天津市五区县2016届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案

天津市五区县 2016 年高三质量调查试卷（二） 数学试卷（理科） 第卷 一、选择题（本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、 i 是虚数单位，复数 321 = A 332iB 132iC 12iD 32i2、设实数 ,0300 ，则 2z x y的最小值为 A 92B 4 C 3 D 0 3、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 A 81 B 27 C 16 D 9 4、计算 40 2x 的值为 A 2 B 4 C 6 D 14 5、已知双曲线 C 的左右焦点为12,乙11212 为圆心，2 A 2 B 3 C 2 D 4 6、如图，圆 O 的直径 度为 10， 点 D ， 若 8，则 A 152B 403C 185D 2457、设 2200: , 1 0 , : , 1 0p x R m x q x R x m x ，若 为真命题，则实数 围是 A ( ,2) B (2, ) C ( 2,2) D ( , 2 2 , ) U 8、定义函数 1, ( ) ( , )2F a b a b a b a b R ，设函数 2 2 4 , 2f x x x g x x () 函数 ( ( ), ( )F f x g x 的最大值与零点之和为 A 4 B 6 C 4 2 5 D 2 5 2 第卷 （满分 110分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分，把答案填在答题卷的横线上 . 9、某单位工作人员的构成如图所示，现采用分层抽样的方法抽取 工作人员进行薪资情况调查，若管理人鱼抽取了 6人， 则抽到的技师人数为 10、一个几何体的三视图（单位： m）如图所示， 则此几何体的表面积为 2m 11、等比数列 2342 则2、在 中， 6 0 , 2A A Bo ，且 的面积为 32，则 长为 13、在极坐标系中，曲线 4 和 相交于 A、 14、已知函数 12 , 12 , 1 ，若函数 ( ) 1y f x 恰有两个零点，则实数 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分 13分） 已知函数 22 s i n c o s 2 3 s i n 3 ( 0 )f x w x w x w x w 的最小正周期为 . （ 1）求函数 （ 2）将函数 单位长度，再向上平移 1个单位长度，得到函数 y g x 的图象，求函数 y g x 在 , 12 3上的最值 . 16、（本小题满分 12 分） 为迎接 2016年 “猴年”的到来，某电视台举办猜奖获得，参与者需先后回答两道选择题：问题 题 B 有四个选项，每题有且只有一个选项是正确的，正确回答问题 A 可获奖金 1 千元，正确回答 B 可获奖金 2 千元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖获得终止，假设某参与者回答问题前，选择每道题的每个选项机会是等可能的 . （ 1）如果该参与者先回答问题 A，求其恰好获得奖金 1千元的概率； （ 2）试确定哪种回答问题的顺序能使得参与者获奖金额的期望值较大 . 17、（本小题满分 13分） 如图，在三棱台1 1 1 B O中，侧面11 且11,O O O B O O O A，平面11 平面11 1 13 , 1, 3O B O B O O . （ 1）证明：11O； （ 2）求直线1 （ 3）求二面角11O 的余弦值 . 18、（本小题满分 13分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆 经过两个焦点， ,的长轴端点 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设 P、 和圆 O 上位于 y 轴两侧的动点， 若直线 x 平行，直线 y 轴的交点即为 M、 N， 试证明 为直角 . 19、（本小题满分 14分） 已知数列 110 , 0a a b b ；昂 2k 时，若110， 则 111 , 2k k a b ，若110，则 111 , 2k k b a . （ 1）若 1, 1 ，求2 2 3 3, , ,a b a （ 2）设1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n n nS b a b a b a n N L，试用 , （ 3）若存在 ，对任意正整数 k ，当 2 时，恒有1，求 n 的最大值 （用 ,. 20、（本小题满分 14分） 已知函数 2 l n ( )f x a x x a R （ 1）当 1a 时，求函数 y f x 的单调区间； （ 2）若 (0,1x ， 1恒成立，求 a 的取值范围； （ 3）若2证明 : 1xe f x x . 天津市五区县 2016 年高三质量调查试卷（二） 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题 : （ 1） （ 4） （ 5 （ 8） 、填空题 : （ 9） 9 （ 10） 12 +12 （ 11） 512 （ 12） 3 （ 13） 2 3 （ 14） ( 1,2) 三、解答题 : （ 15）（本小题满分 13 分） 解：（ ）由题意得 ()22 s i n c o s 2 3 s i n 3x x x s i n 2 3 c o s 2 2 s i n ( 2 )3x x x 2 分 由周期为 ，得 1 . 得 2 s i n ( 2 )3f x x 4 分 由正弦函数的单调递增区间得 2 2 22 3 2k x k ，得 5 ,1 2 1 2k x k k Z 所以函数 )(单调递增区间是 5 , , 1 2k k k 6 分 （）将函数 )(图象向左平移6个单位，再向上平移 1个单位， 得到 2 1的图象，所以 ( ) 2 s i n 2 1g x x 9 分 因为 ,1 2 3x ，所以 22,63x ，故 2 , 2x ，所以函数 ()最大值为 3，最小值为 0. 13 分 （ 16）（本小题满分 13分） 解： （ I）设事件 参与者先回答问题 A ，且恰好获得奖金 1千元 ” ，则由题意知正确回答 A 的概率为 13，正确回答 B 的概率为 14, 1 3 1()3 4 4 .4 分 （ 参与者获得的奖金为 时， 所有可能的值为0,1,3. 5 分 2( =0)3P , 1 3 1( = 1 )3 4 4P ; 1 1 1( = 3 ) =3 4 1 2P ; 此时数学期望为 2 1 1 1= 0 + 1 3 =3 4 1 2 2E .9 分 先回答问题 B 时， 所有可能的值为 0,2,3.10 分 3( =0)4P , 1 2 1( = 1 )4 3 6P ; 1 1 1( = 3 ) =4 3 1 2P ; 此时数学期望为 3 1 1 7= 0 + 2 3 =4 6 1 2 1 2E . 所以先回答 问题 B 时该参与者获奖金额的期望值较大 . 13 分 （ 17） （本小题满分 13 分） （ I）证明 :由题设知 平面11 平面11平面11 1O O O，则 面11以 又因为1 3 11 1, 3O B O B,所以 0 ， 0 ， 从而11,O又因为1O，1A OI,1面1,面1,1O. 4 分 （ ：以 x 轴、 图，则 A（ 3， 0， 0）， B（ 0， 3， 0），1B（ 0， 1， 3 ）， 0， 0， 3 ） I） 面 1， 1平面 1 的一个法向量 0 , 3 , 3 ) 1 ( 3 , 0 , 3 )直线1 ，则： 1131s i n c o s , 42 3 2 3A O B O u u u ur u u u 8 分 （ （ 1平面 1的一个法向量 0 , 3 , 3 ) 设 ),( 是平面 1的一个法向量， 由 1110 3 3 0 , 3, B x y z B r u u u rr u u u 得 )3,0,1(n . 设二面角 O ， 则 n ， 1=|11 4. 13 分 （ 18）（本小题满分 13 分） 解：（ I）由椭圆定义可得 24a ，又 且 2 2 2b c a，解得 2 , 2a b c ，即椭圆 2142，则圆 O 的方程为 222. （ 是定值 90o ，证明如下：设00( , )P x y，直线 ( 2)y k x（ 0k ）， 令 0x可得 (0,2 ) 将 22142和 ( 2)y k x（ 0k ）联立可得 2 2 2 2( 2 1 ) 8 8 4 0k x k x k ，则20 2842 21kx k ， 20 22421kx k ，0 2421ky k ，故 2222 4 4( , )2 1 2 1， 直线 斜率为00122 ，直线 1 ( 2 )2 ，令 0x 可得 1(0, )N k . 设0( , )QQ x y，则00 1( , 2 ) , ( , ) x k y Q N x u u u ur u u 220 2，0 2421ky k ，可得 222002120 Q N x y u u u ur u u 所 以 N 是定值90o . （ 19）（本小题满分 14 分） （）当 1, 1 时，2 2 3 311 , 0 , , 02a b a b ； 4 分 （）因为 1 1 1 1122k k k b b ， 1 1 1 11 22k k k kk a b b ，所以不论110还是110，都有 112，数列 是以11b a b a 为首项、公比为 12的等比数列 . 6 分 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 )2n n n nS b a b a b a b a L， 即 12 ( ) (1 )2n nS b a ； 8 分 （）因为当 2 时，恒有1，所以110，1，当 2, 时，恒有且11()2a b a ，11()2a b a ，11 21() 2kk ka b a a b a ，解得1222 lo g ak ，所以 n 的最大值为 1222 lo g （1222 lo g 表示不超过1222 lo g 的最大整数） . 14 分 （ 20）（本小题满分 14 分） 解：（） 1a 时， 2( ) f x x x ， 21 2 1( ) 2 xf x . 函数 ()0, ) ，则由 ( ) 0 得 22x，由 ( ) 0 得 202x， 所以函数 ()( , )2 ，单调递减区间为 2(0, )2. 4 分 （）由已知得 1( ) 2f x . 若 ( ) 0 在 0,1 上恒成立，则212a x 恒成立，所以 m ) 1a x， 12a . 即 12a时， () 0,1 单调递减， m i n( ) (1 )f x f a，与 ( ) 1恒成立矛盾 . 6 分 当 12a时，令 1( ) 2 0f x a ，得 1 0 , 12x a. 所以当 10,2x a 时， ( ) 0 ， () 1 ,12x a 时， ( ) 0 ， () 所以 2m i 1 1 1( ) ( )