北京市顺义区2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 出符合题目要求的一项 . 1已知集合 A=x|2x+1 0， B=x| 1 x 0，那么 AB=（ ） A B x|x 0 C D 2下列函数中为奇函数的是（ ） A y=x y=x y=ln|x| D y=2x 1 3某学校共有师生 4000 人现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 200 的样本，调查师生对学校食堂就餐问题的建议已知从学生中抽取的人数为 190 人，那么该校的教师人数为（ ） A 100 人 B 150 人 C 200 人 D 250 人 4若 x， y 满足约束条件 ，则 z= 2x+y 的最大值为（ ） A 1 B C 2 D 3 5已知某三棱锥的三视图尺寸（单位 图，则这个三棱锥的体积是（ ） A B C D 6对于非零向量 ， “ ”是 “ ”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 7如图程序框图中，当 nN*（ n 1）时，函数 x）表示函数 1（ x）的导函数，即 x） =fn 1（ x）若输入函数 x） =输出的函数 x）为（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 8设函数 f（ x） =|2x 1|， c b a，且 f（ c） f（ a） f（ b），则 2a+2c 与2 的大小关系是（ ） A 2a+2c 2 B 2a+2c2 C 2a+2c2 D 2a+2c 2 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9若（ 1+i） i= 1+xR），则 x= 10 三个数中最大的数是 11已知函数 f（ x） = ，则 f（ 2） +f（ 2） = 12在 ，若 ，那么 13过椭圆 的焦点垂直于 x 轴的弦长为 a则双曲线的离心率为 14某辆汽车购买时的费用是 10 万元，每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为 2 万元，年维修保养费用第一年 元，以后逐年递增 元设这辆汽车使用 n（ nN*）年的年平均费用为 f（ n） . 则 f（ n）与 n 的函数关系式 f（ n） = ；这辆汽车报废的最佳年限约为 年 三、解答题共 6 小题，共 80 分 算步骤或证明过程 . 15已知函数 第 3 页（共 16 页） （ ）求 的值； （ ）求函数 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 16已知数列 足 ， 1=3（ nN*） （ 1）求证：数列 是等比数列； （ 2）求数列 通项公式 前 n 项和 17某中学一名高三数学教师，对其所教的文科班 50 名同学的一次数学成绩进行了统计，全年级文科数学平均分是 100 分，这个班数学成绩的频率分布直方图如图：（总分 150 分） （ ） 试估算这个班的数学平均分是否超过年级文科数学平均分？ （ ）从这个班中任取 1 人，其数学成绩达到或超过年级文科平均分的概率是多少？ 18如图 平面 矩形， B=1， ，点 F 是 中点，点 E 是 上的任意一点 （ ）求三棱锥 E 体积； （ ）当 E 是 中点时，试判断 平面 位置关系，并说明理由； （ ）证明： 19已知椭圆 E： （ a b 0）的一个顶点 ，离心率 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设动直线 l： y=kx+m 与椭圆 E 相切于点 P，且与直线 x=4 相交于点 Q求证：以 直径的圆过定点 N（ 1， 0） 20已知函数 f（ x） = （ ）若 m=2，求曲线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x）在 1， e上的最大值； （ ） 若 f（ x） +m0 在 x（ 0， +）上恒成立，求实数 m 的值 第 4 页（共 16 页） 2015年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 出符合题目要求的一项 . 1已知集合 A=x|2x+1 0， B=x| 1 x 0，那么 AB=（ ） A B x|x 0 C D 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： A=x|2x+1 0=x|x ， B=x| 1 x 0， AB=x| 1 x ， 故选： A 2下列函数中为奇函数的是（ ） A y=x y=x y=ln|x| D y=2x 1 【考点】 函数奇偶性的判断 【分析】 根据奇函数、 偶函数的定义及奇函数图象的对称性即可判断每个选项的函数的奇偶性，从而找出正确选项 【解答】 解： A定义域为 R，且 x） = 该函数为偶函数； B定义域为 R，且 x） = 该函数为奇函数； C定义域为 x|x0，且 x|=ln|x|； 该函数为偶函数； D y=2x 1 的图象不关于原点对称，不是奇函数 故选： B 3某学校共有师生 4000 人现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 200 的样本，调查师生对学校食堂就餐问题的建议 已知从学生中抽取的人数为 190 人，那么该校的教师人数为（ ） A 100 人 B 150 人 C 200 人 D 250 人 【考点】 分层抽样方法 【分析】 利用分层抽样方法求解 【解答】 解：设教师人数为 x 人， 由题意知： = ， 解得 x=200 第 5 页（共 16 页） 故选： C 4若 x， y 满足约束条件 ，则 z= 2x+y 的最大值为（ ） A 1 B C 2 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象求出 z 的最大值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ 1， 0）， 由 z= 2x+y 得： y=2x+z， 显然直线过 A（ 1， 0）时， z 最大， z 的最大值是 2， 故选： C 5已知某三棱锥的三视图尺寸（单位 图，则这 个三棱锥的体积是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 第 6 页（共 16 页） 【分析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视 图为底面的三棱锥， 其底面面积 S= 22=2 高 h=2 故几何体的体积 V= 故选： B 6对于非零向量 ， “ ”是 “ ”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 利用向量共线定理、简易逻辑的判定方法即可得出 【解答】 解：对于非零向量 ，由 “ ” “ ”； 反之不成立，可能 ， 因此 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 故选： A 7如图程序框图中，当 nN*（ n 1）时，函数 x）表示函数 1（ x）的导函数，即 x） =fn 1（ x）若输入函数 x） =输出的函数 x）为（ ） A B C D 【考点】 程序框图；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出函数 x），模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 第 7 页（共 16 页） 【解答】 解： 函数 x） =x） =fn 1（ x） 第 1 次执行循环体后， x） = n=3，不满足退出循环的条件； 第 2 次执行循环体后， x） = n=4，不满足退出循环的条件； 第 3 次执行循环体后， x） =n=5，不满足退出循环的条件； 第 4 次执行循环体后， x） =n=6，不满足退出循环的条件； 第 5 次执行循环 体后， x） = n=7，不满足退出循环的条件； 第 2014 次执行循环体后， x） = n=2016，不满足退出循环的条件； 第 2015 次执行循环体后， x） =n=2017，不满足退出循环的条件； 故输出的函数为： x） =， 故选： C 8设函数 f（ x） =|2x 1|， c b a，且 f（ c） f（ a） f（ b），则 2a+2c 与2 的大小关 系是（ ） A 2a+2c 2 B 2a+2c2 C 2a+2c2 D 2a+2c 2 【考点】 指数函数的图象变换 【分析】 运用分段函数的形式写出 f（ x）的解析式，作出 f（ x） =|2x 1|的图象，由题意可得 c 0， a 0， 2c 1 且 2a 1，且 f（ c） f（ a） 0，去掉绝对值，化简即可得到结论 【解答】 解： f（ x） =|2x 1|= ， 作出 f（ x） =|2x 1|的图象如图所示， 由图可知，要使 c b a 且 f（ c） f（ a） f（ b）成立， 则有 c 0 且 a 0， 故必有 2c 1 且 2a 1， 又 f（ c） f（ a） 0，即为 1 2c（ 2a 1） 0， 2a+2c 2 故选： D 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9若（ 1+i） i= 1+xR），则 x= 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简左边，再由复数相等的条件得答案 第 8 页（共 16 页） 【解答】 解：由（ 1+i） i= 1+ 1+i= 1+ x=1 故答案为： 1 10 三个数中最大的数是 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数与指数函数的性质比较三个数与 0 或 1 的大小得答案 【解答】 解： 3 2 30=1， ， ， 三个数中最大的数是 故答案为： 11已知函数 f（ x） = ，则 f（ 2） +f（ 2） = 4 【考点】 函数的值；分段函数的应用 【分析】 根据已知中函数 f（ x） = ，将 x=2 代入可得答案 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 2） =4， f（ 2） =f（ 1） =f（ 0） =0 f（ 2） +f（ 2） =4， 故答案为： 4 12在 ，若 ，那么 6 【考点】 余弦定理 【分析】 直接利用余弦定理即可求值得解 【解答】 解： ， = =6 故答案为： 6 第 9 页（共 16 页） 13过椭圆 的焦点垂直于 x 轴的弦长为 a则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 令 x= ，代入椭圆方程，求得弦长，即为 b= a，再由双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：令 x= ，代入椭圆方程可得： y=b = ， 由题意可得 =a，即有： b= a， 可得双曲线 的离心率为： e= = 故答案为： 14某辆汽车购买时的费用是 10 万元，每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为 2 万元，年维修保养费用第一年 元，以后逐年递增 元设这辆汽车使用 n（ nN*）年的年平均费用为 f（ n） . 则 f（ n）与 n 的函数关系式 f（ n） = ；这辆汽车报废的最佳年限约为 10 年 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 根据条件可以看出年维修保养费用构成以 首项， 公差的等差数列，由等差数列的前 n 项和公式即可求出 n 年的维修保养费用，而 速公路费、汽油费等为 2n 万元，从而可以得出这辆汽车使用 而可以得出 ， nN*，而根据基本不等式即可求出 n=10 时， f（ n）取最小值，即得出这辆汽车报废的最佳年限约为 10 年 【解答】 解：根据题意，年维修保养费用构成以 首项， 公差的等差数列； 第 10 页（共 16 页） n 年的维修保养费用为 ； = = ； 即 ， nN*； ； f（ n） 4，当 ，即 n=10 时取 “=”； 这辆汽车报废的最佳年限约为 10 年 故答案为： ， 10 三、解答题共 6 小题，共 80 分 算步骤或证明过程 . 15已知函数 （ ）求 的值； （ ）求函数 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） =x ），代入 x= ，即可计算求值 （ ）由 x ，可求 x ，利用正弦函数的性质即可得解 f（ x）在区间 上的最 大值和最小值 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ ） 由已知 = + ， = x ） ， f（ ） = ） = （ ） x ， x ， 当 x = ，即 x= 时， x） = ， 当 x = ，即 x= 时， fm x） =1 第 11 页（共 16 页） 16已知数列 足 ， 1=3（ nN*） （ 1）求证：数列 是等比数列； （ 2）求数列 通项公式 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ 1）由 1=3（ nN*），变形为 1+1=3（ ），即可证明； （ 2）利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 （ 1）证明： ， 1=3（ nN*）， 1+1=3（ ）， 数列 是等比数 列，首项为 3，公比为 3 （ 2）解：由（ 1）可得： =3n，解得 n 1 n= n 17某中学一名高三数学教师，对其所教的文科班 50 名同学的一次数学成绩进行了统计，全年级文科数学平均分是 100 分，这个班数学成绩的频率分布直方图如图：（总分 150 分） （ ）试估算这个班的数学平均分是否超过年级文科数学平均分？ （ ）从这个班中任取 1 人，其数学成绩达到或超过年级文科平均分的概率是多少？ 【考点】 众数、中位数、平均数；频率分布直方图 【分析】 （ ）根据平均数的定义即可求出， （ ）求出此班在 100， 110）， 110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140，150）分数段的共有 33 人，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ ） 80， 90）人数为 050=4， 90， 100）人数为 050=13， 100， 110）人数为 050=19， 110， 120）人数为 050=7， 130， 140）人数为 050=2， 其中 120， 130）人数为 50（ 4+13+19+7+2） =5， 由频率分布表知这个班的数学平均分至少是 （ 804+9013+10019+1107+1205+1302） 100%= 这个班的数学平均分超过年级平均分 （ ）此班在 100， 110）， 110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150）分数段的共有 19+7+2+5=33， 第 12 页（共 16 页） 所求概率 P= = 18如图 平面 矩形， B=1， ，点 F 是 中点，点 E 是 上的任意一点 （ ）求三棱锥 E 体积； （ ）当 E 是 中点时，试判断 平面 位置关系，并说明理由； （ ）证明： 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体 积；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 （ I）根据棱锥的体积公式计算； （ 三角形中位线定理即可证明 而 平面 （ 三线合一可得 平面 平面 而由 是 平面 出 【解答】 解：（ ） 平面 面 矩形， P = （ ） 平面 证明： E 为 中点， F 是 中点， 面 面 平面 （ ） B， F 是 中点， 底面 面 面 面 B=A， 平面 面 又 面 面 C=B， 平面 面 19已知椭圆 E： （ a b 0）的一个顶点 ，离心率 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设动直线 l： y=kx+m 与椭圆 E 相切于点 P，且与直线 x=4 相交于点 Q求证：以 直径的圆过定点 N（ 1， 0） 【考点】 椭圆的简单性质 第 13 页（共 16 页） 【分析】 （ ）由已知可得 ，从而求椭圆方程； （ ）联 立方程消元，从而可得（ 3+412=0，从而可得，故 m0；从而解出 P（ ， ），再解出 Q（ 4， 4k+m）；证明 =0 即可 【解答】 解：（ ）由已知可得 ， 故 ， 故所求椭圆方程为 + =1； （ ）证明：联立方程 + =1 与 y=kx+m 消元得， （ 3+412=0， 曲线 E 与直线只有一个公共点， =0，化简可得， ，故 m0； 设 P（ 故 = ， yP=m= ； 故 P（ ， ）， 又由 ， Q（ 4， 4k+m）； N（ 1， 0）， =（ 1+ ， ）， =（ 3， 4k+m）； =3+ 3=0， ， 以 直径的圆过定点 N（ 1， 0） 20已知函数 f（ x） = （ ）若 m=2，求曲线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x）在 1， e上的最大值； 第 14 页（共 16 页） （ ）若 f（ x） +m0 在 x（ 0， +）上恒成立，求实数 m 的值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，再由已知切线方程即可得到 m； （ ）求出导数，讨论 m 的范围，当 m0 时，当 m 0 时，令导数大于 0，得增区间，令导数小于 0，得减区间，从而求出函数的最大 值即可； （ ）设 g（ x） =