2016年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=2， 3， 5， 6，集合 B=1， 3， 4， 6，7，则集合 A ） A 2， 5B 3， 6C 2， 5， 6D 2， 3， 5， 6， 8 2下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A y= C y= 3某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ） A 19、 13B 13、 19C 20、 18D 18、 20 4已知直线 m， n 和平面 ， m， n m，那么 “n”是 “m ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知双曲线的一个焦点 F，点 P 在双曲线的一条渐近线上，点 O 为双曲线的对称中心，若 等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A B C 2D 6已知等比数列 ， ，且 ，那么 值是（ ） A 15B 31C 63D 64 7如图，已知三棱锥 P 底面是等腰直角三角形，且 0，侧面 底面A=则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x， y， z 分别是（ ） 第 2 页（共 18 页） A ， ， 2B 4， 2， C ， 2， 2D ， 2， 8经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 于均衡价格 ，需求量大于供应量，价格会上升为 产品价格 0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格 正确表示上述供求关系的图形是（ ） A B C D 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9在锐角 ，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，若 b=2角 A 等于 10已知 ， ， ， 0，则 = 11已知圆 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=2，则圆 C 被动直线 l： y+2 k=0 所截得的弦长 12已知 x 1，则函数 的最小值为 13已知 x， y 满足 ，目标函数 z=mx+y 的最大值为 5，则 m 的值为 14函数 f（ x） =2x 2 x b（ bR） 当 b=0 时，函数 f（ x）的零点个数 ； 若函数 f（ x）有两个不同的零点，则 b 的取值范围 三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 第 3 页（共 18 页） 15已知函数 （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 16如图是根据某行业网站统计的某一年 1 月到 12 月（共 12 个月）的山地自行车销售量（ 1000 辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题： （ ）在一年中随机取一个月的销售量，估 计销售量不足 200k 的概率； （ ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如 2 月到 3月递增）的概率； （ ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程） 17已知在 ， B=90， D， E 分别为边 中点，将 折后，使之成为四棱锥 C 图） （ ）求证： 平面 ； （ ）设平面 C面 l，求证： l； （ ）若 CD ， ， F 为棱 一点，设 ，当 为何值时，三棱锥 C 体积是 1？ 18已知函数 ，数列 足： （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 前 n 项和为 数列 的前 n 项和 19已知函数 第 4 页（共 18 页） （ ）求曲线 C： y=f（ x）在 x=1 处的切线 l 的方程； （ ）若函数 f（ x）在定义域内是单调函数，求 m 的取值范围； （ ）当 m 1 时，（ ）中的直线 l 与曲线 C： y=f（ x）有且只有一个公共点，求 m 的取值范围 20已知椭圆 C： 过点 A（ 2， 0），离心率 ，斜率为 k（ 0 k1）直线 l 过点 M（ 0， 2），与椭圆 C 交于 G， H 两 点（ G 在 M， H 之间），与 x 轴交于点 B （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ） P 为 x 轴上不同于点 B 的一点， Q 为线段 中点，设 面积为 2，求 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2016年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=2， 3， 5， 6，集合 B=1， 3， 4， 6，7，则集合 A ） A 2， 5B 3， 6C 2， 5， 6D 2， 3， 5， 6， 8 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可； 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=2， 3， 5， 6，集合 B=1， 3，4， 6， 7， 2， 5， 8， 则 A2， 5 故选： A 2下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A y= C y= 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可 【解答】 解： A y=足条件， B y= 是奇函数在每个区间上为是增函数，但其定义域不是增函数，不满足条件 C y=奇函数，在每个区间上为是增 函数，但其定义域不是增函数，不满足条件， D y= 为偶函数，在定义域上不是增函数 故选： A 3某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ） A 19、 13B 13、 19C 20、 18D 18、 20 第 6 页（共 18 页） 【考点】 茎叶图；众数、中位数、平均数 【分析】 把两列数据按照从小到大排列，数据有 11 个最中间一个数 字就是中位数，把两列数据的中位数找出来 【解答】 解：由茎叶图知甲的分数是 6， 8， 9， 15， 17， 19， 23， 24， 26， 32， 41， 共有 11 个数据，中位数是最中间一个 19， 乙的数据是 5， 7， 8， 11， 11， 13， 20， 22， 30， 31， 40 共有 11 和数据，中位数是最中间一个 13， 故选 A 4已知直线 m， n 和平面 ， m， n m，那么 “n”是 “m ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 直线 m， n 和平面 ， m， n m，由 “n”可得： “m ”，反之不成立，可能：n，或 n 【解答】 解：直线 m， n 和平面 ， m， n m，那么 “n”“m ”， 反之不成立，可能： n，或 n “n”是 “m ”的充分不必要条件 故选： A 5已知双曲线的一个焦点 F，点 P 在双曲线的一条渐近线上，点 O 为双曲线的对称中心，若 等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A B C 2D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， P 在渐近线 y= x 上， 等腰直角三角形，只能是 0或 0，均有 5，运用直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， F（ c， 0）， P 在渐近线 y= x 上， 等腰直角三角形， 只能是 0或 0， 均有 5， 即有 =1，即 a=b， c= = a， 则 e= = 故选： B 第 7 页（共 18 页） 6已知等比数列 ， ，且 ，那么 值是（ ） A 15B 31C 63D 64 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 先求出公比，再根据求和公式计算即可 【解答】 解：设公比为 q， ，且 ， =， q=2， =31， 故选： B 7如图，已知三棱锥 P 底面是等腰直角三角形，且 0，侧面 底面A=则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x， y， z 分别是（ ） A ， ， 2B 4， 2， C ， 2， 2D ， 2， 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 根据题意，结合三视图的特征，得出 x 是等边 的高， y 是边 一半， z 是等腰直角 边 的中线，分别求出它们的大小即可 【解答】 解： 三棱锥 P 底面是等腰直角三 角形，且 0， 侧面 底面 A=； x 是等边 的高， x=42 ， y 是边 一半， y= ， z 是等腰直角 边 的中线， z= ； x， y， z 分别是 2 ， 2， 2 故选： C 第 8 页（共 18 页） 8经济学家在研究 供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 于均衡价格 ，需求量大于供应量，价格会上升为 产品价格 0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格 正确表示上述供求关系的图形是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析应由 y 轴分析 x 轴，从而利用排除法求得 【解答】 解： 当产品价格 于均衡价格 求量大于供应量， 排除 B、 C； 且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢， 故排除 A， 故选 D 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9在锐角 ，角 A， B， C 所对应的边分 别为 a， b， c，若 b=2角 A 等于 30 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理化简已知的等式，根据 为 0 得出 值，由 A 为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数 【解答】 解：利用正弦定理化简 b=2： ， ， A 为锐角， A=30 第 9 页（共 18 页） 故答案为： 30 10已知 ， ， ， 0，则 = 16 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 使用勾股定理和余弦函数的定义计算 入向量的数量积公式计算 【解答】 解：由勾股定理得 ， ， =C =16 故答案为： 16 11已知圆 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=2，则圆 C 被动直线 l： y+2 k=0 所截得的弦长 2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 圆 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=2 的圆心 C（ 1， 2），半径 r= ，再推导出直线 l： y+2 k=0 过圆心 C（ 1， 2），由此能求出圆 C 被动直线 l： y+2 k=0 所截得的弦长 【解答】 解：圆 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=2 的圆心 C（ 1， 2），半径 r= ， 动直线 l： y+2 k=0 整理，得：（ x 1） k+2 y=0， 解方程组 ，得 x=1， y=2， 直线 l： y+2 k=0 过圆心 C（ 1， 2）， 圆 C 被动直线 l： y+2 k=0 所截得的弦长为 故答案为： 2 12已知 x 1，则函数 的最小值为 3 【考点】 基本不等式 【分析】 变形利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： x 1， x 1 0 则函数 = +（ x 1） +1 +1=3，当且仅当 x=2 时取等号 则函数 的最小值为 3 故答案为： 3 13已知 x， y 满足 ，目标函数 z=mx+y 的最大值为 5，则 m 的值为 3 【考点】 简单线性规划 第 10 页（共 18 页） 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ ） ， 联立 ，解得 B（ 1， 2）， 化目标函数 z=mx+y 为 y= mx+z， 当 m 1，即 m1 时，直线过 A 时在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 ，解得m= ； 当 1 m2，即 2m 1 时，直线过 B 时在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 m+2=5，解得 m=3（舍） m= 故答案为： 14函数 f（ x） =2x 2 x b（ bR） 当 b=0 时，函数 f（ x）的零点个数 0 ； 若函数 f（ x）有两个不同的零点，则 b 的取值范围 （ ， 1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值 【分析】 求出函数的值域，即可推出函数的零点的个数 利用函数的单调性，求出函数的最值，求解即可 【解答】 解： 当 b=0 时，函数 f（ x） =2x 2 x 2x+2 x =2 2x 2 x 2， ， f（ x） =2x 2 x 1 函数 f（ x）的零点个数为 0 函数 f（ x） =2x 2 x b，函数是偶函数， 可得 f（ x） = 22 x 0 时， 2 1 22 1 22 0， 第 11 页（共 18 页） 函数 f（ x）在 x 0 时是减函数， x 0 时是增函数， x=0 函数取得最大值： 1如图：若函数 f（ x）有两个不同 的零点，则 b 的取值范围（ ， 1） 故答案为： 0；（ ， 1） 三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）化简 f（ x），从而求出周期 T；（ ）根据 x 的范围，求出 2x 的范围，从而求出 f（ x）的最大值和最小值即可 【解答】 解： = ， （ ） ； （ ） ， ， 即 ， 由此得到： f（ x） ，此时 ； ，此时 第 12 页（共 18 页） 16如图是根据某行业网站统计的某一年 1 月到 12 月（共 12 个月）的山地自行车销售量（ 1000 辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题： （ ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不 足 200k 的概率； （ ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如 2 月到 3月递增）的概率； （ ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布折线图、密度曲线 【分析】 （ ）设销售量不足 200k 为事件 A，这一年共有 12 个月，利用列举法能求出销售量不足 200k 的概率 （ ）设连续两个月销售量递增为事件 B，利用列举法能求出这连续两个月 销售量递增（如2 月到 3 月递增）的概率 （ ）由折线图，估计年平均销售量在 200k 250k 这两条水平线之间 【解答】 （本小题共 13 分） 解：（ ）设销售量不足 200k 为事件 A， 这一年共有 12 个月， 其中 1 月， 2 月， 6 月， 11 月共 4 个的销售量不足 200k， 所以 （ ）设连续两个月销售量递增为事件 B， 在这一年中随机取连续两个月的销售量， 有 1， 2 月； 2， 3 月； 3， 4 月； 4， 5 月； 5， 6 月； 6， 7 月； 7， 8 月； 8， 9 月； 9， 10 月；10， 11 月； 11， 12 月共 11 种取法， 其中 2， 3 月， 3， 4 月； 4， 5 月； 6， 7 月； 7， 8 月； 8， 9 月； 11， 12 月共 7 种情况的销售量递增， 所以 （ ）在 200k 250k 这两条水平线之间 17已知在 ， B=90， D， E 分别为边 中点，将 折后，使之成为四棱锥 C 图） 第 13 页（共 18 页） （ ）求证： 平面 ； （ ）设平面 C面 l，求证： l； （ ）若 CD ， ， F 为棱 一点，设 ，当 为何值时，三棱锥 C 体积是 1？ 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由 知 翻折后 CD，得出平面 ； （ 知 平面 C线面平行的性质即可得到 l； （ A = ，当 CD ， =45， 3 ，代入体积公式计算 CF，从而得出 的值 【解答】 证明：（ ） B=90， D， E 分别为 中点 CD CD， 平面 ， （ ） C C 面 C 又 面 面 CDE=l， l 解：（ 平面 ， 平面 ， A = =1， S C CD CD=， =45， CB=3 S C= 解得 CF= ， C CF=2 = =2 18已知函数 ，数列 足： 第 14 页（共 18 页） （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 前 n 项和为 数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）通过代入 可知 ，进而可知数列 以首项、公差均为 2 的等差数列，计算即得结论； （ ）通过（ I）及等差数列的求和公式，裂项可知 ，进而并项相加即得结论 【解答】 解：（ ） ， ，即 ， 又 ， 数列 以首项、公差均为 2 的等差数列， an= n 1） d=2+2（ n 1） =2n； （ ） 数列 等差数列， ， ， = = = 19已知函数 （ ）求曲线 C： y=f（ x）在 x=1 处的切线 l 的方程； （ ）若函数 f（ x）在定义域内是单调函数，求 m 的取值范围； （ ）当 m 1 时，（ ）中的直线 l 与曲线 C： y=f（ x）有且只有一个公共点，求 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，根据切点坐标，向量 k=f（ 1） =m 2，求出切线方程即可； （ ）求出函数的导数，通过讨论 m 的符号结合二次函数的性质，判断函数的单 调性，从而求出 m 的具体范围； （ ）根据直线和曲线 C 的关系，得到 ，根据函数的单调性求出 m 的范围即可 第 15 页（共 18 页） 【解答】 解：（ ） ， x 0 因为 ，所以切点为（ 1， ） 又 k=f（ 1） =m 2， 所以切线 l ， 即 l （ ） 当 m0 时， f（ x） 0， 所以 f（ x）在（ 0， +）上单调递减，符合题意 当 m 0 时，设 y=x 1，该抛物线开口向上， 且 =1+4m 0，过（ 0， 1）点， 所以该抛物线与 x 轴相交，交点位于原点两侧， f（ x）不单调，不符合题意，舍去 综上 m0