成立，即解得。将代入上述确定的求积分公式，有故所求积公式具有3次代数精确度。2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：（1）（2）（3）解（1）复化梯形公式，复化辛普森公式，（2），（3），5、推导下列三种矩形求积公式：；。解：（1）左矩形公式，将f(x)在a处展开，得两边在a,b上积分，得由于x-a在a,b上不变号，故由积分第二中值定理，有从而有（2）右矩形公式，同（1），将f（x）在b点处展开并积分，得（3）中矩形分式，将在处展开，得两边积分并用积分中值定理，得6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分，问区间应分多少等份才能使截断误差不超过。解：由于由复合梯形公式的余项有：解得可取由辛普森公公式的余项有：解得可取8、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过（1）；（2）；（3）。解：（1）00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717(2)03.4513132*10-618.6282830*10-7-4.4469230*10-21(3)18、用三点公式求在处的导数值，并估计误差。的值由下表给出：1.01.11.20.25000.22680.2066解：三点求导公式为取表中，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。由于从而可求得误差上限与导数值如下：X1.01.11.2三点公式-0.247-0.217-0.187误差0.00250.001250.0025理论解-0.25-0.2159594-0.1878287数值积分法,令，由对积分采用梯形公式，得令k=0,1,得同样对有从而有代入数值，解方程，即得如下X1.01.11.2三点公式-0.247-0.217-0.187误差-0.25-0.2159594-0.1878287理论解-0.25-0.2159594-0.1878287第5章 解线性方程的直接方法7、用列主元消去法解线性方程组并求出系数矩阵A的行列式的值。8、用直接三角分解求线性方程组的解。解：由公式知 2 -3612、设,计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。解：13、求证：（1）；（2）证明：（1）由定义知（2）由范数定义，有故第6章 解线性方程的迭代法1、设线性方程组（1） 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性；（2） 用雅可比迭代