基于跟踪微分器的反馈控制器设计

西北工业大学明德学院本科毕业设计论文本科毕业设计论文题 目 基于跟踪微分器的反馈控制器设计 专业名称学生姓名指导教师毕业时间西北工业大学明德学院本科毕业设计论文毕业 任务书一、题目基于跟踪微分器的反馈控制器设计二、指导思想和目的要求利用已有的专业知识，培养学生解决实际工程问题的能力；锻炼学生的科研工作能力和培养学生的团结合作攻关能力三、主要技术指标1、熟悉掌握跟踪微分器的基本原理；2、设计倒立摆反馈控制器；四、进度和要求第 01 周-第 02 周： 英文翻译；第 03 周-第 04 周： 了解跟踪微分器的发展趋势；第 05 周-第 06 周： 学习跟踪微分器；第 07 周-第 09 周： 建立倒立摆系统的数学模型；第 10 周-第 11 周： 利用跟踪微分器设计倒立摆反馈控制器；第 12 周-第 13 周： 编写仿真程序，验证控制器性能；第 14 周-第 16 周： 撰写毕业设计论文，论文答辩；五、主要参考书及参考资料1郑大中.线性系统理论M北京：清华大学出版社，20022王蓉.基于倒立摆系统的稳定控制算法研究D. 西安: 西安电子科技大学, 2011.3周端.倒立摆系统控制方法研究D. 武汉: 华中科技大学, 2007.4俞立.鲁棒控制线性矩阵不等式处理方法M.北京: 清华大学出版社, 设计论文西北工业大学明德学院本科毕业设计论文2002.5王新华,刘金琨.微分器设计与应用-信号滤波与求导M,电子工业出版社,20106薛定宇,控制系统计算机辅助设计-MATLAB 语言及应用 M,清华大学出版社,20087 申铁龙,H控制理论及应用M,清华大学出版社,1996学生 指导教师 系主任 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文I摘 要倒立摆系统是一个多变量、强耦合、自然不稳定的高阶非线性系统，研究它的控制设计具有很大的意义。一方面可以反映许多控制理论中的经典问题，如系统鲁棒性问题、镇定问题、跟踪问题；另一方面对于军事工业、航天仪器、机器人领域和一般工业进程也有着很高的理论指导意义，是控制理论与实际应用的桥梁；倒立摆系统作为检验各种控制算法和控制理论的典型实验装置，为检验控制器设计方法的有效性做了重要贡献。本文主要研究了基于跟踪微分器利用反馈线性化思想实现倒立摆系统稳定控制的问题。介绍了跟踪微分器的基本原理，给出了典型的微分器模型。以倒立摆系统为控制对象,阐述了倒立摆系统的研究意义以及倒立摆稳定控制的研究现状,用分析力学中的牛顿力学方法建立倒立摆的数学模型,并根据线性系统理论,对线性化后的模型进行性能分析。然后详细地介绍了反馈线性化的相关理论,并根据反馈线性化的思想给出了利用跟踪微分器实现动态补偿的方法。根据此方法,设计了倒立摆系统控制器，并在 Matlab/Simulink 下编程进行了仿真，对所设计控制器的可行性进行了验证。关键词：倒立摆控制，反馈线性化，跟踪微分器，稳定控制西北工业大学明德学院本科毕业设计论文IIABSTRACTThe inverted pendulum system is a multi-variable, strong coupling, natural instability and higher order nonlinear system. On the one hand, the inverted pendulum system control can reflect classic problems of control theory, such as the robustness, stabilization and tracking problem. On the other hand, it has a high theoretical guiding significance for the military industry, aerospace equipment, robotics and general industrial processes. Moreover, it sets up a bridge between control theory and practical application. Inverted pendulum system is the typical experimental setup for testing various control algorithms and control theory, so it makes an important contribution to the effectiveness of the test controller design method.This paper studies the problem-based tracking differentiator using feedback linearization idea inverted pendulum stability control system. The basic principle of the tracking differentiator, given the typical model differentiator. Inverted pendulum system is based on linear system theory, the linearized control object, explained the significance of the inverted pendulum system and the research status of the inverted pendulum stability control, a mathematical model of the inverted pendulum mechanics with Newtonian mechanics analysis methods, and the model for performance analysis. Then describes in detail the theory of feedback linearization and ideas based on feedback linearization gives the advantage of tracking differentiator achieve dynamic compensation method. Under this method, the design of the inverted pendulum system controller and programming the simulation in Matlab / Simulink, the feasibility of the controller design was verified.KEY WORDS：inverted pendulum control，feedback linearization，tracking differentiator， stabilizing control 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文目 录摘 要 .IABSTRACT.II第一章 绪论 .11.1 倒立摆系统的研究背景和意义 .11.2 倒立摆系统的研究现状 .21.3 倒立摆系统的主要控制方法 .31.4 本文主要内容 .5第二章 跟踪微分器 .62.1 线性跟踪器 .62.1.1 高增益微分器 .62.1.2 全程快速微分器 .72.2 非线性跟踪一微分器 .82.2.1 一阶跟踪一微分器 .102.2.2 二阶跟踪一微分器 .112.2.3 三阶跟踪一微分器 .122.2.4 滑模微分器 .122.2.5 混合微分器 .13第三章 倒立摆系统的数学模型 .153.1 倒立摆模型建立 .153.2 直线倒立摆系统建模 .163.3 倒立摆系统的实际模型 .203.4 直线倒立摆系统的性能分析 .213.5 直线倒立摆系统的定性分析 .223.6 直线倒立摆系统的阶跃响应分析 .233.7 直线倒立摆系统的频域响应性能分析 .243.8 本章小结 .26第四章 利用跟踪微分器设计倒立摆反馈控制器 .274.1 反馈线性化的直观概念 .274.2 输入-状态线性化 .294.3 利用跟踪微分器完成动态补偿线性化 .31第五章 仿真程序及控制器验证 .325.1 基于积分链式微分器逼近的控制器设计 .32西北工业大学明德学院本科毕业设计论文5.2 建立倒立摆系统 .35参考文献 .42致谢 .44毕业设计小结 .45西北工业大学明德学院本科毕业设计论文1第一章 绪论1.1 倒立摆系统的研究背景和意义近几十年来,航天航空航海和工业过程等领域的研究发展不断的向控制理论提出一系列挑战性问题。对于这些问题的研究和探索强有力的推动着控制理论取得了飞快的发展。自动控制理论的发展己经历经几个阶段:第一阶段是经典控制理论,用来解决单输入单输出系统的分析和综合问题。第二阶段是现代控制理论,用来解决多输入多输出系统的分析和综合问题。第三阶段是大系统理论和智能控制理论等一些新的理论,用来解决多层次分散结构的复杂系统的分析和综合问题。经典控制理论有很大的局限性,它不仅只限于单输入单输出系统,而且只限于线性定长系统,但实际上常会遇到有相互关联的多变量系统和非线性的时变的系统。到了 50 年代后期,现代控制理论逐渐形成,它以状态空间方程为基础,分析和解决多变量问题。同时随着电子计算机技术在科学计算方面的迅速发展,极大的推动着控制理论的发展,它使得现代控制理论也得到了极大的应用。随着人们对更复杂更大系统的研究和和探索,控制理论进入了更高阶段,出现了大系统理论和智能控制理论等高级控制理论。二十世纪五十年代倒立摆系统开始了最初的研究，麻省理工大学的电机工程系首先构建出了单级倒立摆的数学模型，随着控制理论的发展，人们又对其进行拓展，设计出了各种结构的倒立摆系统，按基座的运动形式主要分为：平面倒立摆、直线倒立摆、环形倒立摆。倒立摆系统的多样性为各种控制算法提供了多选择性，它作为控制理论研究的典型实验装置，为检验控制器设计方法的有效性做出了重要贡献。这些控制理论的迅猛发展,为控制倒立摆系统提供了坚实的理论基础。同时人们发现倒立摆是检验控制理论的一种好系统。这导致倒立摆成了科学界检验西北工业大学明德学院本科毕业设计论文2控制能力的一种标准模型川。早在 70 年代,人们就将倒立摆的控制问题作为现代控制理论应用的典型试验进行研究。1972 年 Stugne 等人采用线性控制模拟电路实现了二级倒立摆的控制,其线性状态反馈采用极点配置的方法获得,并采用全维状态观测器来重构了状态。1978 年,K.fruta 等人采用微机处理实现了二级倒立摆的控制,并成功地应用降维观测器来重构状态。1983 年,K.furat 等又实现了三级倒立摆的稳定控制。国内也从 80 年代开始对倒立摆进行了研究。1985年,西安交大伊征等人采用模拟调节器实现了对二级倒立摆的控制。以上对倒立摆的控制大都采用最优控制规律,随着控制理论的发展,智能控制!专家控制、模糊控制等先进的控制技术越来越多的应用于各种领域,也同样在倒立摆系统中得到了验证。1995 年,张明廉等人应用拟人智能控制理论成功的解决了三级倒立摆这一控制界的世界性难题,将倒立摆的控制推向了一个崭新的阶段。2001 年9 月 19 日,北京师范大学李洪兴教授领导的复杂系统实时智能控制实验室采用变沦域自适应模糊控制成功地实现了三级倒立摆实物系统控制,不但具有良好的稳定性和鲁棒性,还可使倒立摆行走到指定的位置。目前一些控制理论的正确性和在实际系统中的可行性，都需要通过一些真实系统来验证，倒立摆系统正是这种典型被控对象。倒立摆系统是一个多变量、强耦合、不稳定的高阶非线性系统，利用它可以研究控制理论中的许多经典问题，如系统的鲁棒性、镇定性、跟踪性。目前对于倒立摆的研究已经应用于运载火箭、双足机器人关节、钻井平台、卫星发射架等各类伺服控制系统 。1当 中所以对倒立摆的控制设计进行研究不仅能够反映控制理论中的稳定性、鲁棒性、能控性以及跟踪性问题，而且对于军事工业、航天仪器、机器人领域和一般工业进程中也有着很高的理论指导意义，是控制理论与实际应用的桥梁。1.2 倒立摆系统的研究现状由于倒立摆系统对于现代控制理论的研究具有重要指导意义，目前对于倒立摆稳定控制已经达到了很高的水平。1995 年程福雁等人将智能控制理论和传统控制理论相结合，实现了直线二级倒立摆的稳定控制；1996 年马小军等人实际了基于模糊控制器和模糊观测器的二级倒立摆控制器；2001 年，李洪兴等人设计了变论域自适应模糊控制器，实现了三级倒立摆的实物控制。2002 年他们西北工业大学明德学院本科毕业设计论文3又用同样的方法实现了四级倒立摆的实物控制，代表着当时国际领先水平；2007 年段学超等人在小车沿圆形轨道运行的前提下设计了自适应滑模模糊控制器，实现了其稳定控制。从目前的研究现状来看，智能控制是研究的热点，它种类较多，应用中可以单独使用也可和其它智能控制方法或者传统控制方法相结合，如自适应神经网络控制、模糊神经网络控制、模糊自适应控制、变论域自适应模糊控制等多种方法实现倒立摆系统的稳定控制。迄今为止，对于倒立摆的控制方法已经得到了高度发展，人们已经利用古典控制理论、现代控制理论、智能控制理论以及多种控制理论现结合的方法实现了倒立摆系统的稳定控制。一些新的控制算法正不断被适用于倒立摆系统，检验其处理非线性、多变量、不稳定性和鲁棒性的能力。1.3 倒立摆系统的主要控制方法对倒立摆的控制可以使用不同的控制理论和控制方法，下面就倒立摆控制方法进行如下总结：1）PID 控制建立倒立摆的非线性动力方程，在平衡点处线性化得到其线性状态空间模型，然后设计倒立摆线性模型的 PID 控制器。PID 控制器结构简单，有较好的稳态和动态特性，但是常规的 PID 算法在处理非线性、时变系统、未知对象等复杂系统时难以得到较好的控制，所以一般将 PID 控制与其它控制方法进行结合使用、优势互补，如自适应控制、模糊控制、神经网络控制等。2）状态反馈控制状态反馈的控制方法主要包括极点配置、线性二次型最优控制（LQR） 、控制。建立倒立摆系统的数学模型，并在平衡点处线性化，得到其状态空间H方程和输出方程，再利用上述状态反馈控制，实现其稳定控制。状态反馈控制是现代控制理论中的经典方法，但是它对于经验的依赖较大，如何选择期望极点或参数矩阵是控制性能好坏的 。6关 键3) 变结构控制西北工业大学明德学院本科毕业设计论文4变结构控制可以应用于各种线性系统和非线性系统，它可以实现对系统的调节和跟踪等，另外变结构控制还具有很好的抗干扰性和自适应性。4）云模型控制云模型控制在控制过程中不依赖于被控对象精确的数学模型，而是利用人的主观经验和判断，将人的控制经验构成语言值，通过语言值形成规则，最终构建出一种定性的推理机制，以此实现对倒立摆的稳定控制。5）模糊控制是以主观经验知识为基础，它对系统模型的精确度要求也不高，17模 糊 控 制控制具有较好的鲁棒性。模糊控制器有其自身的缺点，如果控制变量较多，控制规则随控制变量呈指数增加，会形成“规则爆炸” 。如何选用适合的方法解决“规则爆炸”的问题，是设计倒立摆系统模糊控制器的关键。目前主要有两种方法：一是针对每个控制变量设计一个模糊控制器，对控制输入变量分流来实现控制器输入降维；二是使用一个模糊控制器，通过对多维输入变量进行分组、信息融合来实现降维处理。本文主要运用第二种方法实现二级倒立摆模糊控制器的系统降维。6）神经网络控制通过神经网络的自组织、自学习的能力设计神经网络控制器，用工程技术的方法模拟人脑神经网络的功能，实现对倒立摆的稳定控制。神经网络是网络技术和控制问题相互融合的产物，它能够充分逼近任何非线性模型，控制系统的信息可以通过神经网络的传递实现共享。神经网络控制器结构简单、稳定性好、易于维护和故障诊断，具有很强的容错性和鲁棒性。7）自适应控制自适应控制器可以根据被控对象和扰动的变化来修正自身的参数，它是一种基于数学模型的控制方法，但是针对倒立摆系统，它所依据的模型先验知识很少，已知系统扰动也很少，所以倒立摆的自适应控制器需要添加观测器来提取对应模型的数据。8）多种智能算法混合控制将几种智能控制算法相结合共同应用到倒立摆的控制器设计 ：如自2当 中适应神经网络控制、模糊神经网络控制、模糊自适应控制、变论域自适应模糊西北工业大学明德学院本科毕业设计论文5控制。另外将一些智能优化算法如遗传算法、粒子群算法等融入倒立摆的智能控制器当中，调整满足控制设计的控制器参数。综上所述，越来越多的控制算法被应用到倒立摆系统的控制当中，它作为检验控制理论的典型实验设备，国内外许多学者已经运用多种控制方法对其实现了稳定控制。1.4 本文主要内容本文以倒立摆为研究对象，将跟踪微分器应用到传统控制理论和智能控制理论中，设计了基于跟踪微分器的反馈控制的倒立摆系统，并对倒立摆系统进行稳定控制。具体结构和内容如下：1）第一章主要介绍了倒立摆系统的研究背景，提出了课题的研究目的和意义，简述了倒立摆系统国内外的研究现状以及已取得的成果，并详细的介绍了倒立摆系统的主要控制算法。2）第二章主要对跟踪微分器进行系统的学习，了解了多种线性及非线性反馈控制微分器，对随后的控制系统设计打下了基础。3）第三章在跟踪微分器的基础上，用分析力学中的牛顿力学方法建立倒立摆的数学模型,并根据线性系统理论,对线性化后的模型进行性能分析。4）第四章利用跟踪微分器设计直线倒立摆控制器，并完善其主要参数的分析及阐述。5）第五章在 Matlab 实验平台上对所设计的控制器进行实时控制。西北工业大学明德学院本科毕业设计论文6第二章 跟踪微分器对于具有随机噪声的信号，微分器的设计具有如下 ：求取信号的近5原 则似导数，同时微分器对于任何高频信号不敏感。因此，这种微分器是鲁棒的，但是又不是确切的。另有一个应用的原则：通过一个有限时间的暂态过程，求取信号导数的确切值，同时对于小噪声具有鲁棒性。具体方法：通过构造一个具有控制输入的系统，使系统输出跟踪输入信号，而构造的控制输入即为所求的信号导数值。典型的实例是应用一个二阶滑模控制算法构造微分器，但是这种微分器的参数很不容易调整，而且由于滑模的控制方法的引入，输出信号具有抖振 。34现 象对于微分器进行滤波的设计。用特征滤波法设计微分器，通过最小化频域误差二次型的范数，计算一个近似矩阵的特征向量，从而得到滤波器的系数。这种算法虽然在最小二乘的意义下是最优的，但并不简单也不快速，不适用于系统对信号的快速跟踪。2.1 线性跟踪器2.1.1 高增益微分器高增益微分器在增益趋于无穷大（或无穷小）时，对给定信号可以提供准确的时间导数。但是，随着增益趋于无穷大（或无穷小） ，使小的高频噪声也随之放大。由于增益在实际中只能取有限值，这种微分器也具有有限的频带。因此，对于高频噪声也有一定的不敏感性，即一定的滤波性，而这种对噪声的不敏感性是依赖于环境的。高增益微分器的另一个缺点是它的峰值现象：当增益选取无穷大（无穷小）时，微分器的暂态输出增长到无穷大。高增益微分器的形式为（2.1）xAHvtCx西北工业大学明德学院本科毕业设计论文7其中， ， ， ，11Tnxx 12/nkHk01000A ，0C为常数，并且满足特征方程 的特征跟的实部1,nk 11nnskks为负的。那么，对于 n 阶可导信号 ，满足如下关系vt10lim,ix2.1.2 全程快速微分器（2.2）12 22011012 mmnnx xRaxvtaxvtbRyt 其中，R0， ，m 与 n 均为大于 0 的奇数，且 。系统输01,bn出 跟踪信号 的一阶导数为 。当系统变量远离平衡点时，线性2yxtvtvt部分起主导作用，即 ，线性微分器起主导作用。1a（2.3）2 20102xxRaxvtbRyt并且该种形式微分器能够直接被离散化。这种线性微分器在系统状态远离平衡点时有较快的收敛速度，但是在系统状态接近平衡点时收敛速度较慢。在 Ibrir 的工作中，对两种线性结构形式微分器的性质和限制进行讨论。第一种时间导数观测器通过一个类似 Lyapunov 动态方程来计算。第二种时间导数跟踪器是在 Brunovski 的形式下给出的，其中的导数估计输出作为一个控制输入出现，并且微分增益通过第一个微分观测器的双 Lyapunov 方程计算得到，关于该观测器定理如下：西北工业大学明德学院本科毕业设计论文8（2.4）11 xAtBptxcytpAB其中， ： 连同它的最高阶导数是光滑有界的，其中 是非负t0R0R实数集，那么对于充分大的 ，当 时，系统的每一个状态 近似的接tixt近于输入信号 的 阶导数。上面系统的矩阵参数为yt1i， ，00100A B10nC并且该微分器的状态空间表达式的形式可以写为（2.5）111,ii nnin niixttixytCxt可以得到 。这意味着 近似的跟踪1lim/li/niiXYsss it导数 ，其中 。1iyt2n2.2 非线性跟踪微分器利用求解二阶微分方程，把二阶微分方程转换为二阶系统，含有两个变量，第二个变量为第一个变量的导数。构造系统后得到的结果：第一个变量跟踪输入信号，第二个信号跟踪输入信号的导数。根据这种思想得到的算法简单，而且比其他方法收敛快，二阶微分方程的形式可以多种多样，如线性形式、具有切换函数的快速形式。线性形式的微分器对于非线性信号通常具有滞后性，而具有切换函数形式的跟踪微分器只在系统状态的平衡点附近收敛速度很快，当系统状态远离平衡点时，收敛速度较慢。有时为了避免抖振现象，在切换函数中引入饱和项，可以降低抖振，但是同时也降低了系统状态变量的收敛速度和算法精度。韩京清教授利用二阶最速开关系统构造出跟踪不连续输入信号并提取近似微分信号的机构，提出了非线性跟踪-微分器的概念，根据数值仿真得到了有关西北工业大学明德学院本科毕业设计论文9信号跟踪的命题（但没有给出严格的收敛性证明，只给出了微分器系统的第一个变量与信号的收敛关系，并没有给出系统其它变量与信号各阶导数的收敛关系） ，并给出了非线性跟踪-微分器的一些设计及分析过程，指出由跟踪-微分器得到的第一个输出与输入信号是依测度收敛的。但是，在跟踪信号的过程中具有抖振现象，而且系统状态在接近平衡点处的收敛速度快，在远离平衡点时收敛速度慢，从而导致初始阶段跟踪曲线抖动。韩京清教授所提出的一种离散形式的非线性跟踪-微分器在一些运动控制中得到了 。离散形式的非线12应 用性跟踪微分器为（2.6）1122212,rkrhkfstrrkh其中， 为采样周期， 为第 时刻的输入信号， 为决定跟踪快慢的hr参数。函数描述如下fstA（2.7）12sgn, adfstxh（2.8）02 00sgn,/,adydxh其中， 2012, 8dhdyay采用微分器样式（2.1） ，可实现 。如果 是2,rkrkrk带有噪声的信号，微分器可同时实现滤波。非线性跟踪一微分器的一般形式所谓跟踪一微分器是这样的结构:对它输入一个信号 V(t),它将给出两个信号 和 ,其中 跟踪 V(t), 而 ,从而把 作为 V(t) 的1xt2t1xt21xtt2xt“近似微分” 。引理 2.1 设动态系统西北工业大学明德学院本科毕业设计论文10（2.9） 122,xg在原点渐近稳定,则以有界可测信号为输入的动态系统（2.10）122,xRgvtR的解,满足l) ,对任意 T0,10lim0TRxtvdt2) , 弱收敛于 V(t) 的广义导数。2t把系统(2.9)和(2.10)称作“跟踪-微分器”(TD),一般取函数 g. . 为适1g2当非线性函数。可采用如下形式（2.11）12122, /gxRsignxRsignx当然,为了避免震颤,符号函数 sign 改成带线性区间占的饱和函数 sat,效果会好些。由于 是由系统 (2.9)或(2.10)经积分得到的,它们对 V(t)中的“噪声”2xt不是放大,而是抑制,因此其“微分”效果相当不错。根据引理 1 和引理 2,我们可以得到非线性跟踪-微分器的几种具体实现。2.2.1 一阶跟踪微分器对非线性系统（2.12）121122xaxsignxaxsignx不难验证,当 ,且 时，系统在(0.0)处渐近稳定。12,0a这样可以得到如下形式的非线性跟踪微分器:西北工业大学明德学院本科毕业设计论文11（2.13）12 211 2x xRaxvtsignxvtasignR 当 时,系统(2.13)便是线性跟踪微分器。对 所作的数值仿真表 01明,此系统在原点附近常发生震颤,可以加一点线性区间改造成:（2.14）12 21,xfalxRfalxvR 其中（2.15）1,0zsignzfalz对上述非线性系统进行改造,可以得到（2.16）12212qqppxaxx其中 ，p,q 均为奇数,且 qp。12,0a这样可以得到如下形式的非线性跟踪微分器:（2.17）1212qqppxRaxvtaxvt 可以证明,经过改造的非线性跟踪一微分器与(2.13)式给出的跟踪微分器当时实际上是一致的,当 q=p 时,就是(2.13)式中的线性跟踪微分器。012.2.2 二阶跟踪微分器由二阶最速开关系统,可以得到如下二阶跟踪微分器:（2.18）1221xxRsignvtR为了避免在原点附近的震颤,将符号函数 sign 改为线性饱和函数 sat，就得到有效的二阶跟踪微分器:西北工业大学明德学院本科毕业设计论文12（2.19）1221,xxRsatvtR其中（2.20）, 0signAsat2.2.3 三阶跟踪微分器由三阶快速系统,可以得到相应的三阶跟踪微分器:（2.21）12333126xxARsignvtSRR 其中（2.22）32xSsi（2.23）32AxR实际应用系统(2.20)时,(2.17)一样,把符号函数 sign 改为线性饱和函数 sat,就得到有效的三阶跟踪微分器:（2.24）1232331 ,6xxARsatvtSRR 其中 S，A 分别由(2.22),(2.23)给出。2.2.4 滑模微分器微分器中需要注意的问题是既要尽量准确求导，又要对信号的测量误差和西北工业大学明德学院本科毕业设计论文13输入噪声具有鲁棒性。滑模微分器基于二阶滑模算法控制 ，在一个有限时ut间后保持 和 ，其目的如下：0xft0uft1）在已知信号导数的 Lipschitz 常数上界的情况下，利用滑模原理求取信号导数。2）可以有效地抑制信号估计输出中的噪声。在已知一些不等式关系的情况下，可以应用滑模技术来设计微分器。在不含噪声的情况下，信号导数的确切值可以通过平均高频信号来获得，而且滑模观测器及具有高增益的观测器可以应用。然而由于信号的确切微分的求取是在微分器的参数趋于某些在现实中难以获得的值（如无穷大）实现的，因此这些方法对于求取随机噪声信号的确切微分值是很困难的。例如，Levant 提出了一种基于滑模技术的非线性微分器，由于在滑模控制中切换函数的存在，这种控制器并不能保证系统变量在有限时间内达到滑模面并保持在滑模面上，而是系统变量在滑模面附近做小幅值的快速切换，因而容易产生抖振现象，并且微分器的参数不容易调整。二阶滑模微分器：（2.25）121sgnsxuvtxvtx其中，（2.26）2,4C,是输入信号 导数的 Lipschitz 常数上界。0Cvt对于上述微分器，需要事先知道输入信号 导数的 Lipschitz 常数上界，vt才能设计微分器参数，这限制了输入信号的类型，而且对于这种微分器抖振不可避免。2.2.5 混合微分器有限时间收敛微分器具有连续函数形式。该微分器的设计原理：如果系统西北工业大学明德学院本科毕业设计论文14（2.27）1212,nnzzfz的平衡点是有限时间稳定的，那么系统（2.28）121 112,n ndxtxdtfvtx 就构成了有限时间收敛微分器，并且在一个非常短的有效时间后，满足 11,ni iixvto其中， 是摄动参数， 表示状态 与 的误差近似程度0iix1ivt是 阶的，并且 。1i1i一种简单形式的混合微分器（由线性和非线性部分组成）是一种有限时间收敛微分器，表现形式为 12 201110122 sgnsgnmmx xRaxvtaxvtxvtbxRyt （2.29）这种微分器在系统状态远离和接近平衡点时都能保持快速收敛，而且有很好地抑制噪声能力，并应用于飞行器速度的估计中。西北工业大学明德学院本科毕业设计论文15第三章 倒立摆系统的数学模型3.1 倒立摆模型建立一般来说，系统数学模型分为实验建模和机理建模。实验建模将系统看成一个黑盒，多用于不能掌握系统内部运行规律的场合。通常在研究对象上施加一系列的外部激励信号，在输出部分观测相应的输出信号，进而采用一定的方法建立起系统的输入-输出关系。机理建模则可以将系统看做是一个白盒，要求在掌握系统内部运动规律的基础上，通过已有各种知识，采用数学的手段建立起系统内部的输入-状态 。26关 系倒立摆系统典型不稳定特性导致单纯的实验建模方法在数学模型建立中存在很大缺陷。因此，在实际研究中，我们通常将某些次要因素进行忽略，从而将其看作一个由机械部分和电子部分共同组成的典型机电一体化系统。其中，机械部分可以采用牛顿运动学定律进行建模，而电子部分则可用电磁学的基本定律进行描述，因此，在不要求数学模型完全精确的前提下，可以采用机理建模的方法对倒立摆系统进行研究。利用机理建模的方法对倒立摆系统进行建模，就目前来看，有两种常用的方式，即：牛顿力学分析方法和欧拉-拉格朗日方法(拉格朗日方程)。的精髓是通过受力分析的方法研究系统的各部分间的力、运动及9牛 顿 法其各相互作用。对于直线一级倒立摆系统而言，采用牛顿力学分析法进行建模，只需要考虑各部分受力情况，较为通俗易懂并且更加人性化。但是这种方法也存在明显的缺陷，由于牛顿力学分析方法通常由微分方程进行描述，且需要考虑所受的约束条件，具有计算量大且计算复杂的缺点。对于此次设计，所涉及到的是基于直线一级倒立摆控制系统的 Matlab 仿真，如果用牛顿经典力学建立数学模型必须考虑系统各部分干扰因素，对整个设计及其仿真过程影响工作较大。西北工业大学明德学院本科毕业设计论文16相对于牛顿力学分析方法，欧拉-拉格朗日法(拉格朗日方程)则将系统看作一个整体进行研究，避开系统各个部分间的相互耦合作用，采用动能、势能之类的描述函数对系统进行建模，其主要特点如下：1) 拉格朗日方程采用广义坐标系进行表示，其适用范围更加广阔，可用于表示达任意完整系统。2) 在利用拉格朗日法建立系统的建立运动方程时，只需要分析已知的主动力，可将未知的约束力进行忽略，在描述复杂系统时更加简便。3) 拉格朗日方程的对称性使得在不同坐标系中描述同一系统时，此系统的方程具有相同的形式。4) 拉格朗日方程从能量的角度出发建立系统的运动方程，仅需分析其动能和广义力，从而使建模过程大大简化。从上述分析和对比可以看出，相对于牛顿力学分析法而言，拉格朗日方程建模忽略系统内部力的作用，只需考虑系统的动能和广义力两个方面，从而使建模过程大大简化。3.2 直线倒立摆系统建模在如图 3.1 所示的坐标系中对直线一级倒立摆系统进行如图 3.2 所示的受力分析，从而建立其数学模型。图 3.1 一级倒立摆系统西北工业大学明德学院本科毕业设计论文17图 3.2 底座及摆杆受力分析图图 3.2 中，F 为施加在小车上的力，M 表示小车质量，m 代表摆杆质量，I 为摆杆惯量，l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位移， 为摆杆与垂直向上方向的夹角，b 为小车在滑轨上所受的摩擦力，N 和 P 为摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。首先，研究小车在水平方向上的受力情况，根据牛顿第二定律，可将用以下方程表示：（3.1）MXFbxN同理，摆杆水平方向上的受力方程可以描述为：（3.2）2 sincosdNmxlmxlt即（3.3）2cosinxll由(3.1）和(3.3)，可得倒立摆系统沿水平方向的动力学方程：（3.4）2siMmblmlF在垂直方向上分析摆杆的受力情况，可以得到如下的方程：（3.5）2cosdPglt即：（3.6）2sincsmll根据摆杆的力矩平衡方程，可得：西北工业大学明德学院本科毕业设计论文18（3.7）sincosplNlI令 为摆杆与垂直向下方向的夹角，则可将式(2.7)中的 写成 。 由式(3.6)与式(3.7)可以推导出以下动力学方程：（3.8）2sincosImlglmlx由于倒立摆处于平衡状态时，摆杆与垂直向下方向的夹角 很小，即 1rad，在此我们对其进行近似处理： ， ， 。设 u cos1si2()0dt代表被控对象的输入力 F ，式(3.4)和式(3.8)经线性化后为：（3.9）2ImlglxMxbu对式(3.9)进行拉普拉斯变换，得到以下的方程式：（3.10）22 2IlsglslXsmXbmU在(3.10)式中推导传递函数时假设初始条件为 0。由于输出为角度 ，求解方程组 (3.10)的第一个方程，得：（3.11）2IlgXss或（3.12）2lgsmsI令 ，则有：vx（3.13）2slVIsgl将式(3.13)代入方程组(3.10)的第二个方程，可以得到：（2 22 2ImlImlgMsbslsU3.14）整理后得以 u 为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数，将上式整理得：西北工业大学明德学院本科毕业设计论文19（3.15）21 22243mlssqGUbIlMglblsq其中， 。22qMmIll设系统的状态空间方程为：（3.16）xtAxtButyCD则方程组(3.17)可以变换成如下形式：（3.17）2 222222xImlbImlmglx uMIMMll lxIIlI 将式(3.17)写成状态方程的形式： 2 222 222010010 0x xImlb ImlglMIMmMul ll IIIl （3.18）100xxyu其中， 表示小车的位移， 为小车的速度， 为摆杆摆角， 为摆杆角速xx 度， 为输入力 ， 为输出矩阵。uFy由式(3.18)可得：西北工业大学明德学院本科毕业设计论文20（3.19）2Imlglx对于质量均匀分布的摆杆有 ,因此可以得到：13（3.20）2lglmx（3.21）34l设 ，为小车的加速度,则有：ux01013344xxugll（3.22）100xxyu3.3 倒立摆系统的实际模型根据某倒立摆参数，其实际系统模型的参数如下表所示：表 3-1 实际系统参数M 小车质量 0.68gkm 摆杆质量 94M 小车摩擦系数 ./msecNL 摆杆长度 015I 摆杆惯量 .762*gk将表 3-1 中所给出的直线倒立摆系统的实际参数代入 3.2 节直线一级倒立摆模型中的各表达式，可以建立起直线一级倒立摆系统的实际模型。其中，可将倒立摆摆杆角度和小车位移的传递函数表示为：西北工业大学明德学院本科毕业设计论文21（3.23）20.14.95.38ssX摆杆角度和小车加速度之间的传递函数可以表示为：（3.24）20.14.95.38sVs摆杆角度和小车所受外力的传递函数如下：（3.25）24338.0.1679.0ssUs以外界作用力为输入的系统的状态方程如下： 0.164.23701.45.98.96xxu （3.26）100xxyu以小车加速度为输入的系统的状态方程如下： 010129.45xxu（3.27）100xxyu3.4 直线倒立摆系统的性能分析完成倒立摆系统的数学建模工作后，利用控制理论的相关知识对倒立摆系统的稳定性、能控性和能观性等特性进行分析。在分析倒立摆系统的性能之前，首先给出有关控制系统稳定性、能观性及能控性的相关判定定理。定理 3.1(稳定性判据）: Lyapunov 第一法稳定性判定定理：西北工业大学明德学院本科毕业设计论文22对于线性定常系统 有：0,xAxt1) 系统的每一平衡状态是在 Lyapunov 意义下稳定的充分必要条件是：A 的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式的单根。2) 系统的唯一平衡状态 是渐近稳定的充分必要条件是：A 的所有特0ex征值具有负实部。定理 3.2（能控性判据）：n 阶线性定常连续系统 状态完全能控，xAXBu当且仅当系统的能控性矩阵：（3.28）21nMBA满秩， 。rank定理 3.3（能观性判据）：n 阶线性定常连续系统（3.29）xtAXBu