2016年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题 1设集合 A=x|x 3， B=x| 0则 AB=（ ） A B（ 3， 4） C（ 2， 1） D（ 4， +） 2若 z 为复数且 z（ 2 i） =3+i， i 为虚数单位，则 |z|=（ ） A 2 B C D 3已知 a， b， c， d 为实数，且 c d则 “a b”是 “a c b d”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4若双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 5如图所示的框图，若输入的 n 的值为 4，则输出的 S=（ ） A 3 B 4 C 1 D 0 6从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ） A 70 种 B 80 种 C 100 种 D 140 种 7已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺 寸（单位： 可得这个几何体的侧面积为（ ） 第 2 页（共 22 页） A 已知区域 D： ，则 x2+最小值是（ ） A 5 B 4 C D 2 9设函数，则 f（ x） =2x+ ） +2x+ ），则（ ） A y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 B y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 C y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 D y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 10 ，点 D 在边 ， 分 = ， = ， | |=1， | |=2，则 =（ ） A + B + C + D + 11若抛物线 p 0）的焦点为 F，点 A（ 3， 2）在抛物线开口内，点 P 为抛物线上一点，当 周长最小时， 面积为 1，则 |（ ） A 1 B C 2 D 12已知 e 为自然对数的底数，函数 f（ x） = ，则方程 f（ x） =有两个不同的实数解时，实数 a 的取值范围是（ ） A（ e， 4 B（ 4， +） C（ e， +） D（ ， 4） 第 3 页（共 22 页） 二、填空题 13在 ，若 A=60， B=45， ，则 14（ x+ 2） 5 的展开式中的常数项为 （用数字作答） 15直三棱柱 各顶点都在同一球面上 ，若 C=， 20，则此球的表面积等于 16已知函数 ，如果 f（ 1+a） +f（ 1 0，则 a 的取值范围是 三、解答题 17已知等差数列 ，首项 ，公差 d 为整数，且满足 列 足 ，其前 n 项和为 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）若 m N*）的等比中 项，求 m 的值 18如图，已知三棱柱 ，侧面 底面 面边长的侧棱长均为 2， （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 19在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人） 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 12 4 6 22 女同学 0 8 12 20 合计 12 12 18 42 （ ）在统计结果中，如果把几何证明选讲和坐标系与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下 2 2 列联表：（单位：人） 几何类 代数类 总计 男同学 16 6 22 女同学 8 12 20 总计 24 18 42 据此判断是否有 95%的把握认为选做 “几何类 ”或 “代数类 ”与性别有关？ （ ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出 7 名同学进行座谈已知学委王明和两名数学科代表 三人都在选做不等式选讲的同学中 第 4 页（共 22 页） 求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率； 记抽到数学科代表的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（ X） 下面临界值表仅供参考： P（ 考公式： 20在直角坐标系 ，动点 P 与定点 F（ 1， 0）的距离 和它到定直线 x=2 的距离之比是 （ ）求动点 P 的轨迹 的方程； （ ）设曲线 上的三点 A（ B（ 1， ）， C（ 点 F 的距离成等差数列，线段 垂直平分线与 x 轴的交点为 T，求直线 斜率 k 21已知函数 f（ x） = （ 1）若 a= 2 时， h（ x） =f（ x） g（ x）在其定义域内单调递增，求 b 的取值范围； （ 2）设函数 f（ x）的图象 函数 g（ x）的图象 于 P， Q 两点，过线段 中点R 作 x 轴的垂线分别交 点 M， N，问是否存在点 R，使 M 处的切线与 N 处的切线平行？若存在，求 R 的横坐标，若不存在，请说明理由 选修 4何证明选讲 22如图， 直角三角形， 0，以 直径的圆 O 交 点 E，点 C 边的中点，连接 圆 O 于点 M （ 1）求证： O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）求证： 2MM 选修 4标系与参数方程选讲 23在平面直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为（ ， ），直线 l 的极坐标方程为 ） =a，且点 A 在直线 l 上 （ 1）求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； （ 2）若圆 C 的参数方程为 （ 为参数），试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 第 5 页（共 22 页） 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =m |x 1| |x+1| （ I）当 m=5 时，求不等式 f（ x） 2 的解集； （ ）若二次函数 y=x+3 与函数 y=f（ x）的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2016 年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设集合 A=x|x 3， B=x| 0则 AB=（ ） A B（ 3， 4） C（ 2， 1） D（ 4， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用交集的定义和不等式的性质求解 【解答】 解： 集合 A=x|x 3， B=x| 0=x|1 x 4， AB=x|3 x 4 故选： B 2若 z 为复数且 z（ 2 i） =3+i， i 为虚数单位，则 |z|=（ ） A 2 B C D 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解： z（ 2 i） =3+i， z（ 2 i）（ 2+i） =（ 3+i）（ 2+i）， 5z=5+5i， z=1+i 则 |z|= 故选： B 3已知 a， b， c， d 为实数，且 c d则 “a b”是 “a c b d”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充 分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式 【分析】 由题意看命题 “a b”与命题 “a c b d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断 【解答】 解： a c b d， c d 两个同向不等式相加得 a b 但 c d， a ba c b d 例如 a=2， b=1， c= 1， d= 3 时， a c b d 故选 B 4若双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 第 7 页（共 22 页） 【分析】 由双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x，可得 a=2b，结合双曲线的 a， b，c 的关系和离心率公式计算即可得到 【解答】 解： 双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x， = ， a=2b， c= = b， e= = 故选： D 5如图所示的框图，若输入的 n 的值为 4，则输出的 S=（ ） A 3 B 4 C 1 D 0 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图知，每次进入循环体后， S 的值计算公式是 S=S+（ 1） k+1k，由此得出经过 4 次运算后输出的 S 值 【解答】 解：由程序框图知运算规则是计算 S 的值，当输入 n=4 时， 第一次进入循环体后 S=1+1=2， 第二次进入循环体后 S=2 2=0， 第三次进入循环体后 S=0+3=3， 第四次进入循环体后 S=3 4= 1， 此时 k=4，退出循环； 则输出 S 的值为： 1 故选： C 第 8 页（共 22 页） 6从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ） A 70 种 B 80 种 C 100 种 D 140 种 【考点】 分步乘法计数原理 【分析】 不同的组队方案：选 3 名医生组成一个 医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答 【解答】 解：直接法：一男两女，有 6=30 种， 两男一女，有 0 4=40 种，共计 70 种 间接法：任意选取 4 种，其中都是男医生有 0 种， 都是女医生有 种，于是符合条件的有 84 10 4=70 种 故选 A 7已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： 可得这个几何体的侧面积为（ ） A 考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知，得到几何体是半个圆锥，由图形数据，得到底面半径以及高，计算侧面积即可 【解答】 解：由题意，几何体是底面半径为 10为 20半个圆锥，母线长为 ， 所以其侧面积为 = 故选 C 8已知区域 D： ，则 x2+最小值是（ ） A 5 B 4 C D 2 【考点】 简单线性规划 第 9 页（共 22 页） 【分析】 画出满足条件的平面区域，结合 x2+几何意义求出其最小值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 根据 x2+几何意义，显然 平方最小，而 A（ 0， 2）， x2+最小值是 4， 故答案为： B 9设函 数，则 f（ x） =2x+ ） +2x+ ），则（ ） A y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 B y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 C y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 D y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 【考点】 正弦函数的对称性；正弦函数的单调性 【分析】 利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数 f（ x） =2x+ ） +2x+ ），然后求出对称轴方程，判断 y=f（ x）在（ 0， ）单调性，即可得到答案 【解答】 解：因为 f（ x） =2x+ ） +2x+ ） = 2x+ ） = 于 y=对称轴为 x=k Z），所以 y= 对称轴方程是： x= （ k Z），所以 A， C 错误； y= 单调递减区间为 22x +2k Z），即（ k Z），函数 y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，所以 B 错误， D 正确 故选 D 10 ，点 D 在边 ， 分 = ， = ， | |=1， | |=2，则 =（ ） 第 10 页（共 22 页） A + B + C + D + 【考点】 向量加减混合运算及其几何意义 【分析】 由 ，点 D 在边 ， 分 据三角形内角平分线定理，我们易得到 ，我们将 后，将各向量用 ， 表示，即可得到答案 【解答】 解： 角平分线， ， ， ， 故选 B 11若抛物线 p 0）的焦点为 F，点 A（ 3， 2）在抛物线开口内，点 P 为抛物线上一点，当 周长最小时， 面积为 1，则 |（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知 |而把问题转化为求 |得最小，推断出当 D， P， A 三点共线时 |小，利用 面积为 1，求出 P 的坐标，答案可得 【解答】 解：设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知 | 周长最小， |得最小值，即求 |得最小 当 D， P， A 三点共线时 |小， 设 P（ x， 2），则 面积为 1， =1， x=2， P（ 2， 2） 代入抛物线的方程可得 p=1， |2+ = 故选： D 12已知 e 为自然对数的底数，函数 f（ x） = ，则方程 f（ x） =有两个不同的实数解时，实数 a 的取值范围是（ ） 第 11 页（共 22 页） A（ e， 4 B（ 4， +） C（ e， +） D（ ， 4） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 作出函数 f（ x）的图象，利用数形结合结合导数求出函数的切线斜率，即可得到结论 【解答】 解：作出函数 f（ x）的图象如图， 设 y= f（ x） = x 0 相切时，设切点为 P（ m， n）， 则函数的导数 f（ x） = 则在 P（ m， n）处的切线斜率 k=f（ m） = 则切线方程为 y n=x m）， 即 y= 当 x=0， y=0 时， ， 即 1 m=0， m=1，此时切线斜率 k=f（ m） =e， e 4， 当 a=e 时，直线 y= f（ x）只有一个交点， 当 a e 时，在 x 0 上， f（ x）与 y=两个交点， 当 a=4 时， y= y=4x 4，平时，此时 f（ x）与 y=两个交点， 当 a 4 时，此时 f（ x）与 y= 3 个交点， 综上若 f（ x） =有两个不同的实数解时， 则 e a 4， 故选： A 二、填空题 13在 ，若 A=60， B=45， ，则 2 【考点】 正弦定理 【分析】 由 A 与 B 的度数分别求出 值，再由 长，利用正弦定理即可求出 长 【解答】 解： A=60， B=45， ， 第 12 页（共 22 页） 由正弦定理 = 得： = =2 故答案为： 2 14（ x+ 2） 5 的展开式中的常数项为 252 （用数字作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【解答】 解：（ x+ 2） 5= = 的展开式中，分子中含 项为（ 1） 5 故展开式的常数项为 （ 1） 5= 252， 故答案为： 252 15直三棱柱 各顶点都在同一球面上，若 C=， 20，则此球的表面积等于 20 【考点】 球内接多面 体 【分析】 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 O，球心为 O，在 ，求出球的半径，然后求出球的表面积 【解答】 解：在 C=2， 20， 可得 由正弦定理，可得 接圆半径 r=2， 设此圆圆心为 O，球心为 O，在 ， 易得球半径 ， 故此球的表面积为 40 故答案为： 20 第 13 页（共 22 页） 16已知函数 ，如果 f（ 1+a） +f（ 1 0，则 a 的取值范围是 a|a 1 或 a 2 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 由题意可得函数 f（ x）为奇函数， f（ x）在 R 上单调递增故由条件可得 f（ 1+a） f（ 1），故 1+a 1，由此求得 a 的范围 【解答】 解：函数 ， f（ x） = x+ ） x= x+ ） x= f（ x）， 故函数 f（ x）为奇函数，且函数 f（ x）在 0， +）上单调递增，故 f（ x）在 R 上单调递增 如果 f（ 1+a） +f（ 1 0，则 f（ 1+a） f（ 1）， 1+a 1， 求得 a 1 或 a 2， 故答案为： a|a 1 或 a 2 三、解答题 17已知等差数列 ，首项 ，公差 d 为整数，且满足 列 足 ，其前 n 项和为 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）若 m N*）的等比中项，求 m 的值 【考点】 数列的应用；数列递推式 【分析】 （ 1）由题意，得 ，由此可解得 +（ n 1） 2=2n 1 （ 2）由 = ，知= 由此可求出m 的值 【解答】 解：（ 1）由题意，得 解得 d 又 d Z， d=2 +（ n 1） 2=2n 1 （ 2） = ， = ， ， ， m N*）的等比中项， ， 解得 m=12 第 14 页（共 22 页） 18如图，已知三棱柱 ，侧面 底面 面边长的侧棱长均为 2， （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ I）取 中点 O， 出 明 侧面 到后证明 可证明 平面 （ O 为原点，建立如图所示的坐标系，求出相关点的坐标，求出平面 一个法向量，设 平 面 成的角为 ，利用向量的数量积求解即可 【解答】 （ I）证明：取 中点 O， 为 等边三角形，所以 C 因为侧面 底面 面 面 C， 所以 侧面 面 在 ， 因为 ，所以 ， ，所以 所以 直角三角形，所以 又 O=O，所以 平面 面 以 因为四边形 菱形，所以 因为 C=A，所以 平面 （ ：由（ I）知，可以 O 为原点，建立如图所示的坐标系，由题设条件知， 所以 第 15 页（共 22 页） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 所以 解得 令 z=1，则 设 平面 成的角为 ， 则 =| |= 19在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人） 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 12 4 6 22 女同学 0 8 12 20 合计 12 12 18 42 （ ）在统计结果中，如果把几何证明选讲和坐标系与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下 2 2 列联表：（单位：人） 几何类 代数 类 总计 男同学 16 6 22 女同学 8 12 20 总计 24 18 42 据此判断是否有 95%的把握认为选做 “几何类 ”或 “代数类 ”与性别有关？ （ ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出 7 名同学进行座谈已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做不等式选讲的同学中 求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率； 记抽到数学科代表的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（ X） 下面临界值表仅供参考： P（ 考公式： 【考点】 线性回归方程；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数 （ 2） 令事件 A 为 “这名学委被抽取到 ”；事件 B 为 “两名数学科代表被抽到 ”，利用条件概率求得两名数学科代表也被选中的概率，或利用古典概型概率公式求解； 记抽取到数学科代表的人数为 X，由题 X 的可能值有 0， 1， 2依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可 第 16 页（共 22 页） 【解答】 解：（ ）由表中数据得 观测值 k= = 所以，据此统计有 95%的把握认为选做 “几何类 ”或 “代数类 ”与性别有关 （ ）由题可知在 “不等式选讲 ”的 18 位同学中，要选取 3 位同 学 方法一：令事件 A 为 “这名班级学委被抽到 ”；事件 B 为 “两名数学科代表被抽到 ”，则 P（ AB） = ， P（ A） = 所以 P（ B|A） = = = = 方法二：令事件 C 为 “在这名学委 被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到 ”， 则 P（ C） = = = 由题知 X 的可能值为 0， 1， 2 依题意 P（ X=0） = = ； P（ X=1） = = ； P（ X=2） = = 从而 X 的分布列为 X 0 1 2 P 于是 E（ X） =0 +1 +2 = = 20在直角坐标系 ，动点 P 与定点 F（ 1， 0）的距离和它到定直线 x=2 的距离之比是 （ ）求动点 P 的轨迹 的方程； （ ）设曲线 上的三点 A（ B（ 1， ）， C（ 点 F 的距离成等差数列，线段 垂直平分线与 x 轴的交点为 T，求直线 斜率 k 【考点】 轨迹方程；等差数列的通项公式 【分析】 （ ）由已知，得 = ，由此能求出动点 P 的轨迹 方程和轨迹是什么图形 第 17 页（共 22 页） （ ）由已知可得 | （ 2 | （ 2 1）， | （ 2 为2|所以 x1+，故线段 中点为（ 1， ），其垂直平分线方程为 y = （ x 1），由此能求出直线 斜率 【解答】 解：（ ）由已知，得 = 两边平方，化简 得 故轨迹 的方程是 （ ）由已知可得 | （ 2 | （ 2 1）， | （ 2 因为 2|所以 （ 2 + （ 2 =2 （ 2 1）， 即得 x1+， 故线段 中点为（ 1， ）， 其垂直平分线方程为 y = （ x 1）， 因为 A， C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把 代入化简得： =y1+ 把 代入 ，令 y=0 得， x= 点 T 的坐标为（ 0） 直线 斜率 k= = 21已知函数 f（ x） = （ 1）若 a= 2 时， h（ x） =f（ x） g（ x）在其定义域内单调递增，求 b 的取值范围； （ 2）设函数 f（ x）的图象 函数 g（ x）的图象 于 P， Q 两点，过线段 中点R 作 x 轴的垂线分别交 点 M， N，问是否存在点 R，使 M 处的切线与 N 处的切线平行？若存在，求 R 的横坐标，若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）由 h（ x） =函数的单调性知 ，由此不等式能求出 b 的取值范围 第 18 页（共 22 页） （ 2）由题设条件，可设 P（ Q（ 则有 ，令 0 g（ x） =ax+b，假设 R 点存在，则 ，由此能推导出点 R 不存在 【解答】 解：（ 1） f（ x） =， h（ x） = 由 ， 得到 在 x （ 0， +）上恒成立， 因为 ，所以 . （ 2）设 P（ Q（ 为满足和 两个焦点，结合对数函数图象， 开口需向上，且对称轴在 X 轴正半轴 则有 ， 令 0 g（ x） =ax+b， 假设 R 点存在，则 . 又因为 ， ， 得到 ， 即 . 令 ，设 ， t （ 0， 1）， ，得到 h（ t）在（ 0， 1）内单调递增， h（ t） h（ 1） =0，假设不成立，所以点 R 不存在 . 选修 4何证明选讲 第 19 页（共 22 页） 22如图， 直角三角形， 0，以 直径的圆 O 交 点 E，点 C 边的中 点，连接 圆 O 于点 M （ 1）求证： O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）求证： 2MM 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接 直径所对的圆周角为直角，得到 而得出D= ，由此证出 0，利用圆内接四边形形的判定定理得到 O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）延长 圆 O 于点 H，由（ 1）的结论证 出 圆 O 的切线，从而得出 M将 解为 H，并利用 和 ，化简即可得到等式 2MM立 【解答】 解：（ 1）连接 圆 0 的直径， 0，得 又 D 是 中点， 中线，可得 D 又 B， D， 可得 0， 因此， O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）延长