茂名市信宜市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年广东省茂名市信宜市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1命题： “若 1，则 x 1 或 x 1”的逆否命题是（ ） A若 1，则 1 x 1 B若 1 x 1，则 1 C若 1 x 1，则 1 D若 x 1 或 x 1，则 1 2在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 2） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 3双曲线 =1 的焦距是（ ） A 4 B 2 C 6 D与 m 有关 4在空间，下列命题错误的是（ ） A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 B一个平面与两个平行平面相交，交线平行 C平行于同一平面的两个平面平行 D平行于同一直线的两个平面平行 5设 p： x 3， q： 1 x 3，则 p 是 q 成立的（ ） A充分必要条件 B充分 不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6曲线 y= 在点（ 1， 0）处的切线方程为（ ） A 3x+y+3=0 B 3x y+3=0 C 3x y=0 D 3x y 3=0 7已知：命题 p： x R，总有 |x| 0；命题 q： x=1 是方程 x2+x+1=0 的根，则下列命题为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 8一个长方体的长、宽、高分别为 2、 1、 1，其顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A 3 B 6 C 12 D 24 9直线 l： 2x y+2=0 过椭圆左焦点 一个顶点 B，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 10已知圆心为点 C（ 4， 7），并且在直线 3x 4y+1=0 上截得的弦长为 8 的圆的方程为（ ） A（ x 4） 2+（ y 7） 2=5 B（ x 4） 2+（ y 7） 2=25C （ x 7） 2+（ y 4） 2=5 D（ x7） 2+（ y 4） 2=25 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 18 页） A 2 B C 4 D 12若函数 f（ x） =区间（ 1， +）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B（ ， 1 C 2， +） D 1， +） 二、填空题：本大 题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13设 f（ x） = f（ =2，则 14若圆 x2+x 4y=0 关于直线 3x+y+m=0 对称，则实数 m= 15已知抛物线 C： y 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 抛物线 =4 ，则 | 16从 1=1， 1 4=（ 1+2）， 1 4+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，推广到第 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 a， b， c 分别是 内角 A， B， C 的对边， （ 1）若 a=b，求 值； （ 2）若 B=60， 面积为 4 ，求 b 的值 18某市举办校园足球赛，组委会为了做好服务工作，招募了 12 名男志愿者和 10 名女志愿者，调查发现男女志愿者中分别有 8 人 和 4 人喜欢看足球比赛，其余不喜欢 （ 1）根据以上数据完成以下 2 2 列联表： 喜欢看足球比赛 不喜欢看足球比赛 总计 男 女 总计 （ 2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 前提下认为性别与喜欢看足球比赛有关？ （ 3）在志愿者中，有两男两女能做播音员工作，恰有一男一女播音的概率是多少？ 附：参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 参考数据： P（ 3 页（共 18 页） 19在四棱锥 P ， ， C= ， ， 平面 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱锥 P 体积 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，右焦点到直线 y=x 的距离为 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）已知点 M 的坐标为（ 2， 1），斜率为 的直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A， B，设直线 斜率为 证： k1+定值 21设函数 ，若 f（ x）在 处取得极值 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）存在 使得不等式 f（ c 0 成立，求 c 的最小值 请考生从第 22,23,24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， 顶点都在圆 O 上，点 P 在 延长线上，且 圆 O 切于点 A （ 1）若 0，求 度数； （ 2）若 = ，求 的值 选修 4标系与参数方程 第 4 页（共 18 页） 23在极坐标系中，圆 C 的方程为 =2a 0），以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） （ ）求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程； （ ）若直线 l 与圆 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 3| |x a| （ 1）当 a=2 时，解不等式 f（ x） ； （ 2）若存在实数 x，使得不等式 f（ x） a 成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2015年广东省茂名市信宜市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1命题： “若 1，则 x 1 或 x 1”的逆否命题是（ ） A若 1，则 1 x 1 B若 1 x 1，则 1 C若 1 x 1，则 1 D若 x 1 或 x 1，则 1 【考点】 四种命题 【分析】 根据逆否命题的定义进行判断即可 【解答】 解：命题的逆否命题为：若 1 x 1，则 1， 故选： B 2在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 2） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算分钟化简复数为： a+形式，即可得答案 【解答】 解： 复数 = = =2+i 复数 在复平面内对应的点的坐标为（ 2， 1） 故选： A 3双曲线 =1 的焦距是（ ） A 4 B 2 C 6 D与 m 有关 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的 a， b，由 c2=a2+得 c，即可得到双曲线的焦距 2c 【解答】 解：由双曲线 =1，可得 4 0， 即有 + 可得 c2=a2+，解得 c=3， 即有双曲线的焦距为 2c=6 故选： C 4在空间，下列命题错误的 是（ ） A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 第 6 页（共 18 页） B一个平面与两个平行平面相交，交线平行 C平行于同一平面的两个平面平行 D平行于同一直线的两个平面平行 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据面面平行的性质可判断 A；根据面面平行的性质定理可判断 B；根据面面平行的性质可判断 C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断 D 【解答】 解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故 A 正确； 根据面面平行的性质定理可得：一个平面 与两个平行平面相交，交线平行，故 B 正确； 根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故 C 正确； 平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故 D 错误； 故选： D 5设 p： x 3， q： 1 x 3，则 p 是 q 成立的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 判断必要条件与充分条件，推出结果即可 【解答】 解：设 p： x 3， q： 1 x 3，则 p 成立，不一定有 q 成立，但是 q 成立，必有p 成立， 所以 p 是 q 成立的必要不充分条件 故选： C 6曲线 y= 在点（ 1， 0）处的切线方程为（ ） A 3x+y+3=0 B 3x y+3=0 C 3x y=0 D 3x y 3=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出函数 y= 的导函数，然后求出在 x=1 处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可 【解答】 解： y=3x2 y|x=1=3，切点为（ 1， 0） 曲线 y= 在点（ 1， 0）切线方程为 y 0=3x（ 1） ， 即 3x y+3=0 故选 B 7已知：命题 p： x R，总有 |x| 0；命题 q： x=1 是方程 x2+x+1=0 的根，则下列命题为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别判断命题 p， q 的真假，结合复合命题之间的关系进行判断即可 【解答】 解：命题 p： x R，总有 |x| 0 为真命题， 命题 q： x=1 是方程 x2+x+1=0 的根为假命题，（ 1+1+1=3 0）， 故 q 为真命题， 则 p q 为真命题 故选： A 第 7 页（共 18 页） 8一个长方体的长、宽、高分别为 2、 1、 1，其顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A 3 B 6 C 12 D 24 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积 【解答】 解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以 2r= = ， 所以这个球的表面积： 4 故选 B 9直线 l： 2x y+2=0 过椭圆左焦点 一个顶点 B，则该椭圆的离心 率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 分别令直线方程中 y=0 和 x=0，进而求得 b 和 c，进而根据 b， c 和 a 的关系求得 a，则椭圆的离心率可得 【解答】 解： 直线 l： 2x y+2=0 中，令 x=0，得 y=2；令 y=0，得 x= 1， 直线 l： 2x y+2=0 过椭 圆左焦点 一个顶点 B， 椭圆左焦点 1， 0），顶点 B（ 0， 2）， c=1， b=2， a= = ， 该椭圆的离心率为 e= = = 故选： C 10已知圆心为点 C（ 4， 7），并且在直线 3x 4y+1=0 上截得的弦长为 8 的圆 的方程为（ ） A（ x 4） 2+（ y 7） 2=5 B（ x 4） 2+（ y 7） 2=25C（ x 7） 2+（ y 4） 2=5 D（ x7） 2+（ y 4） 2=25 【考点】 圆的标准方程 【分析】 求出圆心到直线的距离，可得圆的半径，即可求出圆的方程 【解答】 解：圆心到直线的距离为 d= =3， 在直线 3x 4y+1=0 上截得的弦长为 8， 圆的半径 r= =5， 圆的方程为（ x 4） 2+（ y 7） 2=25 故选： B 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 8 页（共 18 页） A 2 B C 4 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形，高为 1 的四棱锥，求出它的体积即可 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面为边长等于 2 的正方形，高为 1 的四棱锥； 所以该几何 体的体积为 V= 22 1= 故选： D 12若函数 f（ x） =区间（ 1， +）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B（ ， 1 C 2， +） D 1， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 f（ x） =k ，由于函数 f（ x） =区间（ 1， +）单调递增，可得 f（ x） 0 在区间（ 1， +）上恒成立解出即可 【解答】 解： f（ x） =k ， 函数 f（ x） =区间（ 1， +）单调递增， f（ x） 0 在区间（ 1， +）上恒成立 ， 而 y= 在区间（ 1， +）上单调递减， k 1 k 的取值范围是 1， +） 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13设 f（ x） = f（ =2，则 e 【考点】 导数的运算 第 9 页（共 18 页） 【分析】 先根据乘积函数的导数公式求出函数 f（ x）的导数，然后将 入建立方程，解之即可 【解答】 解： f（ x） = f（ x） = 则 f（ =2 解得： x0=e 故答案为： e 14若圆 x2+x 4y=0 关于直线 3x+y+m=0 对称，则实数 m= 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据题意，直线 3x+y+m=0 过圆心 C，求出圆心代入直线方程，即可求出 m 的值 【解答 】 解：圆 C： x2+x 4y=0 化为标准方程是 （ x+1） 2+（ y 2） 2=5； 圆心 C（ 1， 2），半径 r= ； 又圆关于直线 3x+y+m=0 对称， 所以直线过圆心， 即 3 （ 1） +2+m=0， 解得 m=1 故答案为： 1 15已知抛物线 C： y 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 抛物线 =4 ，则 | 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出 P， Q 的坐标，得到向量 坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得 【解答】 解：抛物线 C： y 的焦点为 F（ 0， 1），准线为 l： y= 1， 设 P（ a， 1）， Q（ m， ）， 则 =（ a， 2）， =（ m， +1）， =4 ， ，解得 ， 由抛物线的定义可得 | = = 故选： 第 10 页（共 18 页） 16从 1=1， 1 4=（ 1+2）， 1 4+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，推广到第 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 【考点】 归纳推理 【分析】 本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由 1=1， 1 4=（ 1+2）， 14+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案 【解答】 解： 1=1=（ 1） 1+11 1 4=（ 1+2） =（ 1） 2+1（ 1+2） 1 4+9=1+2+3=（ 1） 3+1（ 1+2+3） 1 4+9 16=（ 1+2+3+4） =（ 1） 4+1（ 1+2+3+4） 所以猜想： 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 故答案为： 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 a， b， c 分别是 内角 A， B， C 的对边， （ 1）若 a=b，求 值； （ 2）若 B=60， 面积为 4 ，求 b 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由已知及正弦定理可得： a=b，即可用 c 表示 a， b，利用余弦定理可求 值 （ 2）由已知及三角形面积公式可解得 6，结合（ 1）可求得 2，从而可求 b 的值 【解答】 解：（ 1）由已知及正弦定理可得： 2 分 又 a=b，可得： b=2c， a=2c， 4 分 由余弦定理可得： = = 7 分 （ 2） 由已知可得 S ，即： 4 ， 8 分 4 ，解得： 6， 10 分 又 由（ 1）得： 2， 11 分 解得： b=4 12 分 18某市举办校园足球赛，组委会为了做好服务工作，招募了 12 名男志愿者和 10 名女志愿者，调查发现男女志愿者中分别有 8 人和 4 人喜欢看足球比赛，其余不喜欢 （ 1）根据以上数据完成以下 2 2 列联表： 喜欢看足球比赛 不喜欢看足球比赛 总计 男 女 总计 第 11 页（共 18 页） （ 2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 前提下认为性别与喜欢看足球比赛有关？ （ 3）在志愿者中，有两男两女能做播音员工作，恰有一男一女播音的概率是多少？ 附：参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 参考数据： P（ 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）本题是一个简单的数字的运算，根据 a， b， c， d 的已知和未知的结果，做出空格处的结果 （ 2）由已知数据可求得观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到在犯错的概率不超过 前提下不能判断性别与喜欢看足球比赛有关 （ 3）求出基本事件的个数，即可求出恰有一男一女播音的概率 【解答】 解：（ 1） 2 2 列联表： 喜欢看足球比赛 不喜欢看足球比赛 总计 男 8 4 12 女 4 6 10 总计 12 10 22 （ 2） 此，在犯错的概率不超过 前提下不能认为性别与喜欢看足球比赛有关； （ 3）两男两女能做播音员工作，有 =6 种情况；恰有一男一女播音，有 =4 种情况； 恰有一男一女播音的概率是 P= = 19在四棱锥 P ， ， C= ， ， 平面 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱锥 P 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 第 12 页（共 18 页） 【分析】 （ 1）取 中点 E，连接 明四边形 平行四边行，可得 用线面平行的判定定理，即可证明 平面 （ 2）证明 平面 用 S 四边形 B，即可求四棱锥 P 【解答】 （ 1）证明：取 中点 E，连接 F 为 中点， 中位线， 即 又 F， 四边形 平行四边行， 又 面 面 平面 （ 2）解： 平面 面 平面 平面 ） 2+（ ） 2=4= 而平面 面 C， 平面 S 四 边形 B= （ 1+2） =1 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，右焦点到直线 y=x 的距离为 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）已知点 M 的坐标为（ 2， 1），斜率为 的直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A， B，设直线 斜率为 证： k1+定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）右焦点（ c， 0），则 = ，又 ， a2=b2+立解出即可得出 第 13 页（共 18 页） （ 2）设直线 l 的方程为： y= x+m，与椭圆方程联立可得： 4=0，设 A（ x1， B（ k1+ = ，分子 = + ，把根与系数的关系代入即可得出 【解答】 （ 1）解：右焦点（ c， 0），则 = ，又 ， a2=b2+ 联立解得 c= ， a=2 ， b=2 椭圆 E 的方程为 =1 （ 2）证明：设直线 l 的方程为： y= x+m，联立 ， 化为： 4=0，设 A（ B（ 则 x1+ 2m， 4又 ， k1+ = ， 分子 = + = m 2）（ x1+ 4（ m1） =24+（ m 2）（ 2m） 4（ m 1） =0， k1+，为定值 21设函数 ，若 f（ x）在 处取得极值 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）存在 使得不等式 f（ c 0 成立，求 c 的最小值 【考点】 函数在某点取得极值的条件；特称命题 【分析】 （ 1）由真数大于零求出函数的定义域，再求出函数的导数，由取得极值的必要条件得 ，列出方程组进行求解； （ 2）由 f（ c 0 成立，转化为 c f（ x） 由导数的符号确定函数在已知区间上的单调性，进而求出函数的极值，再求出区间端点处的函数值进行比较，求出函数 的最小值 【解答】 解：（ 1） ，定义域为（ 0， +）， 第 14 页（共 18 页） ， 处取得极值， 即 ，解得 ， 所求的 a， b 的值分别为 （ 在 存在 得不等式 f（ c 0 成立， 故只需 c f（ x） 由 = = f（ x）导数的符号如图所示 f（ x）在区间 ， 1， 2递减； 递增； f（ x）在区间 上的极小值是 而 ，且 ， 又 16 0， f（ x） f（ 2） ，即 c 的最小值是 请考生从第 22,23,24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， 顶点都在圆 O 上，点 P 在 延长线上，且 圆 O 切于点 A （ 1）若 0，求 度数； 第 15 页（共 18 页） （ 2）若 = ，求 的值 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）若 0，证明 80，即可求 度数； （ 2）证明 用切割线定理，结合 = ，求 的值 【 解答】 解：（ 1） 圆 O 切于点 A， 80， 0， 10； （ 2）由（ 1）得 ， ， ， 由切割线定理可得 B C= ， = = 选修 4标系与参数方程 23在极坐标系中，圆 C 的方程为 =2a 0），以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的