广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学试题(理)含详解

绝密 启用前 揭阳市 2016 年 高 中毕业班第二次高考模拟考试题 数学 (理科 ) 本试卷共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦 干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效 本试卷和答题卡一并交回 第 卷 一 、 选择 题：共 12小题，每小题 5分，共 60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） 函数23( ) = l n ( 2 )1xf x x 的定义域为 （ A） (2, ) （ B） (1,2) （ C） (0,2) （ D） 1,2 答案 ： B 解析 ： 根据根式、分式、对数的概念，可得：21020，即 102，解得： 12x。 （ 2）已知 复数 21 iz i (i 为虚数单位 )， z 的共轭复数为 z ，则 （ A） 2i （ B） 2i （ C） （ D） 2 答案 ： C 解析 ： 因为 21 iz i 2 (1 )(1 )(1 ) 1 i， 1 ，所以， 2。 （ 3） 已知向量 ( 3 , 1 ) , ( 0 , 1 ) , ( , 3 )a b c k r r r，若 2ab线，则 k 的值为 （ A） （ B） （ C） 1 （ D） 3 答案 ： C 解析 ： 2ab( 3,3) ，因为 2ab线，所以， 3k 33 ，所以， k 1 （ 4） 已知命题 : , 1 l gp x R x x ，命题 1: ( 0 , ) , s i n 2s i nq x x x ，则下列判断正确的是 （ A） 命题 是假命题 （ B） 命题 是真命题 （ C） 命题 () 是 假命题 （ D） 命题 () 是 真命题 答案 ： D 解析 ： 画出函数 1与 的图象可知，当 x 1 时，有 1x 当 x 0且 x 1 时，有 1x 故命题 p 是真命题；当2x 时， 1s s x，故 q 是假命题，从而有 ()是真命题。 （ 5） 某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务， 则所选的 4 人中 至少有 1 名女生 的概率为 （ A） 1415（ B） 815（ C） 25（ D） 415答案 ： A 解析 ： 从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人 共有 46C 15 种选法， 其中至少有 1 名女生的选法有： 1 3 2 22 4 2 4C C C C 14 种，故所求概率为： 1415。 （ 6） 已知 函数 2l o g , ( 0 )()2 , ( 0 ) ，则不等式 ( ) 1的解集为 （ A） (2, ) （ B） ( ,0) （ C） ( , 0 ) ( 2 , ) U （ D） (0,2) 答案 ： C 解析 ： 画出函数 f（ x）的图象， 如图， 由2x ，得 2x ，由 2x 1，得 x 0， 所以，由图可得 不等式 f（ x） 1 的解集 为 ( , 0 ) ( 2 , ) U ， （ 7） 如图 1， 圆柱形容器内盛有高度为 6水，若放入 3 个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （ A） 4 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 答案 ： B 解析 ： 设球的半径为 r ， 则由 3V 球 +V 水 =V 柱 ， 得 3243 ( 6 6 ) 33 r r r r （ 8） 已知函数 2()f x x a x的图象在点 A (1, (1)f 处的切线 l 与直线 3 1 0 垂直，记数列1()前 n 项和为 则 2016S 的值为 （ A） 20152016（ B） 20162017（ C） 20142015（ D） 20172018答案 ： B 解析 ： 题意知 2()f x x a x的图象在点 A(1, (1)f 处的切线斜率 ( 1 ) 2 3 1k f a a ，故 1 1 1 1( ) ( 1 ) 1f n n n n n ， 2016 1 1 1 1 11 2 2 3 2 0 1 6 2 0 1 7S 0 1 61 2 0 1 7 2 0 1 7 （ 9） 函数 ( ) (1 c o s ) s i nf x x x 在 , 的 图象的大致形状是 答案 ： A 解析 ：由 ( ) 12f 可排除 （ C）、 (D)，由 33( ) 134f 可排除（ B） ,故选 (A). （ 10） 实数 , 0 ,4 0 , 则 22取值范围为 （ A） 4, ) （ B） 1 ,23（ C） 0,4 （ D） 1 ,49答案 ： D 解析 ： 画出不等式表示的平面区域，如图所示， 设 y 则 k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得 1 23 k，故 21 49 k. （ 11） 某几何体的三视图如图 2 所示，则该几何体的表面积为 (A) 20+2 (B) 20 6 (C) 14 2 (D)16 答案 ： A 解析 ： 几何体为一底面边长为 2，高为 3 的长方体挖去两 个 14圆柱（圆柱的底面半径为 1）得到的组合体，故其表面积为：211( 4 1 ) 2 ( 4 1 + 2 1 ) 3 2 0 222 . （ 12） 在平面直角坐标系中，过原点 O 的直线 l 与曲线 2 交于不同的两点 A、 B，分别过 A、B 作 x 轴的 垂 线，与曲线 交于点 C、 D，则直线 斜率为 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 12答案 ： C 解析 ：设直线 l 的方程为 ( 0)y kx k，且1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，故1 21 e ，2 22 e 12221211,e x ，则 1222121 2 1 211l n ( ) l n ( )l n l n x x x x 121211l n ( 2 ) l n l n ( 2 ) l e x . 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 (13)题 第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须做答 第 (22)题 第 (24)题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上 （ 13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数 X 服从正态分布 2(200, 10 )N ，则 ( 190)=_ (附：若 Z 2( , )N ，则 () =( 2 2 ) = 答案 ： 析 ： ( 190)= 1( ) ( ) 0 . 52P X P X 14)已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 两条渐近线的夹角为 60o ， 则 该 双曲线的离心率为 . 答案 ： 233或 2 解析 ： （ 1）双 曲线两条渐近线 在 y 轴两旁 的夹角为 60时，由双曲线的对称线知，两条渐近线的倾斜角分别为 60、 120，所以， t a n 6 0 3 ， 又 2 2 2 2 2( 3 )c a b a a ，解得离心率 2。 （ 2）双 曲 线两条渐近线 在 x 轴两旁 的夹角为 60时，其中一条渐近线的倾斜角为 30，所以，3t a n 3 0 3 ， 2 2 2 23()3c a b a a ，解得离心率 233。 (15)执行如图 3 所示的程序框图，则输出的 k 值为 . 答案 ： 6 解析 ： 第 1 步： s 1， k 2； 第 2 步： s 2， k 3； 第 3 步： s 6， k 4； 第 4 步： s 15， k 5； 第 5 步： s 31， k 6； 第 6 步： s 56，退出循环，此时 k=6 (16)已知等差数列 1 30 , 5 8a a a，则前 n 项和最大值时， n 的值为 . 答案 ： 21 解析 ：由8 13581 1 135 ( 7 ) 8 ( 1 2 ) 61a d a d d a ， 由1 1 13( 1 ) ( 1 ) ( ) 061na a n d a n a 1213n， 三 、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . (17)（本小题满分 12 分） 已知如图 4， ， 的中线， 120o ，且 152A B A C ( )求 面积； ( )若 5，求 长 . 图 4 解析 ： 解： ( ) 152A B A C 1 1 5c o A C B A C A B A C , 即 15C， 3 1 5 311s i n 1 52 2 2 4 B A C B A C ( )解法 1：由 5得 3， 延长 E，使 E，连结 C, 四边形 平行四边形， 60o ,且 3C 设 AD x ，则 2AE x ，在 ，由余弦 定理得： 2 2 2( 2 ) 2 c o s 2 5 9 1 5 1 9x A B B E A B B E A B E , 解得 192x，即 长为 【解法 2： 由 5得 3， 在 ，由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 2 5 9 1 5 4 9B C A B A C A B A C B A C , 得 7， 由正弦定理得：s i n s i A C A C D， 得35s i n 5 32s i 4A B B A ， 0 9 0A C D 2 11c o s 1 s i D A C D ， 在 ， 2 2 2 4 9 7 1 1 1 92 c o s 9 2 34 2 1 4 4A D A C C D A C C D A C D ， 解得 192】 【解法 3： 由 5得 3， 在 ，由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 2 5 9 1 5 4 9B C A B A C A B A C B A C , 得 7， 在 ， 2 2 2 9 4 9 2 5 1 1c o 3 7 1 4A C B C A B A C B C , 在 ，由 2 2 2 4 9 7 1 1 1 92 c o s 9 2 34 2 1 4 4A D A C C D A C C D A C D ， 解得 192】 (18)（本小题满分 12 分） 某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期 5 年，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图 5 所示， 以各区间中点值作为该区间的年产量， 得到平均年产量为 455当年产量低于 450 ，单位售价为 12 元 / 年产量不低于 450 位售价为 10 元 / 图 5 （）求图中 a 的值； （ ） 以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年 产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率， 求年销售额 X（单位：元） 的分布列； （）求在租期 5 年中，至少有 2 年的年销售额不低于 5000 元的概率 解析 ： 解：（）由 1 0 0 ( 0 . 0 0 1 5 0 . 0 0 4 ) 1 ， 得 1 0 0 ( ) 0 ， 由 3 0 0 1 0 0 4 0 0 0 . 4 5 0 0 1 0 0 6 0 0 0 . 1 5 4 5 5 ， 得 3 0 0 5 0 0 2 ， 解得 ； （）依题意知 X 的可能取值为 3600、 4800、 5000、 6000， ( 3 6 0 0 ) 0 ， ( 4 8 0 0 ) 0 . 4， ( 5 0 0 0 ) 0 . 3 5， ( 3 6 0 0 ) 0 . 1 5， X 的分布列为 X 3600 4800 5000 6000 P （） 一年的销售额不低于 5000 元的概率为 5 年中年销售额不低于 5000 元的年数 1 (5, )2B， 5 年中至少有 2 年的年销售额不低于 5000 元的概率为 5 1 551 1 1 3( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) 1 ( ) ( )2 2 1 6P P P C （ 19） （本小题满分 12 分） 如图 6，已知四棱锥 底面 菱形，且 60o ， C=2， B= 2 . （ ）求证 ：平面 平面 （ ） 设 H 是 求 平面 成 最大角 的 正切值 . 图 6 解析 ： 解： ( )证明：取 点 O，连结 由 B= 2 ， ，知 等腰直角三角形， ， 由 C=2， 60o ， 知 等边三角形， 3， 由 2得 2 2 2P O C O P C, 又 A B C O OI ， 平面 又 平面 平面 平面 （ ） 解法 1：如图，连结 （ ）知 O ， B 平面 为 平面 成的角， 在 ， t a n 3 要 最大，只需 最小值， 而 最小值即点 O 到 时 B ， 22 故当 最大时， t a n 6C H O. 即 平面 成最大角 的 正切值为 6 【解法 2： 由（ ）知 平面 B ， 如图所示，以 O 为原点， 在的直线为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 ( 3, 0, 0)C ， (0,1,0)B ， (0,0,1)P ， 设点 H 的坐标为 (0, , ) P 则 ( 0 , 1 , ) ( 0 , 1 , 1 ) ， 1, ，即 (0,1 , )H ， 则 ( 3 , 1 , ) ( 3 , 0 , 0 )平面 法向量， 设 平面 成的角为 ， 则 |s i n | c o s , | | | |O C H H H C u u ur u u u ur u u u ur u u u 233 3 ( 1 ) ( ) 23172 ( )22, 当 12时， 取最大值，m a x6(s 7 ， 又 (0, 2 ，此时 最大， ， 即 平面 成最大角 的 正切值为 6 】 （ 20） (本小题满分 12 分 ) 已知椭圆 C ： 2222+ 1 ( 0 )xy 的 离心率为 63 ，若动点 A 在椭圆 C 上，动点 B 在直线62c上 .（ c 为椭圆的半焦距） （ ）求 椭圆 C 的方程； （ ） 若 B (O 为坐标原点 )，试探究点 O 到 直线 距离是否为 定值 ；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由 . 解析 ： 解： ( )依题意得： 63 62 得 1b ， 又 2 2 22223c a ，解得 2 3a 所求椭圆 C 的方程为 2 2 13x y （ ）依题意知直线 为 k ，则直线 y ， （ 1）若 0k ，则直线 方程为 1， 设 ( , ) , ( , )A A B BA x y B x y，则由 222233113k ， 由2213262 ， 22 2 223 ( 1 )| | 1 | |31A A x y k ， 22 2 21 3 ( 1 )| | 1 ( ) | |2B B x y , 设点 O 到直线 距离为 d ，则222222 2 2 223 ( 1 ) 3 ( 1 )2 | | | | 3 1 )3 1 2= = 1| | 3 ( 1 )| | + | | 3 ( 1 ) 3 ( 1 )3 1 2A O A O B O B k （ (2)若 0k ，则 A 点的坐标为 ( 3,0) 或 ( 3,0) ， B 点的坐标为 6(0, )2， 这时，632 1634d， 综上得点 O 到 直线 距离为 定值 ，其值为 【解法二 ：设 A、 B 的坐标00( , )A x y、 6( , )2 由点 A 在椭圆 C 上和 B 分别可得 ： 2 200 13x y和006 02tx y， 设 点 O 到直线 距离为 d ，则有 | | | | | | ,O A O B A B d 2 2 2 2| | | | | |O A O B A B d 2 2 22 2 2 2 21 | | | | | | | | | | | | |A B O A O A O B O A O B , 202 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 26620 0 0 0 0 0 0 060222201 1 1 1 1 1 1 1 2| | | | 3( ) ( ) () A O B x y x y x y x 22002222 00003 2 3 2 13 ( ) 3 ( 1 )3x 所以 点 O 到 直线 距离为 定值 ，其值为 】 (21)（本小题满分 12 分） 已知 ，函数 2xf x e a x， （ ）当 0a 时，求证：存在唯一的01 ,02x a，使得 0 0 （ ）若存在实数 ,得 f x b 恒成立，求 的最小值 解析 ： （ ）证明： 2xg x f x e a x ， 2xg x e a ， 当 0a 时， 0 ， 函数 (- ,+ ) 上的单调递增， 又 12g a12 10 ， 0 1 0g ， 存在唯一的01 ,02x a，使得 0 0 （ ）解： （ 1） 当 0a 时， 则当 ( , 0)x 时， ( ) 0，即函数 () ,0) 上 单调递增 ，且当 x 时， () ， 这 与 ()f x b 矛盾 ； （ 2）当 0a ，由 ，得 0b ， 0 ； （ 3）当 0a ，由（ ）知当 0,时， ( ) 0；当 0 ,时， ( ) 0； 即 0,x上单调递减，在 0,x 上单调递增， 0m x f x， 其中0020xe a x，故 002且0 0x ， f x b 恒成立， 0()b f x即 0 20xb e a x ，于是002 0001122b a e a x ， 记 1( ) (1 )22x xh x e x ， 0x ，则 221( ) 1 12 xh x e x ， 由 ( ) 0得 1x ，即函数 () , 1) 上单调时递减， ( ) 0得 10x ，即函 数 () 1,0) 上单调递增， m i n 1( ) ( 1 )h x h e ， 综上得 的最小值为 1e，此时0 1x 请考生在 第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24） 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 个 题 目 计分 (22)(本小题满分 10 分 )选修 4 1：几何证明选讲 如图 7 所示 ， O 和 P 相交于 , A 作两圆的切线分别交两圆于 C， D 两点，连接 延长交 O 于点 E ( ) 若 ， ，求 长； ( ) 若 ，求 长 解析 ： 解： （） 由弦切角定理得 B A C B D A ， B A D B C A ， 所以 ， 得 B， 2 8A B B C B D ， 22； （） 连接 A E C A E B B E C ， A C E A B E B A D A D B A E B B A D ， B A C B D A = , A E C A C E C=(23)(本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 已知 椭圆 C 的普通方程为： 22194 ( ) 设 2， 求 椭圆 C 以 t 为参数 的参数 方程； ( ) 设 C 与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴的交点分别为 A、 B， 点 P 是 C 上位于第一象限的动点，求四边形 积 的 最大值 （其中 O 为坐标原点） 解析 ： 解： ( )将 2代入椭圆的普通方程得 22249 (1 ) 9 (1 )4 ， 于是得 231 ， 椭圆 C 的参数方程为 23 1 , （ t 为参数 ） 和 23 1 , （ t 为参数 ） ( )依题意知点 A(3,0)， B(0,2)， 设点 P 的坐标为 (3 c o s , 2 s ， (0 )2 则B P O O P B S四 边 形 112 3 c o s 3 2 s i 3 s i n 3 c o s 3 2 s i n ( )4 ， (0 )2 当 ) 14 ，即4时， 四边形 积取得最大值， 其值为