2016年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（文科） 一 小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6A=1， 2， B=2， 3， 4，则 A（ =（ ） A 1， 2， 5， 6 B 1 C 2 D 1， 2， 3， 4 2复平面内与复数 对应的点所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3某几何体三视图如下，图中三个等腰三角 形的直角边长都是 2，该几何体的体积为（ ）A B C 4 D 4设曲线 y=a 在点（ 1， 0）处的切线方程为 y=2（ x 1），则 a=（ ） A 0 B C 1 D 5若实数 x， y 满足 ，则 z= 的最大值是（ ） A B C D 3 6阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 3 B 4 C 5 D 6 7在 角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c b，且 a b，则 B=（ ） A B C D 8在区间 5， 5内随机地取出一个数 a，使得 1x|2x2+0的概率为（ ） A B C D 9过点（ 2， 0）的直线 l 与圆 x2+ 相交于 M、 N 两点，且线段 ，则直线 ） A B C 1 D 10已知抛物线 p 0）的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E，当 A 点的坐标为（ 3， ， 正三角形，则此时 面积为（ ） A B C 2 D 4 11在平行四边形 ， =0， ， ，若将其沿 成直二面角 D B，三棱锥 D 各顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A 16 B 8 C 4 D 2 12若函数 f（ x） =a 有两个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A 0， B（ ， ） C（ 0， D（ ， 0） 二 小题 5 分，共 20 分） 13设向量 ， 满足 | + |= ， | |= ，则 = 14设 f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， f（ x） =x ，则 f（ ） = 15函数 f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分图象如图所示，其中 A， B 两点之间的距离为 5，则 = 16若对于任 意的实数 b2， 4，都有 2b（ b+a） 4 恒成立，则实数 a 的取值范围是 三 5小题，共 70分） 17设数列 前 n 项和为 （ n， ）， nN*均在函数 y=x 的图象上 （ ）求数列 通项公式； （ ）若 等比数列，且 ， ，求数列 an+前 n 项和 第 3 页（共 19 页） 18移动公司在国庆期间推出 4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠 200 元，选择套餐二的客户可获得优惠 500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300 元国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率 （ 1）求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率； （ 2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人，再从该 6 人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率 19如图，三棱柱 正方形，侧面 菱形， 0， （ ）求证：平面 （ ）若 ，求三棱柱 积 20已知中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 的椭圆 C 过点（ ， ） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设不过坐标原点 O 的直线与椭圆 C 交于 P， Q 两点，若 明：点 O 到直线 距离为定值 21已知函 数 f（ x） =x 1+ （ R， e 为 自然对数的底数） （ 1）求函数 f（ x）的极值； （ 2）当 a=1 时，若直线 l： y=1 与曲线 y=f（ x）没有公共点，求 k 的最大值 四 考试在第 22、 23、 24三道题任选一题作答） 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， 角平分线， 外接圆交 点 E， ）求证： （ ）当 ， 时，求 长 第 4 页（共 19 页） 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C： 96，直线 l： （ t 为参数） （ ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； （ ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求 |最大值与最小值 选修 4等式选讲 24（选做题）已知函数 f（ x） =|2x 1|+2， g（ x） = |x+2|+3 （ ）解不等式： g（ x） 2； （ ）当 xR 时， f（ x） g（ x） m+2 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一 小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6A=1， 2， B=2， 3， 4，则 A（ =（ ） A 1， 2， 5， 6 B 1 C 2 D 1， 2， 3， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 进行补集、交集的运算即可 【解答】 解： 1， 5， 6； A（ =1， 21， 5， 6=1 故选： B 2复平面内与复数 对应的点所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则和几何意义即可得出 【解答】 解： = = 2+i， 复数 对应的点（ 2， 1）所 在的象限为第二象限 故选： B 3某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是 2，该几何体的体积为（ ）A B C 4 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积 S= 22=2， 高 h=2， 第 6 页（共 19 页） 故几何体的体积 V= = ， 故选： A 4设曲线 y=a 在点（ 1， 0）处的切线方程为 y=2（ x 1），则 a=（ ） A 0 B C 1 D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程可得 a 的方程，即可得到 a 【解答】 解： y=a 的导数为 y=2， 可得在点（ 1， 0）处的切线斜率为 k=2a 1， 由切线方程为 y=2（ x 1），可得： 2a 1=2，解得 a= 故选： D 5若实数 x， y 满足 ，则 z= 的最大值是（ ） A B C D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据条件画出可行域， z=x2+利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到 z 最大值即可 【解答】 解：先根据约束条件 画出可行域 而 z= 的表示可行域内点到原点距离 点 P 在蓝色区域里运动时，点 P 跑到点 B 时 大，由 ，可得 B（ 3， 8） 当在点 B（ 3， 8）时， z 最大，最大值为 = ， 故选： C 第 7 页（共 19 页） 6阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值 【解答】 解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1， a=2； 经第二次循环得到 i=2， a=5； 经第三次循环得到 i=3， a=16； 经第四次循环得到 i=4， a=65 满足判断框的条件，执行是，输出 4 故选 B 7在 角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c b，且 a b，则 B=（ ） A B C D 【考点】 正弦定理；两角和与差的正弦函数 第 8 页（共 19 页） 【分析】 利用正弦定理化简已知的等式，根据 为 0，两边除以 利用两角和与差的正弦函数公式化简求出 值，即可确定出 B 的度数 【解答】 解：利用正弦定理化简已知等式得： ， A+C） =， a b， A B，即 B 为锐角， 则 B= 故选 A 8在区 间 5， 5内随机地取出一个数 a，使得 1x|2x2+0的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由 1x|2x2+0代入得出关于参数 a 的不等式，解之求得 a 的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率 【解答】 解：由题意 1x|2x2+0，故有 2+a 0，解得 1 a 2 由几何概率模型的知识知，总的测度，区间 5， 5的长度为 10，随机地取出一个数 a，使得 1x|2x2+0这个事件的测度为 3 故区间 5， 5内随机地取出一个数 a，使得 1x|2x2+0的概率为 故选： A 9过点（ 2， 0）的直线 l 与圆 x2+ 相交于 M、 N 两点，且线段 ，则 直线 ） A B C 1 D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k（ x+2），求出圆 x2+ 的圆心，半径 r= ，再求出圆心到直线 l： y=k（ x+2）的距离 d，利用过点（ 2， 0）的直线 l 与圆 x2+相交于 M、 N 两点，且线段 ，由勾股定理得 ，由此能求出 k 的值 【解答】 解：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k（ x+2）， 圆 x2+ 的圆心 O（ 0， 0），半径 r= ， 圆心 O（ 0， 0）到直线 l： y=k（ x+2）的距离 d= ， 过点（ 2， 0）的直线 l 与圆 x2+ 相交于 M、 N 两点，且线段 ， 由勾股定理得 ， 即 5= +3， 第 9 页（共 19 页） 解得 k=1 故选： C 10已知抛物线 p 0）的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E，当 A 点的坐标为（ 3， ， 正三角形，则此时 面积为（ ） A B C 2 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线的性质和正三角形的性质计算 p，得出三角形的边长，即可计算三角形的面积 【解答】 解：抛物线的焦点为 F（ ， 0），准线方程为 x= 正三角形 ， 3+ =2（ 3 ），解得 p=2 ， S =4 故选： D 11在平行四边形 ， =0， ， ，若将其沿 成直二面角 D B，三棱锥 D 各顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A 16 B 8 C 4 D 2 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由已知中 =0，可得 成直二面角 D B，平面 面 得三棱锥 A 外接球的直径为 而根据 ， ，求出三棱锥 D 外接球的半径，可得三棱锥 D 外接球的表面积 【解答】 解：平行四边形 ， =0， 沿 成直二面角 D B， 第 10 页（共 19 页） 平面 平面 三棱锥 D 外接球的直径为 ， ， 外接球的半径为 1， 故表面积是 4 故选： C 12若函数 f（ x） =a 有两个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A 0， B（ ， ） C（ 0， D（ ， 0） 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 根据函数零点的定义，由 f（ x） =a=0 得 a，设函数 g（ x） =用导数研究函数的极值即可得到结论 【解答】 解：函数的定义域为（ 0， +）， 由 f（ x） =a=0 得 a， 设 g（ x） = 则 g（ x） =， 由 g（ x） = 0 得 x ，此时函数单调递增， 由 g（ x） = 0 得 0 x ，此时函数单调递减， 即当 x= 时，函数 g（ x）取得极小值 g（ ） = ， 当 x0 时， g（ x） 0， 要使函数 f（ x） =a 有两个零点，即方程 a 有两个不同的根， 即函数 g（ x）和 y=a 有两个不同的交点， 则 a 0， 故选： D 二 小题 5 分，共 20 分） 13设向量 ， 满足 | + |= ， | |= ，则 = 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用数量积的性质即可得出 第 11 页（共 19 页） 【解答】 解： | + |= = ， | |= = ， 平方相减可得： =4，解得 =1 故答案为： 1 14设 f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， f（ x） =x ，则 f（ ） = 【考点】 函数奇偶性的性质；函数的周期性 【分析】 根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可 【解答】 解： f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， f（ x） =x ， f（ ） =f（ +2） =f（ ） = f（ ） = = = ， 故答案为： 15函数 f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分图象如图所示，其中 A， B 两点之间的距离为 5，则 = 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意和距离公式可得函数的半周期，由周期公式可得 【解答】 解：由题意可设 间的水平距离为 d， 则由题意可得 2（ 2） 2=52， 解得 d=3，故函数的周期 T= =23， 解得 = ， 故答案为： 16若对于任意的实数 b2， 4，都有 2b（ b+a） 4 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （1， +） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 将不等式恒成立进行转化即可求出 a 的取值范围 【解答】 解：对于任意的实数 b2， 4，都有 2b（ b+a） 4 恒成立， 则等价为 b+a ， 第 12 页（共 19 页） 即 a b = b+22 b， 设 f（ b） = b+22 b，则函数 f（ b）在 b2， 4上单调递减， 当 b=2 时，函数 f（ b）取得最大值 f（ 2） = 2+1= 1， 则 a 1， 故答案为：（ 1， +） 三 5小题，共 70分） 17设数列 前 n 项和为 （ n， ）， nN*均在函数 y=x 的图象上 （ ）求数列 通项公式； （ ）若 等比数列，且 ， ，求数列 an+前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的性质 【分析】 （ I）由点（ n， ）， nN*均在函数 y=x 的图象上，可得 =n，利用递推式即可得出 （ 等比数列 公比为 q，由 ， ，利用等比数列的通项公式可得 q，分别利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ I） 点（ n， ）， nN*均在函数 y=x 的图象上， =n，化为 当 n=1 时， ；当 n2 时， n 1= n 1） 2=2n 1， 当 n=1 时，也成立， n 1 （ 等比数列 公比为 q， ， ， 1q，解得 q=2， an+ 2n 1） +2n 1， 数列 an+前 n 项和 1+3+（ 2n 1） +（ 1+2+22+2n 1） = =n 1 18移动公司在国庆期间推出 4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠 200 元，选择套餐二的客户可获得优惠 500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300 元国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率 （ 1）求某人获得优惠金额不 低于 300 元的概率； （ 2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人，再从该 6 人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率 第 13 页（共 19 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法；频率分布直方图 【分析】 （ 1）利用古典概型的概率公式，即可得出结论； （ 2）由题意按分层抽样方式选出的 6 人中，获得优惠 200 元的 1 人，获得优惠 500 元的 3人，获得优惠 300 元的 2 人，列举基本事件，即可求这两人获得相等优惠金额的概率 【解答】 解（ 1）设事件 A=“某人获得优惠金额不低于 300 元 ”， 则 （ 2）设事件 B=“从这 6 人中选出两人，他们获得相等优惠金额 ”， 由题意按分层抽样方式选出的 6 人中，获得优惠 200 元的 1 人，获得优惠 500 元的 3 人，获得优惠 300 元的 2 人， 分别记为 中选出两人的所有基本事件如下： 15 个 其中使得事件 B 成立的为 4 个 则 19如图，三棱柱 正方形，侧面 菱形， 0， （ ）求证：平面 （ ）若 ，求三棱柱 积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）证 直于平面内的两 条相交直线，再由线面垂直 面面垂直； （ 求得三棱锥 体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解 【解答】 （ ）证明：由侧面 又 1C=以 平面 又 面 以平面 第 14 页（共 19 页） （ ）解：设 O 是 中点，连结 由（ ）知， 平面 连结 则 = O= 因 = = = ， 故三棱柱 2 20已知中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 的椭圆 C 过点（ ， ） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设不过坐标原点 O 的直线与椭圆 C 交于 P， Q 两点，若 明：点 O 到直线 距离为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）设椭圆的标准方程： + =1（ a b 0），由题意可得： ，解得即可得出 （ 直线 率存在时，设直线 方程为： y=kx+m， P（ Q（ 与椭圆方程联立可得：（ 1+44=0，由 得= m）（ m） =（ 1+x1+，把根与系数的关系代入可得： 5+4用点 O 到直线 距离 d= ，即可证明当直线 证即可得出 【解答】 解：（ I）设椭圆的标准方程： + =1（ a b 0）， 第 15 页（共 19 页） 由题意可得： ，解得 a=2， b=1， c= 椭圆 C 的方程为 =1 （ 明：当直线 率存在时，设直线 方程为： y=kx+m， P（ Q（ x2， 联立 ，化为：（ 1+44=0， 0， x1+， ， = m）（ m） =（ 1+x1+， +， 化为： 5+4 点 O 到直线 距离 d= = = 为定值 当直线 率不存在时也满足上述结论 点 O 到直线 距离 d= 为定值 21已知函数 f（ x） =x 1+ （ R， e 为 自然对数的底数） （ 1）求函数 f（ x）的极值； （ 2）当 a=1 时，若直线 l： y=1 与曲线 y=f（ x）没有公共点，求 k 的最大值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，讨论当 a0 时， f（ x） 0， f（ x）无极值；当 a 0 时，由 f（ x） =0，得 ex=a， x=得单调区间，可得 f（ x）在 x=取到极小值，且极小值为 f（ =极大值； （ 2）令 g（ x） =f（ x）（ 1） =（ 1 k） x+ ，则直线 l： y=1 与曲线 y=f（ x）没有公共点 方程 g（ x） =0 在 R 上没有实数解，分 k 1 与 k1 讨论即可得答案 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =x 1+ ，可得导数 f（ x） =1 ， 当 a0 时， f（ x） 0， 第 16 页（共 19 页） f（ x）为（ ， +）上的增函数，则 f（ x）无极值； 当 a 0 时，由 f（ x） =0，得 ex=a，即 x= x（ ， f（ x） 0， x（ +）， f（ x） 0， 即有 f（ x）在 （ ， 单调递减，在（ +）上单调递增， 故 f（ x）在 x=取到极小值，且极小值为 f（ =极大值 综上，当 a0 时， f（ x）无极值； 当 a 0 时， f（ x）在 x=取到极小值 极大值； （ 2）当 a=1 时， f（ x） =x 1+ ， 令 g（ x） =f（ x）（ 1） =（ 1 k） x+ ， 则直线 l： y=1 与曲线 y=f（ x）没有公共点， 等价于方程 g（ x） =0 在 R 上没有实数解 假设 k 1，此时 g（ 0） =1 0， g（ ） = 1+ 0， 又函数 g（ x）的图象连 续不断，由零点存在定理可知 g（ x） =0 在 R 上至少有一解， 与 “方程 g（ x） =0 在 R 上没有实数解 ”矛盾，故 k1 又 k=1 时， g（ x） = 0，知方程 g（ x） =0 在 R 上没有实数解， 所以 k 的最大值为 1 四 考试在第 22、 23、 24三道题任选一题作答） 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， 角平分线， 外接圆交 点 E， ）求证： （ ）当 ， 时，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）连接 明 用 合角平分线性质，即可证明 （ ）根据割线定理得 A=C，从而可求 长 【解答】 （ ）证明：连接 圆内接四边形， 又 有 ， 又 平分线， E， （ ）解：由条件知 ，设 AD=t， 第 17 页（共 19 页） 则 t， t+6， 根据割线定理得 A=C， 即（ 6 t） 6=2t（ 2t+6），即 2t 18=0， 解得 或 6（舍去），则