中值定理及其应用毕业论文.doc

毕 业 设 计（论 文）题 目： 中值定理及其应用 毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目录摘要11、 引言22、微分中值定理及其应用22.1 罗尔中值定理22.2 拉格朗日中值定理32.3 柯西中值定理42.4 泰勒定理62.5 微分中值定理的应用93、积分中值定理及其应用153.1 积分第一中值定理153.2 积分第二中值定理173.3 二重积分中值定理203.4多重积分中值定理203.5积分中值定理的应用21感谢词26参考文献26Abstract27文献翻译285中值定理及其应用xxx 数学与应用数学专业 摘要本论文讲述的主要内容是中值定理及其应用, 主要包括：微分中值定理、积分中值定理以及它们的应用. 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理以及泰勒定理; 积分中值定理包括积分第一中值定理、积分第二中值定理以及在二重、多重积分上的推广. 关于中值定理的应用, 我们选择的都是较为典型的题目. 微分中值定理主要的应用有：不等式与等式证明、计算不定式极限、关于方程根的讨论（存在性与根的个数）、函数单调性和极值、函数的最值和近似计算. 而积分中值定理的应用有：求定积分的极限、比较积分的大小、对阿贝尔判别法和狄利克雷判别法两个定理的证明、证明函数的单调性、确定积分符号以及估计积分值. 关键词：中值定理; 微分; 积分; 应用1、 引言微积分的创立, 极大地推动了数学的发展. 其中, 中值定理作为微积分中的一个重要性质, 在数学分析的学习过程占有很重要的地位. 中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地, 在以后的学习中还会有其他的应用. 通常情况下, 中值定理分为微分中值定理和积分中值定理. 而微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理以及泰勒定理; 积分中值定理包含积分第一中值定理、积分第二中值定理. 本课题的研究过程为：讨论和分析中值定理, 然后将其加以推广, 讨论各个中值定理中的证明过程和相互关系, 论述了中值定理在各方面的应用问题. 课题研究的主要目标是：研究和分析中值定理, 总结其在各方面的应用. 微分中值定理的应用主要包括：不等式与等式证明、计算不定式极限、关于方程根的讨论（存在性与根的个数）、函数单调性和极值、函数的最值和近似计算. 积分中值定理的应用包括：求定积分的极限、比较积分的大小、对阿贝尔判别法和狄利克雷判别法证明、证明函数的单调性、确定积分符号以及估计积分值. 2、微分中值定理及其应用2.1 罗尔中值定理引理1（费马定理）：若函数在其极值点处可导, 则必有. 证明：设是极大值, 依据极值定义, 存在, 使得凡是时有. 因此, 当时, 有 , 而当时, 又有不等式 成立. 分别令与, 就得到. 很显然, 有成立, 命题得证. 定理1（罗尔中值定理）：若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续; （2）在开区间内可导; （3）;则在内至少存在一点, 使得. 证明：因为在上连续, 所以有最大值和最小值. 若, 则为的常值函数, 这时, 结论成立; 若, 由于, 则与中至少有一个是在内某一点处取到的, 这时必为的一个极值点. 由费马定理得, . 综上, 命题得证. 2.2 拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）：若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续; （2）在开区间内可导; 则在开区间内至少存在一点, 使得 . 证明：先作辅助函数. 我们有, 而且在上满足罗尔中值定理的另外两个条件. 所以存在, 使得, 即. 注意：当时, . 这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况. 2.3 柯西中值定理定理3（柯西中值定理）：设函数和满足： （1）在闭区间上都连续; （2）在开区间内都可导; （3）和不同时为零; （4）; 则存在, 使得 . 证明：先作辅助函数, 显然在上满足罗尔中值定理的条件, 所以存在, 使得. 由于（否则也为零）, 所以 . 故命题得证. 定理4（洛必达法则）：（1）若函数和满足： (); ()在点的某空心邻域内两者都可导, 且; （）（可为实数, 也可以是或）; 则. 证明：我们先补充定义, 这样可以使和在点处连续. 对, 在闭区间上应用柯西中值定理, 存在, 使得也就是当的时候, 我们也有, 所以. 故命题得证. ：若函数和满足： (1); (2)在点的某右邻域内两者都可导, 且; （3）（为实数, 也可以是或）则. 证明：我们先证明有限的情形, 无限的情形是可以类似证明的. 由已知条件, , , 使得当时, 有. 根据条件（2）, 和在上满足柯西中值定理条件, 则一定存在, 使得, 所以. 另外, , 显然有界; 而对于固定的, 由条件（1）, 当时是无穷小量. 所以, 使得当时有. 综上, 对于, 有 . 也就是说. 故命题得证. 备注：柯西中值定理是建立洛必达法则的理论依据. 2.4 泰勒定理引理2（泰勒公式）：若函数在点处阶可导, 则有 证明：设, , 我们有则可知并且 . 由于存在, 则在点的某一个邻域内存在阶导函数. 所以, 当, 且时, 连续使用洛必达法则次, 就可以得到 故命题得证. 备注：被称为泰勒公式的余项, 形如的余项称为佩亚诺型余项. 定理5（泰勒定理）：若函数在上存在直到阶导数, 在内存在阶导函数, 则对任意给定的, 至少存在, 使得 证明：作辅助函数. 对求导, 得到 . 此时, 我们有. 取, 再由柯西中值定理知, 存在, 使得即备注：余项, 称为拉格朗日型余项. 注意：当时, 就得到拉格朗日中值公式. 而当时, 得到的泰勒公式, 这也被称为迈克劳林公式. 2.5 微分中值定理的应用微分中值定理的应用范围十分广泛, 既可应用于含有中值的等式证明, 也可应用于恒等式以及不等式的证明. 由于各个中值定理的条件和结论不同, 而它们之间又存在着相互联系, 因此需要我们针对所要证明的等式、不等式, 分析其结构特征, 结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数, 然后套用相应的微分中值定理进行证明, 最终得到我们所需的结果. 下面来看一些例子. 2.5.1证明等式和不等式例1：设函数在区间上连续, 在中可导, 且. 证明, 存在, 使得. 证明：令, 于是有在上连续, 在中可导, 而且. 则有罗尔中值定理知, 存在, 使得. 因为, 而, 所以. 例2：证明. 证明：由于, , 根据拉格朗日中值定理得到. 命题得证. 例3：证明下面的不等式：; . 证明：（1） 令, 显然. 当时, 由柯西中值定理, 存在, 使得, 有. 当时, ; 当时, . 总之, 时, . 综上, . （2） 与（1）证明类似, 先令. 由柯西中值定理, , , 而, 所以由得. 显然, 时, 就有. 例4：设, 求证：成立. 证明：这一题是对前面例3的推广, 我们可以运用数学归纳法来证明. 当时, 令. 显然, 根据例3, 当时, 有, 也就是. 所以, 时, 命题成立. 当时, 设成立. 令, . 显然, . 根据归纳假设, 对于成立. 这说明在区间上是严格递增的. 当时, 有, 也就是成立. 综上, 命题得证. 2. 5. 2计算不定式极限：灵活运用洛必达法则, 就可以计算相应的不定式极限. （1） 型不定式极限例5：求极限. 解：令, . 此时有, 和在点的邻域内都可导, 且. 由洛必达法则, 我们有再次运用洛必达法则, , 所以. （2） 型不定式极限例6：求极限. 解：当, , 根据洛必达法则, 我们有. （3） 其他类型不定式极限：不定式极限还有等多种类型. 我们只要通过简单的形式变换, 一般就可以化为型或型不定式极限. 下面举出几个例子. 例7：求极限. 解：先应用恒等变换, 再应用洛必达法则, 可得. 例8：求极限. 解：. 注意：不存在, 并不能说明不存在. 不能对任何极限都按照洛必达法则求解. 首先我们必须注意这个极限是否为不定式极限, 其次再看是否满足洛必达法则的其他条件. 2.5.3证明方程根的存在性例9：设, 证明在内必有一个零点. 证明：令, 显然有. 由于在上连续,在内可导,而且, 则由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得, 即. 所以, 在内必有一个零点命题得证. 2.5.4函数单调性和极值例10：设在上连续, 在中可微, 则在单调函数当且仅当不变号. 证明：不妨设为单调递增函数, 根据导数定义, 当时, 有, 为单调递增函数, 所以非负, 即. 反之, 同样的, 可以设, . 对, 由拉格朗日中值定理知, , 使得因为, 所以. 同理可证单调递减的情况. 综上, 命题得证. 例11：求函数的单调区间和极值. 解：, 令, 解得. 当时, ; , ; , . 下面列表-14+0-0+由上表, 可得如下结论：的单调递增区间为; 单调递减区间为. 的极大值为, 极小值为. 2.5.5函数的最值 例12：求下列函数的最大值和最小值：. 解：已知, 则令, 解得. 显然, 当时, ; 当时, . 所以, 在区间上单调递减, 在上单调递增. 也就是说, 的最小值为, 不存在最大值. 2.5.6近似计算例13：求的近似值. 解：一般来说, 在无法使用计算器的情况下, 近似值并不是很容易计算出来的. 这里我们可以利用泰勒公式, 先找出符合条件的函数, 再进行泰勒展开. 已知, 令, 就得到, 还有如下的误差估计. 如果我们取, 误差就会小于. 3、积分中值定理及其应用3.1 积分第一中值定理定理6（积分第一中值定理）：若在上连续, 则至少存在一个点, 使得成立. 证明：不妨设, 由于在上连续, 因此存在最大值和. 由, 根据积分不等式性质, 我们得到, 即. 此式表明介于函数的最大值和最小值之间. 由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点, 使得, 成立, 也就是. 同理可证明的情况. 综上, 命题得证. 定理7（推广的积分第一中值定理）：如果函数和在上连续, 在上不变号, 则在上至少存在一点, 使得成立. 证明：由于在上不变号, 不妨假设, 记在上的最大值和最小值为和, 也就是, 此时对于任意的都有成立. 对上面的不等式在上进行积分, 可以得到. 若, 则, 从而对任意, 都有成立. 若, 此时就有. 因为在区间上是连续的, 根据介值定理, 在上必定存在一点, 使成立. 此时我们有, 故命题得证. 3.2 积分第二中值定理引理3：若在闭区间上可积,令, 则是上的连续函数. 证明：设, . 不妨设, 则 = . 所以是上的连续函数, 故命题得证. 定理8（积分第二中值定理）：设函数在闭区间上可积, (1)如果在上单调递减, 且, 那么存在, 使得; (2)如果在上单调递增, 且, 那么存在, 使得; (3)一般地, 如果在上单调, 则至少存在一点, 使得. 证明：（1）记, 由引理知连续, 故有最大值和最小值. 又由题设条件知在区间上都是可积的, 由积分性质可知也是可积的. 设. 任给, 在区间上取一系列分点使, 记, 其中为在上的幅度, 即, 则 对于, 有, 综合以上两个不等式, 得到, 令, 有. 若, 则; 若, 则有, 由连续函数的介值定理, 存在使得. 即, 命题得证. （2） 令的最大值记为. 与（1）类似, 我们也有 剩下的证明与（1）是类似的. 故命题得证. （3）若为单调递减函数, 令, 则为单调递减函数, 且. 由（1）, 存在, 使得将代入上式, 就得到 . 若为单调递增函数, 可令, 由（2）, 同样可得到 . 综上, 命题得证. 3.3 二重积分中值定理定理9（二重积分的中值定理）：若函数在有界闭区域上连续, 其中是的面积, 则存在一点使得成立. 证明：由于函数在有界闭区域上连续, 假设在闭区域上的最大值和最小值分别为, 即. 对这个不等式在上进行二重积分, 即. 其中为闭区域的面积, 也就是. 所以. 因为, 则. 由于在上连续, 则至少存在一点, 使得 成立, 也就是, 故命题得证. 3.4多重积分中值定理定理10（多重积分中值定理）：设为可求体积的有界集合, 是上的可积函数, . 若在上不变号, 则存在常数, 其中, 使得成立. 证明：我们不妨假设, 因为是上的可积函数, 则在上可积. 由于, 以及积分的保序性, 可以得到. 若, 则, 此时可取任意值. 若, 则, 令, 所以是满足命题要求的常数, 故命题得证. 3.5积分中值定理的应用3.5.1求定积分的极限 例14：求. 解：证法一：由于, 则, 有, 积分得到. 求极限得. 所以, 即. 证法二：令, , 它们在上均连续, 而且在上不变号, 根据推广的积分第一中值定理, 存在一点, 使得. 所以. 3.5.2比较积分的大小 例15：不求出积分的值, 比较下列积分的大小：. 解：可以写作的形式, 那么, 根据推广的积分第一中值定理, 至少存在一点, 使得而在区间上, 有, 因此. 3.5.3证明定理例16：证明（阿贝尔判别法）如果广义积分收敛, 在上单调有界, 那么也收敛. 证明：因为在上单调有界, 可设, 为常数. 又因为广义积分收敛, 所以使得当时, 有. 根据积分第二中值定理, 存在, 使得 由柯西收敛准则, 可知广义积分收敛. 故命题得证. 例17：证明（狄利克雷判别法）如果在中有界, 函数在中单调, , 则积分收敛. 证明：设, , 则. 又, 所以使得当时, 有. 由积分第二中值定理, 当时, 存在, 使得 . 由柯西收敛准则, 可知积分收敛, 故命题得证. 3.5.4证明函数的单调性例18：设函数在上连续, 其中, 证明：在内, 若为非减函数, 则必为非增函数. 证明：首先, 我们应用分歩积分法, 将化为下面的格式然后在两边分别求导, 就得到. 由积分第一中值定理, 存在, 使得. 因为为非减函数, 则成立, 因此可以说明, 所以为非增函数. 故命题得证. 3.5.5确定积分符号例19：确定积分的符号. 解：令, 则 由积分第一中值定理, 存在, 使得. 又在上不恒为0, 则有, 即的符号为正号. 3.5.6估计积分值例20：估计的积分. 解：由于, 则, 即. 所以积分后得到. 此时可得到估计的积分值为. 感谢词首先, 我要衷心感谢我的导师几个多月来对我的指导和关怀. 我在论文的选题和写作等各个方面都得到了老师的悉心指导. 这些将影响我日后的工作和学习, 并使我终生受益. 其次, 我要感谢宿舍的全体兄弟们, 他们在我遇到困难的时候伸出了援助之手, 在论文的撰写以及校正的过程中, 他们给予我大量的建议和帮助, 在此我向他们表示万分感谢！最后, 我要感谢10级数学科学学院的所有老师和同学们, 他们四年来对我的支持给了我很大帮助. 参考文献1华东师范大学数学系, 数学分析, 高等教育出版社, 20082樊守芳, 微积分中值定理若干问题, 黑龙江大学出版社, 20113梅加强, 数学分析讲义, 南京大学, 20104佐里奇, Mathmatical Analysis,世界图书出版公司, 20065曹镇潮, 单福奎, 李清桂, 微积分, 北京大学出版社, 20096谢寿才, 唐孝, 大学数学微积分, 科学出版社, 20117同济大学数学系, 高等数学, 高等教育出版社, 20078李忠, 周建莹, 高等数学（第二版）, 北京大学出版社, 20099刘浩荣, 郭景德, 高等数学（第4版）, 同济大学出版社, 200910熊洪允, 曾绍标, 毛云英, 应用数学基础, 天津大学出版社, 200411李胜宏, 数学分析, 浙江大学出版社, 200912常庚哲、史济怀, 数学分析教程, 高等教育出版社, 201013Altonso G Azpeitia . On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula. Amer Math Monthly , 1982. 12-1714胡卫敏, 积分中值定理及其推广. 伊犁师范学院学报,2004. 6-1015伍胜健, 数学分析（第三册）, 北京大学出版社, 2010Mean value theorem and its applicationMathematics and Applied Mathematics, School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal UniversityAbstract The main contents of this paper are about the mean value theorems and their applications. It mainly includes the following aspects: the differential mean value theorems, mean value theorem for integrals and their applications. The differential mean value theorems include Lagrange theorem, Rolle theorem , Cauchy theorem and Taylor theorem; integral mean value theorems include the first mean value theorem of integration,the second integral mean value theorem and the promotion in the double and multiple integrals. We choose some typical questions about the application of the mean value theorems, in order to strengthen their understanding of the mean value theorem. The differential mean value theorems are mainly used in: proof of inequality and equality, calculation of the infinitive limit, discussions about the root of equation (number of existence and root), the monotony of function and extreme value, the maximum and minimum of the function, and approximate calculation. The mean value theorems for integrals are applied to the limit of the definite integral, integral size comparison, to prove Abels discriminance and Dirichlets discriminance, to testify the monotonicity of the function, to determine the integral sign, and to estimate the integral value. Key words：Mean value theorem; differential coefficient; integral; applicatiaon文献翻译Discrete mathematics and Its ApplicationsChapter 1 The Foundations:Logic and Proofs The rules of logic specify the meaning of mathematical statements. For instance, these rules help us understand and reason with statements such as “There exists an integer that is not the sum of two squares” and “For every positive integer n, the sum of the positive integers not exceeding n is n(n + 1)/2. ” Logic is the basis of all mathematical reasoning, and of all automated reasoning. It has practical applications to the design of computing machines, to the specification of systems, to artificial intelligence, to computer programming, to programming languages, and to other areas of computer science, as well as to many other fields of study. To understand mathematics, we must understand what makes up a correct mathematical argument,that is,a proof. Once we prove a mathematical statement is true,we call it a theorem. A Collection of theorems on a topic organize what we know about this topic. To learn a mathematical topic, a person needs to actively construct mathematical arguments on this topic, and not just read exposition. Moreover, knowing the proof of a theorem often makes it possible to modify the result to fit new situations. Everyone knows that proofs are important throughout mathematics, but many people find it surprising how important proofs are in computer science. In fact, proofs are used to verify that computer programs produce the correct output for all possible input values, to show that algorithms always produce the correct result, to establish the security of a system, and to create artificial intelligence. Furthermore, automated reasoning systems have been created to allow computers to construct their own proofs. In this chapter, we will explain what makes up a correct mathematical argument and introduce tools to construct these arguments. We will develop an arsenal of different proof methods that will enable us to prove many different types of results. After introducing many different methods of proof, we will introduce several strategies for constructing proofs. We will introduce the notion of a conjecture and explain the process of developing mathematics by studying conjectures. The rules of logic give precise meaning to mathematical statements. These rules are used to distinguish between valid and invalid mathematical arguments. Because a major goal of this book is to teach the reader how to understand and how to construct correct mathematical arguments,we begin our study of discrete mathematics with an introduction to logic. Besides the importance of logic in understanding mathematical reasoning,logic has numerous applications to computer science. These rules are used in the design of computer circuits,the construction of computer programs, the verification of the correctness of programs, and in many other ways. Furthermore, software systems have been developed for constructing some,but not all, types of proofs automatically. We will discuss these applications of logic in this and later chapters. Our discussion begins with an introduction to the basic building blocks of logicpropositions. A proposition is a declarative sentence (that is, a sentence that declares a fact) that is either true or false, but not both. EXAMPLE 1All the following declarative sentences are propositions. 1. Washington, D. C. , is the capital of the United States ofAmerica. 2. Toronto is the capital of Canada. 3. 1 + 1 = 2. 4. 2 + 2 = 3. Propositions 1 and 3 are true, whereas 2 and 4 are false. Some sentences that are not propositions are given in Example 2. EXAMPLE 2Consider the following sentences. 1. What time is it?2. Read this carefully. 3. x + 1 = 2. 4. x + y = z. Sentences 1 and 2 are not propositions because they are not declarative sentences. Sentences 3 and 4 are not propositions because they are neither true nor false. Note that each of sentences 3 and 4 can be turned into a proposition if we assign values to the variables. We will also discuss other ways to turn sentences such as these into propositions in Section 1. 4. We use letters to denote propositional variables (or statement variables), that is, variables that represent propositions, just as letters are used to denote numerical variables. The conventional letters used for propositio