2016年四川省内江市高考数学四模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年四川省内江市高考数学四模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 . 1集合 A=x|xN， 0 x 4的子集个数为 （ ） A 8B 7C 4D 3 2复数 z= ，则（ ） A |z|=2B z 的实部为 1 C z 的虚部为 z 的共轭复数为 1+i 3已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 2） =（ ） A B C 2D 4 4给出下列四个结论： 如果 ，那么 在 方向上的投影相等 已知平面 和互不相同的三条直线 m、 n、 l，若 l、 m 是异面直线， m ， l 、且 n l，n m，则 n ； 过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直 设回归直线方程为 ，当变量 x 增加一个单位时， 平均增加 2 个单位 其中正确结论的个数为 （ ） A 1B 2C 3D 4 5右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ） A B C D 6已知 a， b， c， d 成等比数列，则下列三个数列： a+b， b+c， c+d； a b， b c， c d 中，必成等比数列的个数是（ ） A 0B 1C 2D 3 7如图，在 66 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 ， ， 满足 =x +y ，（ x，yR），则 x+y=（ ） 第 2 页（共 20 页） A 0B 1C 5 D 8 已知 a+b（ a 0， b 0）是函数 f（ x） = x+30 3a 的零点，则使得 取得最小值的有序实数对（ a， b）是 （ ） A（ 10， 5） B（ 7， 2） C（ 6， 6） D（ 5， 10） 9已知抛物线 C： y 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 C 的一个交点，若 ，则 |（ ） A 6B 3C D 10已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） + 在（ 0， +）上是减函数，且 xR，有 f（ x） +f（ x） =2以下大小关系一定正确的是（ ） A f（ ） f（ ） B f（ ） f（ ） C f（ ） f（ ） D f（ ） f（ ） 二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 5分，共计 25 分 ） 11某单位有 840 名职工，现采用系统抽样抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2， ，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 61， 140的人数为 12若实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=x+2y 的最大值是 13如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的体积为 第 3 页（共 20 页） 14执行如图所示的程序框图，则输出的 i= 15已知函数 f（ x）在（ ， +）上是减函数，且 f（ 1） =e， g（ x） = 4x+m2x+1+m 1，若 M=x|f（ g（ x） e=R，则实数 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6个小题，共 75分 明过程或演算步骤 .） 16甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15，边界忽略不计）即为中奖 乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是 2 个红球，即为中奖 问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？ 17已知函数 ， xR （ 1）求函数 f（ x）的频率和初相； （ 2）在 ，角 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c，若 ， ， c=2，求 面积 18已知正项数列 前 n 项的和是 任意 nN+，都有 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 第 4 页（共 20 页） 19如图，在四棱锥 P ，平面 平面 E 为 一点， F 为 一点，四边形 矩形， 0， ， D=2 （ 1）若 = （ R），且 平面 的值； （ 2）求证： 平面 （ 3） 求直线 平面 成的角 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点为 M 为短轴端点，且 S ，离心率为 ， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 O 作两条射线，与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，且满足 证明点 O 到直线 距离为定值 21已知函数 f（ x） =s x=0 处的切线方程为 y=x （ 1）求 s， k 的值； （ 2）若 ，求函数 h（ x） =g（ x） f（ x）的单调区间； （ 3）若正项数列 足 ， ，证明：数列 递减数列 第 5 页（共 20 页） 2016 年四川省内江市高考数学四模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 . 1集合 A=x|xN， 0 x 4的子集个数为 （ ） A 8B 7C 4D 3 【考点】 子集与真子集 【分析】 根据题意，易得集合 A 中有 3 个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案 【解答】 解：集合 A=xN|0 x 4=1， 2， 3，则其子集有 23=8 个， 故选： A 2复数 z= ，则（ ） A |z|=2B z 的实部为 1 C z 的虚部为 z 的共轭复数为 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为 a+形式，然后判断选项即可 【解答】 解：复数 z= = = = 1 i 显然 A、 B、 C 都不正确， z 的共轭复数为 1+i正确 故选： D 3已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 2） =（ ） A B C 2D 4 【考点】 分段函数的应用 【分析】 直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数在即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ 2） = ff（ 2） =f（ ） = = = 故选： A 4给出下列四个结论： 第 6 页（共 20 页） 如果 ，那么 在 方向上的投影相等 已知平面 和互不相同的三条直线 m、 n、 l， 若 l、 m 是异面直线， m ， l 、且 n l，n m，则 n ； 过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直 设回归直线方程为 ，当变量 x 增加一个单位时， 平均增加 2 个单位 其中正确结论的个数为 （ ） A 1B 2C 3D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据向量的数量积以及向量投影的定义进行判断 根据线面垂直的判定定理以及异面直线的性质进行判断 根据面面垂直的判定定理进 行判断 根据线性回归直线方程的性质进行判断 【解答】 解： 如果 ， 则 | | |， =| | |， ， 即 | |， =| |， ， 那么 在 方向上的投影相等，故 正确， l、 m 是异面直线， l ， m ，且 n l， n m， l、 m 在平面 内的射影是两条相交直线， 且 n 垂直于平面 内的这两条射影，故 n 成立，故 正确 可过斜线与平面 的交点作一条垂直于平面 的直线，则斜线与垂线所确定的平面即与平面 垂直，这样的平面有且只有一个故 正确 设回归直线方程为 ，当变量 x 增加一个单位时， 平均减少 单位，故错误， 故正确是 ， 故选： C 5右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ） A B C D 【考点】 众数、中位数、平均数；茎叶图 【分析】 由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案 【解答】 解：由已知中的茎叶图可得 第 7 页（共 20 页） 甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88， 89， 90， 91， 92， 则甲的平均成绩 = =90 设污损数字为 X， 则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83， 83， 87， 99， 90+X 则乙的平均成绩 = = 当 X=8 或 9 时， 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 = 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 P=1 = 故选 C 6已知 a， b， c， d 成等比数列，则下列三个数列： a+b， b+c， c+d； a b， b c， c d 中，必成等比数列的个数是（ ） A 0B 1C 2D 3 【考点】 等比关系的确定 【分析】 根据题意，当已知条件 的等比数列公比为 1 时， 中的三个数不能成等比数列；而公比为 1 时 中的三个数不能成等比数列；而 中的三个数利用等比数列的定义加以证明，可得必定成等比数列由此可得本题答案 【解答】 解：对于 ，当 a， b， c， d 成公比等于 1 的等比数列时， a+b、 b+c、 c+d 都是 0，不能构成等比数列； 对于 ，由于 = = =q（公比）， 所以 = = 可得 = 等比数列； 对于 ，当 a， b， c， d 成公比等于 1 的等比数列时， a b、 b c、 c d 都是 0，不能构成等比数列 综上所述，只有 中的三项能成等比数列， 故选： B 7如图，在 66 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 ， ， 满足 =x +y ，（ x，yR），则 x+y=（ ） 第 8 页（共 20 页） A 0B 1C 5 D 【考点】 向量的三 角形法则 【分析】 根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可 【解答】 解：将向量 ， ， 放入坐标系中， 则向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 1）， =（ 3， 4）， =x +y ， （ 3， 4） =x（ 1， 2） +y（ 2， 1）， 即 ，解得 ， 则 x+y= ， 故选： D 8已知 a+b（ a 0， b 0）是函数 f（ x） = x+30 3a 的零点，则使得 取得最小值的有序实数对（ a， b）是 （ ） A（ 10， 5） B（ 7， 2） C（ 6， 6） D（ 5， 10） 【考点】 基本不等式；函数零点的判定定理 【分析】 a+b（ a 0， b 0）是函数 f（ x） = x+30 3a 的零点，可得：（ a+b） +30 3a=0，化为： 4a+b=30则 = = ，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： a+b（ a 0， b 0）是函数 f（ x） = x+30 3a 的零点， （ a+b） +303a=0，化为： 4a+b=30 则 = = = = ，当且仅当 b=2a=10 时取等号 取得最小值的有序实数对（ a， b）是（ 5， 10） 故选： D 9已知抛物线 C： y 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 C 的一个交点，若 ，则 |（ ） A 6B 3C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出 P， Q 的坐标，得到向量 坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得 【解答】 解：抛物线 C： y 的焦点为 F（ 0， 2），准线为 l： y= 2， 设 P（ a， 2）， Q（ m， ）， 第 9 页（共 20 页） 则 =（ a， 4）， =（ m， 2）， ， 2m= a， 4= 4， 2， 由抛物线的定义可得 | +2=4+2=6 故选 A 10已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） + 在（ 0， +）上是减函数，且 xR，有 f（ x） +f（ x） =2以下大小关系一定正确的是（ ） A f（ ） f（ ） B f（ ） f（ ） C f（ ） f（ ） D f（ ） f（ ） 【考点】 函数单调性的性质；函数恒成立问题；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 根据条件共组函数，利用函数恒成立，判断函数的奇偶性和单调性，进行比较即可 【解答】 解：设 g（ x） =f（ x） + =f（ x） + g（ x）在（ 0， +）上是减函数， 设 h（ x） =f（ x） h（ x）在（ 0， +）上也是减函数， xR，有 f（ x） +f（ x） =2 xR，有 f（ x） f（ x） + 即 f（ x） x） = f（ x） 则 h（ x） = h（ x）， 即函数 h（ x）是奇函数， 则 h（ x）在（ ， 0）上也是减函数 则 h（ ） h（ ），即 f（ ） ） f（ ） ）， 即 f（ ） f（ ） ，即 f（ ） f（ ） 0， 即 f（ ） f（ ）成立， 故选： C 二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 5分，共计 25 分 ） 11某单位有 840 名职工，现采用系统抽样抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2， ，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 61， 140的人数为 4 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据系统抽样的特点，求出组距是 20，再计算样本数据落入区间 61， 120的人数 【解答】 解：根据系统抽样的特点得：组距应为 84042=20， 第 10 页（共 20 页） 抽取的 42 人中，编号落入区间 61， 140的人数为： 20=4 故答案为： 4 12若实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=x+2y 的最大值是 11 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= x+ ， 平移直线 y= x+ ，由图象可知当直线 y= x+ 经过点 B 时，直线 y= x+ 的截距最大，此时 z 最大 由 ，得 ， 即 B（ 1， 5）， 此时 z 的最大值为 z=1+25=1+10=11， 故答案为： 11 13如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的体积为 48 3 第 11 页（共 20 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，利用底面边长高半径，结合体积公式求解即可 【解答】 解：空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱， 底面边长为 4，高为 3 的长方体， 圆柱的底面半径为 1， 这个几何体的体积为 443 123=48 3 故答案为： 48 3 14执行如图所示的程序框图，则输出的 i= 9 第 12 页（共 20 页） 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量 i， S 的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序， 可知：第一次循环， S=1， i=2； 第二次循环， S=4， i=3； 第三次循环， S=11， i=4； 第四次循环， S=26， i=5； 第五次循环， S=57， i=6 第六次循环， S=120， i=7 第七次循环， S=247， i=8 第八次循环， S=502， i=9 不满足条件，退出循环，输 出的 i 值为 9 故答案为： 9 15已知函数 f（ x）在（ ， +）上是减函数，且 f（ 1） =e， g（ x） = 4x+m2x+1+m 1，若 M=x|f（ g（ x） e=R，则实数 m 的取值范围是 2， 0 【考点】 函数恒成立问题；函数单调性的性质 【分析】 根据函数单调性的性质将不等式进行转化不等式恒成立问题，构造函数，利用换元法转化为一元二次函数恒成立进行求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x）在（ ， +）上是减函数，且 f（ 1） =e， 不等式 f（ g（ x） e 等价为 f（ g（ x） f（ 1）， 即 g（ x） 1， 若 M=x|f（ g（ x） e=R 则等价为 g（ x） 1 恒成立， 即 4x+m2x+1+m 1 1， 即 4x+m2x+1+m 0 恒成立， 设 t=2x，则 t 0， 则不等式等价为 mt+m 0， 第 13 页（共 20 页） 即 22m 0，在（ 0， +）上恒成立， 设 h（ t） =22m， ，即 ，即 2m0， ，即 ，即 此时无解， 综上 2m0， 故答案为： 2， 0 三、解答题（本大题共 6个小题，共 75分 明过程或演算步骤 .） 16甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15，边界忽略不计）即为中奖 乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是 2 个红球，即为中奖 问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？ 【考点】 几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 分别计算两种方案中奖的概率先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到 【解答】 解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积 阴 影部分的面积为 ， 则在甲商场中奖的概率为： ； 如果顾客去乙商场，记 3 个白球为 3 个红球为 记（ x， y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 第 14 页（共 20 页） （ 共 15 种， 摸到的是 2 个红球有（ （ （ 共 3 种， 则在乙商场中奖的概率为： ， 又 购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大 17已知函数 ， xR （ 1）求函数 f（ x）的频率和初相； （ 2）在 ，角 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c，若 ， ， c=2，求 面积 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由三角恒等变换化简 f（ x），由此得到函数的频率和初相 （ 2）由题意得到 ，由正弦定理得到 ，由三角形面积公式得到答案 【解答】 解：（ 1） ， =2 （ 2 1）， = =2+ ）， 函数的频率 ， 初相为 ， （ 2） 在 ， ， ， ， 0 A ， ， ， ， ， 又由正弦定理得 ，解得 ， 第 15 页（共 20 页） 18已知正项数列 前 n 项的和是 任意 nN+，都有 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）当 n=1 时计算可知 ，当 n2 时通过作差整理可知数列 以 1 为首项、公差为 1 的等差数列，进而计算可得结论； （ 2）通过（ 1）可知 ，进而利用错位相减法计算即得结论 【解答】 解：（ 1）由题意知： 当 n=1 时， 2，所以 1 分 当 n2 时， ， （ an+1）（ 1 1） =0， 1=14 分 数列 以 1 为首项，公差为 1 的等差数列， an=n6 分 （ 2）由（ 1）知 an=n， 7 分 ， 8 分 相减得 10 分 整理得： 12 分 19如图，在四棱锥 P ，平面 平面 E 为 一点， F 为 一点，四边形 矩形， 0， ， D=2 （ 1）若 = （ R），且 平面 的值； （ 2）求证： 平面 （ 3）求直线 平面 成的角 第 16 页（共 20 页） 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连接 点 M，连接 据 平面 行，且平面 平面 于直线 到 行，再由 行得比例，即可确定出 的值； （ 2）在直 角三角形 ，由 长，利用余弦定理求出 长，可得 直，再由平面 平面 平面 面 D，即可得证； （ 3）由（ 2）可得 直于平面 得 直线 平面 成的角，利用锐角三角函数定义求出所求角即可 【解答】 （ 1）解：连接 点 M，连接 平面 面 面 M， = = ， = = ， = ； （ 2） ， ， 0， = ， 又平面 平面 平面 面 D， 平面 （ 3）由（ 2）知， 平面 直线 平面 成的角， 在 ， = = ，即 0， 则直线 平面 成的角为 30 第 17 页（共 20 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点为 M 为短轴端点，且 S ，离心率为 ， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 O 作两条射线，与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，且满足 证明点 O 到直线 距离为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a， b， c 的关系，解得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）由 ，两边平方，可得 ，即两条射线 相垂直讨论直线 率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量垂直的条件：数量积为 0，化简整理，可得 O 到直线的距离为定值 【解答】 解：（ 1）因为椭圆 ， 由题意 得 ， ， a2=b2+ 解得 ， 椭圆 C 的方程为 + =1； （ 2）由 ， 即有 2+ 2+2 = 2+ 2 2 ， 所以有 ，即两条射线 相垂直 当直线 率 不存在时，容易求出直线 方程为 或 x= ， 此时原点与直线 距离 ； 当直线 率存在时，设 A（ B（ 直线 方程为 y=kx+m， 解方程组 得 （ kx+m） 2=8， 即（ 1+28=0， 则 =164（ 1+2 28） =8（ 8） 0， 即 8 0， ； 第 18 页（共 20 页） m）（ m） =x1+ +， 由 ， ， + =0， 即有 388=0， ， O 到直线 距离 = 综上： O 到直线 距离为定值