2008年高考数学(江苏卷).doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上2选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效4保持卡面清洁，不折叠，不破损5作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑参考公式：样本数据，的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积、为高柱体体积公式球的表面积、体积公式，其中为底面面积，为高其中为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1最小正周期为，其中，则 2一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 3的形式，则= 4，则集合A中有 个元素开始S0输入Gi，Fii1S SGiFii5i i1NY输出S结束5的夹角为，则 6在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率 7某地区为了解7080岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：序号（i）分组睡眠时间组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）14，5）4.560.1225，6）5.5100.2036，7）6.5200.4047，8）7.5100.2058，98.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为8直线是曲线的一条切线，则实数b的值为 9在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算的的方程：，请你求的方程： ( )10将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为 11的最小值为 12在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 13若，则的最大值 14对于总有成立，则= 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 xyOAB15（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为（1）求的值； （2）求的值。BCAFDE16（14分）在四面体中，且E、F分别是AB、BD的中点，求证：（1）直线EF/面ACD（2）面EFC面BCD17（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；BCDAOP（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。18（16分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：（1）求实数b的取值范围（2）求圆C的方程（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。19（16分）（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当时，求的数值；求的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。20. （16分）若，为常数，且（1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）（2）设为两实数，且若求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）卷221（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分A选修41几何证明选讲BCEDA如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D求证：B选修42矩阵与变换在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵A=对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程C选修44参数方程与极坐标在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值D选修45不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：必做题22记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围23请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1x）n（，正整数），证明：（2）对于正整数，求证：（i）0；（ii）0；（iii）绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分1.【解析】本小题考查三角函数的周期公式.【答案】102【解析】本小题考查古典概型基本事件共66 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故【答案】3. 【解析】本小题考查复数的除法运算 ，0，1，因此【答案】14.【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由得,0，集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在【答案】05. 【解析】本小题考查向量的线性运算=，7【答案】76.【解析】本小题考查古典概型如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此【答案】7. 【解析】由流程图 【答案】6.428. 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法 ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以bln21【答案】ln219【解析】本小题考查直线方程的求法画草图，由对称性可猜想填事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程【答案】10 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前n1 行共有正整数12（n1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第3个，即为【答案】11. 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用由得，代入得，当且仅当3 时取“”【答案】312.【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故，解得【答案】13【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设BC，则AC ，根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值【答案】14. 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论取何值，0显然成立；当x0 即时，0可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；当x0 即时，0可化为， 在区间上单调递增，因此，从而4，综上4【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式由条件的，因为,为锐角，所以=因此（）tan()= （） ，所以为锐角，=16 【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定（） E,F 分别是AB,BD 的中点，EF 是ABD 的中位线，EFAD，EF面ACD ，AD 面ACD ，直线EF面ACD （） ADBD ，EFAD， EFBD.CB=CD, F 是BD的中点，CFBD.又EFCF=F，BD面EFCBD面BCD，面EFC面BCD 17 【解析】本小题主要考查函数最值的应用（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP1010ta，所以， 所求函数关系式为若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。18 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0 得0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.（）圆C 必过定点（0，1）和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边0120（b1）b0，右边0，所以圆C 必过定点（0，1）同理可证圆C 必过定点（2，1）19. 【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用（）当n4 时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d0若删去，则有即化简得0，因为0，所以=4 ；若删去，则有，即，故得=1综上=1或4当n5 时， 中同样不可能删去首项或末项若删去，则有，即故得=6 ；若删去，则，即化简得30，因为d0，所以也不能删去；若删去，则有，即故得= 2 当n6 时，不存在这样的等差数列事实上，在数列， 中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与d0 矛盾；同样若删去也有，这与d0 矛盾；若删去， 中任意一个，则必有，这与d0 矛盾综上所述，n4，5（）略20. 【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用（）恒成立（*）因为所以，故只需（*）恒成立综上所述，对所有实数成立的充要条件是：（）1如果，则的图象关于直线对称因为，所以区间关于直线 对称因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为2如果.（1）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以即当时，令，则，所以，当时，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的长度和=（2）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以当时，令，则，所以，当时， ，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的长度和=综上得在区间上的单调增区间的长度和为 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学附加题参考答案21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分A选修41几何证明选讲BCEDA证明：如图，因为 是圆的切线， 所以，, 又因为是的平分线， 所以 从而 因为 , 所以 ,故. 因为 是圆的切线，所以由切割线定理知, , 而,所以B选修42矩阵与变换解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 则有 ，即，所以 又因为点在椭圆上，故，从而 所以，曲线的方程是 C选修44参数方程与极坐标解： 因椭圆的参数方程为 故可设动点的坐标为，其中. 因此 所以。当是，取最大值2D选修45不等式证明选讲证明：因为为正