北京市海淀区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 8小题，共 32分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 A=x| 1x 2， B=x|x1，则 AB=（ ） A（ 1， 2） B 1， 2 C 1， 1 D 1， 2） 2 ）的值为（ ） A 1 B 1 C 0 D 3若 是第二象限的角， P（ x， 6）为其终边上的一点，且 ，则 x=（ ） A 4 B 4 C 8 D 8 4化简 =（ ） A B C D | 5已知 A（ 1， 2）， B（ 3， 7）， =（ x， 1）， ，则（ ） A x= ，且 与 方向相同 B x= ，且 与 方向相同 C x= ，且 与 方向相反 D x= ，且 与 方向相反 6已知函数： y=y=x|， y=| y=|其中周期为 ，且在（ 0， ）上单调递增的是（ ） A B C D 7先把函数 y=图象上所有点向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（ ） 第 2 页（共 15 页） A y=2x+ ） B y=2x ） C y=x+ ） D y=x ） 8若 m 是函数 f（ x） = 2x+2 的一个零点，且 0， m）， m， +），则 f（ f（ f（ m）的大小关系为（ ） A f（ f（ m） f（ B f（ m） f（ f（ C f（ m） f（ f（ f（ f（ m） f（ 二填空题：本大题共 6小题，每空 4分，共 24分 9若 y=1，则 x 的取值范围是 10若函数 f（ x） =x 4 在 x 1， 3上的最大值和最小值分别为 M， N，则 M+N= 11若向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 2），且 m +n =（ 5， 5）（ m， nR），则 m n 的值为 12如图，在平面四边形 ， 交于点 O， E 为线段 中点，若（ ， R），则 += 13若函数 f（ x） =x+）（其中 0）在（ 0， ）上单调递增 ，且 f（ ） +f（ ） =0，f（ 0） = 1，则 = 14已知函数 y=f（ x），若对于任意 xR， f（ 2x） =2f（ x）恒成立，则称函数 y=f（ x）具有性质 P， （ 1）若函数 f（ x）具有性质 P，且 f（ 4） =8，则 f（ 1） = ； （ 2）若函数 f（ x）具有性质 P，且在（ 1， 2上的解析式为 y=么 y=f（ x）在（ 1， 8上有且仅有 个零点 第 3 页（共 15 页） 三解答 题：本大题共 4小题，共 44分 明过程或演算步骤 . 15已知二次函数 f（ x） =x2+3 的两个零点为 1 和 n， （ ）求 m， n 的值； （ ）若 f（ 3） =f（ 2a 3），求 a 的值 16已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，函数 f（ x） =2x 1 （ ）求当 x 0 时， f（ x）的解析式； （ ）若 f（ a） 3，求 a 的取值范围 17已知函数 f（ x） =22x ） （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间与 对称轴方程； （ ）当 x0， 时，求函数 f（ x）的最大值与最小值 18如果 f（ x）是定义在 R 上的函数，且对任意的 xR，均有 f（ x） f（ x），则称该函数是 “X函数 ” （ ）分别判断下列函数： y=2x； y=x+1； y=x 3 是否为 “X函数 ”？（直接写出结论） （ ）若函数 f（ x） =a 是 “X函数 ”，求实数 a 的取值范围； （ ）已知 f（ x） = 是 “X函数 ”，且在 R 上单调递增，求所有可能的集合 A 与 B 第 4 页（共 15 页） 2015年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8小题，共 32分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 A=x| 1x 2， B=x|x1，则 AB=（ ） A（ 1， 2） B 1， 2 C 1， 1 D 1， 2） 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题；方程思想；综合法；集合 【分析】 利用交集定义求解 【解答】 解： 集合 A=x| 1x 2， B=x|x1， AB=x|1x 2=1， 2） 故选： D 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用 2 ）的值为（ ） A 1 B 1 C 0 D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 计算题；三角函数的求值 【分析】 根据正弦函数为奇函数，利用奇函数的性质化简原式，变形后利用诱导公式及特殊角的三角函 数值计算即可得到结果 【解答】 解： ） = 4+ ） = 1， 故选： B 【点评】 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键 3若 是第二象限的角， P（ x， 6）为其终边上的一点，且 ，则 x=（ ） A 4 B 4 C 8 D 8 【考点】 任意角的三角函数的定义 第 5 页（共 15 页） 【专题】 方程思想；转化思想；三角函数的求值 【分析】 由题意与三角函数的定义可得： = ， x 0，解出即可得出 【解答】 解： 是第二象限的角， P（ x， 6）为其终边上的一点，且 ， = ， x 0， 解得 x= 8 故选： C 【点评】 本题考查了三角函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4化简 =（ ） A B C D | 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 计算题；三角函数的求值 【分析】 被开方数第二项利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次根式 的性质化简即可得到结果 【解答】 解： 0， 原式 = = =|= 故选： A 【点评】 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键 5已知 A（ 1， 2）， B（ 3， 7）， =（ x， 1）， ，则（ ） A x= ，且 与 方向相同 B x= ，且 与 方向相同 C x= ，且 与 方向相反 D x= ，且 与 方向相反 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】 计算题；规律型；函数思想；平面向量及应用 【分析】 求出 量，利用斜率平行求出 x，然后判断两个向量的方向即可 【解答】 解： A（ 1， 2）， B（ 3， 7）， 第 6 页（共 15 页） 可得 =（ 2， 5） =（ x， 1）， ， 可得 5x= 2，解得 x= =（ ， 1），与 方向相反 故选： D 【点评】 本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题 6已知函数： y=y=x|， y=| y=|其中周期为 ，且在（ 0， ）上单调递增的是（ ） A B C D 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 利用三角函数的周期性，和三角函数的图象和性质对选项逐个分析即可 【解答】 解： 函数 y= =1，故周期 T= =；因为利用正切函数的图象可得在（ 0， ）上单调递增，所以 A 正确； y=x|为偶函数，根据图象判断它不是周期函数，所以 B 不正确； 由于函数 y=|期为 2=，利用正弦函数的图象可得在（ 0， ）上单调递增，故正确； y=|周期为 的三角函数，利用余弦函数的图象可得在（ 0， ）上单调递减，故不正确； 故选： B 【点评】 本题考查三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握各类三角函数的周期情况及求法是解决问题的关键，属于中档题 7先把函数 y=图象上所有点向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐 标不变），得到的函数图象的解析式为（ ） A y=2x+ ） B y=2x ） C y=x+ ） D y=x ） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质 第 7 页（共 15 页） 【分析】 利用导公式以及函数 y=x+）的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析式 【解答】 解：将函数 y=图象向右平移 个单位长度， 可得函数 y=2x ）的图象； 再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）， 可得到的函数 y=22x ）的图象， 故选： B 【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，函数 y=x+）的图象变换规律，属于中档题 8若 m 是函数 f（ x） = 2x+2 的一个零点，且 0， m）， m， +），则 f（ f（ f（ m）的大小关系为（ ） A f（ f（ m） f（ B f（ m） f（ f（ C f（ m） f（ f（ f（ f（ m） f（ 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 由已知得 m 是函数 g（ x） = 与 h（ x） =2x 2 图象的一个交点的横坐标，由此利用数形结合思想能比较 f（ f（ f（ m）的大小关系 【解答】 解： m 是 f（ x） = 2x+2 的一个零点， m 是方程 的一个解， 即 m 是方程 的一个解， m 是函数 g（ x） = 与 h（ x） =2x 2 图象的一个交点的横坐标， 如图所示，若 0， m）， m， +）， 则 f（ =g（ h（ 0=f（ m）， f（ =g（ h（ 0=f（ m）， f（ f（ m） f（ 故选： D 第 8 页（共 15 页） 【点评】 本题考查命题真假的判断，是基础题，解 题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用 二填空题：本大题共 6小题，每空 4分，共 24分 9若 y=1，则 x 的取值范围是 （ 2， +） 【考点】 指、对数不等式的解法 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用 【分析】 直接利用对数函数的单调性求得 x 的取值范围 【解答】 解：由 y=1= x 2 x 的取值范围是（ 2， +） 故答案为：（ 2， +） 【点评】 本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题 10若函数 f（ x） =x 4 在 x 1， 3上的最大值和最小值分别为 M， N，则 M+N= 8 【考点】 二次函数的性质 【专题】 函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 求出 f（ x）的对称轴，可得区间 1， 3为增区间，可得最值，即可得到 M+m 的值 【解答】 解：函数 f（ x） =x 4 的对称轴为 x= ， 区间 1， 3在对称轴的右边， 即有 f（ x）在区间 1， 3递增， 可得最小值 m=f（ 1） = 6； 最大 M=f（ 3） =14， 可得 M+m=8 故答案为： 8 第 9 页（共 15 页） 【点评】 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题 11若向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 2），且 m +n =（ 5， 5）（ m， nR），则 m n 的值为 2 【考点】 平面向量的坐标运 算 【专题】 计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 由已知得（ 2m， m） +（ n， 2n） =（ 2m+n， m 2n） =（ 5， 5），由此能求出 m n 的值 【解答】 解： 向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 2），且 m +n =（ 5， 5）（ m， nR）， （ 2m， m） +（ n， 2n） =（ 2m+n， m 2n） =（ 5， 5）， ，解得 m=1， n=3， m n= 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则的合理运用 12如图，在平面四边形 ， 交于点 O， E 为线段 中点，若（ ， R），则 += 【考点】 平面向量的基本定 理及其意义 【专题】 平面向量及应用 【分析】 ， ，可得 由 E 为线段 中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出 【解答】 解： ， ， ， E 为线段 中点， 第 10 页（共 15 页） ， ， 2= ， 解得 = ， += 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 13若函数 f（ x） =x+）（其中 0）在（ 0， ）上单调递增，且 f（ ） +f（ ） =0，f（ 0） = 1，则 = 2 【考点】 y=x+）中参数的物理意义；三角函数的化简求值 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】 由题意可得： ， + ，由 f（ 0） = 1，解得 = ， 3，由 f（ ） +f（ ） =0，解得： ） =，即可解得 的值 【解答】 解：由函数 f（ x） =x+）（ 0）在区间（ 0， ）上单调递增，可得： ， + ， f（ 0） = 1，解得： 1，可得： =2 kZ， = ， 3， 由 f（ ） +f（ ） =0， 可得： ） + ） =0， 解得： ） =， = ，或 =2 ，解得： =2 或 6（舍去） 故答案为： 2 【点评】 本题主要考查正弦函数的单调性，由函数 y=x+）的部分图象求解析式，属于中档题 第 11 页（共 15 页） 14已知函数 y=f（ x），若对于任意 xR， f（ 2x） =2f（ x）恒成立，则称函数 y=f（ x）具有性质 P， （ 1）若函数 f（ x）具有性质 P，且 f（ 4） =8，则 f（ 1） = 2 ； （ 2）若函数 f（ x）具有性质 P，且在（ 1， 2上的解析式为 y=么 y=f（ x）在（ 1， 8上有且仅有 3 个零点 【考点】 抽象函数及其应用 【专题】 转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据性质 P 的条件，利用方程关系进行递推即可 （ 2）根据性质 P 的条件，分别求出函数的解析式，利用函数零点的定义解方程即可 【解答】 解：（ 1）因为函数 y=f（ x），具有性质 P， 所以对于任意 xR， f（ 2x） =2f（ x）恒成立， 所以 f（ 4） =f（ 22） =2f（ 2） =2f（ 21） =4f（ 1） =8， 所以 f（ 1） =2 （ 2）若函数 y=f（ x）具有性质 P，且在（ 1， 2上的解析式为 y= 由 y=，则 x= ， 由 f（ 2x） =2f（ x）得 f（ x） =2f（ ）， 若 2 x4，则 1 2，则 f（ x） =2f（ ） =2 则函数 f（ x）在（ 2， 4上的解析式为 y=2 由 20，得 x=， 若 4 x8，则 2 4，则 f（ x） =2f（ ） =4 在（ 4， 8上的解析式为 y=4 由 y=40 得 x=2， 所以 y=f（ x）在（ 1， 8上有且仅有 3 个零点，分别是 ， ， 2 故 y=f（ x）在（ 1， 8上有且仅有 3 个零点， 故答案为： 2， 3 【点评】 本题主要考查抽象函数的应用，利用定 义进行递推以及求出函数的解析式是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力 第 12 页（共 15 页） 三解答题：本大题共 4小题，共 44分 明过程或演算步骤 . 15已知二次函数 f（ x） =x2+3 的两个零点为 1 和 n， （ ）求 m， n 的值； （ ）若 f（ 3） =f（ 2a 3），求 a 的值 【考点】 二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系 【专题】 计算题；规律型；函数思想；方程思想；函数的性质及应用 【分析】 （ ）利用函数的零点与方程根的关系，列出方程求解即可得到 m， n 的值； （ ）通过 f（ 3） =f（ 2a 3），利用二次函数的对称性即可求 a 的值 【解答】 解：（ ）因为二次函数二次函数 f（ x） =x2+3 的两个零点为 1 和 n， 所以， 1 和 n 是方程 x2+3=0 的两个根 则 1+n= m， 1n= 3， 所以 m= 2， n=3 （ ）因为函数 f（ x） =2x 3 的对称轴为 x=1 若 f（ 3） =f（ 2a 3）， 则 =1 或 2a 3=3 得 a=1 或 a=3 综上， a=1 或 a=3 【点评】 本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力 16已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，函数 f（ x） =2x 1 （ ）求当 x 0 时， f（ x）的解析式； （ ）若 f（ a） 3，求 a 的取值范围 【考点】 奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）当 x 0 时， x 0，利用条件，即可 f（ x）的解析式； （ ）若 f（ a） 3， f（ 2） =3，根据 f（ x）在 R 上是单调递增函数求 a 的取值范围 【解答】 解：（ ）当 x 0 时， x 0，则 f（ x） =2 x 1 第 13 页（共 15 页） 因为 f（ x）是奇函数，所以 f（ x） = f（ x） 所以当 x 0 时， f（ x） = f（ x） = 2 x+1 （ ）因为 f（ a） 3， f（ 2） =3， 所以 f（ x） f（ 2） 又因为 f（ x）在 R 上是单调递增函数， 所以 a2 【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，属于中档题 17已知函数 f（ x） =22x ） （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间与对称轴方程； （ ）当 x0， 时，求函数 f（ x）的最大值与最小值 【考点】 三角函数的最值；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ ） 解 22x 2可得单调递增区间，解 2x =2可得对称轴方程； （ ） 由 x 的范围可得 2x ，可得三角函数的最值 【解答】 解：（ ） f（ x） =22x ）， 由 22x 2可得 x， 函数 f（ x）的单调递增区间为 ， ， kZ， 由 2x =2可得 x=， kZ， f（ x）的对称轴方程为 x=， kZ； （ ） 0x ， 2x ， 2x ） 1， 当 2x = 即 x=0 时， f（ x）的最小值为 1， 第 14 页（共 15 页） 当 2x = 即 x= 时， f（ x）的最大值为 2 【点评】 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题 18如果 f（ x）是定义在 R 上的函数， 且对任意的 xR，均有 f（ x） f（ x），则称该函数是 “X函数 ” （ ）分别判断下列函数： y=2x； y=x+1； y=x 3 是否为 “X函数 ”？（直接写出结论） （ ）若函数 f（ x） =a 是 “X函数 ”，求实数 a 的取值范围； （ ）已知 f（ x） = 是 “X函数 ”，且在 R 上单调递增，求所有可能的集合 A 与 B 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 新定义；分类讨论；反