2016年四川省资阳市高考数学二诊试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年四川省资阳市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=2， 4，集合 N=3， 5，则（ N=（ ） A 1， 5 B 3， 5 C 1， 3， 5 D 2， 4， 5 2已知 i 为虚数单位，复数 z= 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A（ 4， 2） B（ 2， 4） C（ 4， 2） D（ 2， 4） 3某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数之比为 5： 4： 3，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 240 的样本，则所抽取的高中二年级学生的人数是（ ） A 120 B 100 C 90 D 80 4已知 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 2， 1），向量 =（ 1， 1），则=（ ） A 4 B 2 C 0 D 2 5已知命题 p： x 0， 2x 1；命题 q：若 x y，则 下列命题为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 6若函数 f（ x） =2x+）（ 0 ）的图象关于直线 x= 对称，则 的值为（ ） A B C D 7如图程序框图的算法思路 来源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入 a， b， i 的值分别为 6， 8， 0，则输出 a 和 i 的值分别为（ ） A 0， 3 B 0， 4 C 2， 3 D 2， 4 8某几何体的正视图、侧（左）视图、俯视图如图所示，若该几何体各个顶点在同一个球面上，则该球体的表面积是（ ） 第 2 页（共 18 页） A 6 B 12 C 24 D 32 9双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，若以点 F 为圆心，半径为 a 的圆与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的离心率等于（ ） A B C 2 D 2 10若函数 f（ x） = （ b+8） x（ a 0， b 0）在区间 1， 2上单调递减，则（ 1 a）（ b+1）的最大值为（ ） A B 4 C 2 D 0 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11 = 12在 的展开式中，常数项为 （用数字作答） 13某人欲把 a， b 两盆红色花和 c， d 两 盆紫色花放在一排四个花台上，若 b， c 两盆花必须相邻，则不同的放法共有 种 14函数 f（ x） =10x+1） +偶函数，则实数 a= 15若点 M（ 0， 3）与椭圆 =1（ a 2）上任意一点 P 距离的最大值不超过 2 ，则 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知公差为正数的等差数列 足： ，且 21， 成等比数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）若 别是等比数列 第 1 项和第 2 项，求数列 的前 n 项和 17某商场为推销当地的某种特产进行了一次促销活动，将派出的促销员分成甲、乙两个小组分别在两个不同的场地进行促销，每个小组各 4 人以下茎叶图记录了这两个小组成员促销这种特产的件数 （ ）在乙组中任选 2 位促销员，求他们促销的件数都多于甲组促销件数的平均数的概率； 第 3 页（共 18 页） （ ）从这 8 名促销员中随机选取 3 名，设这 3 名促销员中促销多于 35 件的人数为 X，求X 的分布列和数学期望 18设向量 =（ 21），向量 = ，函数 f（ x） = （ ）若 ，且 ，求 的值； （ ）已知 三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a=2 ， b=3 ， f（ A）=1，求 c 19如图，在棱柱 ， 底面 面 直角梯形，其中 C=2， ，过 平面分别与 于 中点 （ ） 求证：平面 平面 （ ） 求二面角 大小 20已知抛物线 C 的顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且经过点 P（ 1， 2）， C 的准线与 （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若 ，求 的取值范围 21已知函数 f（ x） =（ x+1） x+1） 2a R），它的导函数为 f（ x） （ ）若函数 g（ x） =f（ x） +（ 2a 1） x 只有一个零点，求 a 的值； （ ）是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 f（ x） 0 在（ 0， +）上恒成立？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由 第 4 页（共 18 页） 2016 年四川省资阳市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=2， 4，集合 N=3， 5，则（ N=（ ） A 1， 5 B 3， 5 C 1， 3， 5 D 2， 4， 5 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由全集 U 及 M，求出 M 补集，找出 M 补集与 N 交集即可 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=2， 4， 1， 3， 5， 集合 N=3， 5， （ N=3， 5 故选： B 2已知 i 为虚数单位，复数 z= 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A（ 4， 2） B（ 2， 4） C（ 4， 2） D（ 2， 4） 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解：复数 z= = = =4 2i，在复平面内对应的点的坐标是（ 4， 2） 故选： A 3某中学高中一年级、二年级、三 年级的学生人数之比为 5： 4： 3，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 240 的样本，则所抽取的高中二年级学生的人数是（ ） A 120 B 100 C 90 D 80 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据分层抽样的定义建结合比例关系即可得到结论 【解答】 解：用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 240 的样本，则应从所抽取的高中二年级学生的人数 240=80， 故选： D 4已知 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 2， 1），向量 =（ 1， 1），则=（ ） A 4 B 2 C 0 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的坐标运算和向量的模即可求出 【解答】 解： O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 2， 1），向量 =（ 1， 1）， 第 5 页（共 18 页） = + =（ 2， 1） +（ 1， 1） =（ 1， 2）， = 2 2=（ 22+12）（ 12+22） =5 5=0， 故选： C 5已知命题 p： x 0， 2x 1；命题 q：若 x y，则 下列命题为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别 判断命题 p， q 的真假，结合复合命题之间的关系进行判断即可 【解答】 解：命题 p： x 0， 2x 1 为真命题， 命题 q：若 x y，则 假命题，（如 x=0， y= 3）， 故 q 为真命题， 则 p q 为真命题 故选： B 6若函数 f（ x） =2x+）（ 0 ）的图象关于直线 x= 对称，则 的值为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用正弦函数的图象的对称性可得 2 +=， k Z，由此求得 的值 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+）（ 0 ）的图象关于直线 x= 对称， 2 +=， k Z， =， = ， 故选： A 7如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入 a， b， i 的值分别为 6， 8， 0，则输出 a 和 i 的值分别为（ ） 第 6 页（共 18 页） A 0， 3 B 0， 4 C 2， 3 D 2， 4 【考点】 程序框图 【分析】 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a， b， i 的值，即可得到结论 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得： a=6， b=8， i=0， i=1，不满足 a b，不满足 a=b， b=8 6=2， i=2 满足 a b， a=6 2=4， i=3 满足 a b， a=4 2=2， i=4 不满足 a b，满足 a=b，输出 a 的值为 2， i 的值为 4 故选： D 8某几何体的正视图、侧（左）视图、俯视图如图所示，若该几何体各个顶点在同一个球面上，则该球体的表面积是 （ ） A 6 B 12 C 24 D 32 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 把几何体还原为长宽高分别是 2、 1、 1 的长方体，长方体的各个顶点在同一个球面上，求出球体的直径即可 【解答】 解：根据题意，把几何体还原为长宽高分别是 2、 1、 1 的长方体， 则该长方体的各个顶点在同一个球面上， 该球体的直径是（ 2R） 2=22+12+12=6 所以该球体的表面积是 （ 2R） 2=6 第 7 页（共 18 页） 故选： A 9双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，若以点 F 为圆心，半径为 a 的圆与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的离心率等于（ ） A B C 2 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线方程表示出 F 坐标，以及渐近线方程，由以点 F 为圆心，半径为 a 的圆与双 曲线 C 的渐近线相切，得到圆心 F 到渐近线距离 d=r，整理得到 a=b，再利用双曲线的简单性质及离心率公式计算即可 【解答】 解：根据题意得：圆心 F（ c， 0），半径为 a，双曲线渐近线方程为 y= x，即 ， 以点 F 为圆心，半径为 a 的圆与双曲线 C 的渐近线相切，且 c2=a2+ 圆心 F 到渐近线的距离 d= =a，即 a=b， c= = = = a， 则双曲线 C 的离心率 e= = ， 故选： B 10若函数 f（ x） = （ b+8） x（ a 0， b 0）在 区间 1， 2上单调递减，则（ 1 a）（ b+1）的最大值为（ ） A B 4 C 2 D 0 【考点】 利用导数研究函数的单调性；基本不等式 【分析】 求得 f（ x）的导数，由题意可得 f（ x） 0 在区间 1， 2上恒成立，可得 ，作出不等式组在第四象限的可行域，再由目标函数表示的双曲线，结合直线与双曲线相切，求得导数，设出切点，解方程可得切点，进而得到所求最大值 【解答】 解：函数 f（ x） = （ b+8） x 的导数为 f（ x） = b+8） x+2， 由题意可得 f（ x） 0 在区间 1， 2上恒成立， 即有 ，即为 ，（ *） 以（ a， b）为坐标，作出不等式组（ *）在第四象限的可行域，如图 第 8 页（共 18 页） 令 t=（ 1 a）（ 1+b），可得 b= 1 ， 此函数的图象为双曲线， 当直线 b=2a 7 与双曲线 b= 1 相切时， t 取得最大值， 设切点为（ m， n），由 b= ，可得 2= ， n=2m 7= 1 ， 解得 t=2， m=2， n= 3， 故选： C 二、填空 题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11 = 【考点】 诱导公式的作用 【分析】 直接利用诱导公式化简，然后求解即可 【解答】 解： = = 故答案为： 12在 的展开式中，常数项为 60 （用数字作答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，利用 x 项的指数等于 0，即可求出常数项 【解答】 解：在 的展开式中，通项公式为： 第 9 页（共 18 页） = r = 2r3r， 令 6 3r=0， 解得 r=2； 所以展开式的常数项为 22=60 故答案为： 60 13某人欲把 a， b 两盆红色花和 c， d 两盆紫色花放在一排四个花台上，若 b， c 两盆花必须相邻，则不同的放法共有 12 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 b， c 两盆花必须相邻，利用捆绑法与其余 2 盆红色花全排即可 【解答】 解：由题意，利用捆绑法， b， c 两盆花必须相邻的方法数为 22=12 种 故答案为： 12 14函数 f（ x） =10x+1） +偶函数，则实数 a= 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用 【分析】 法一：此题是填空题，不易小题大做，因为 f（ x）是偶函数，所以对任意的实数 f（ x） =f（ x）成立，故取 x=1，只需验证 f（ 1） =f（ 1），解出 a 的值即可 法二：直接法来做，但是计算量大，因为 f（ x）为偶函数，所以 f（ x） =f（ x）即 10 x+1） ax=10x+1） +出 a 即可 【解答】 解：由题意知： 法一： f（ x）为偶函数 f（ 1） =f（ 1）得： 10 1+1） a=10+1） +a a= ； 法二： f（ x）为偶函数 对任意的实数 x 都有： f（ x） =f（ x） 即 10 x+1） ax=10x+1） +理得： 10 x+1） 10x+1） =2x=21020 x（ 1） 如果（ 1）式对任意的实数 x 恒成立，则 2a= 1 即 a= 故答案为： 第 10 页（共 18 页） 15若点 M（ 0， 3）与椭圆 =1（ a 2）上任意一点 P 距离的最大值不超过 2 ，则 a 的取值范围是 （ 2， 4 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设椭圆 =1（ a 2）上一点 P 的坐标为（ 2（ 0 2），运用两点的距离公式，结合同角的平方关系和二次函数的最值的 求法，讨论对称轴和区间的关系，即可得到所求最大值 【解答】 解：设椭圆 =1 上一点 P 的坐标为 （ 2（ 0 2）， 即有 | = = = ， 由于 t（ 1 t 1）， 当 1，即 2 a 时， 1 时取得最大值，且为 5 2 ，成立； 当 1 1，即 a 时， 时，取得最大值， 即为 2 ， 解得 a 4，即有 a 4 综上可得， a 的范围是（ 2， 4 故答案为：（ 2， 4 三、解答题：本大题共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知公差为正数的等差数列 足： ，且 21， 成等比数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）若 别是等比数列 第 1 项和第 2 项，求数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 第 11 页（共 18 页） 【分析】 （ ） 设数列 公差为 d（ d 0），运用等比数列的中项的性质，以及等差数列的通项公式，即可得到所求； （ ）求得 b1=， b2=，进而得到公比 q=3，即可得到 是以 为首项，以 为公比的等比数列，再由等 比数列的求和公式即可得到所求 【解答】 解：（ ） 设数列 公差为 d（ d 0）， 由 21， 成等比数列， 可得 ， 则 2（ 1+3d+1） =（ 1+2d 1） 2， 解得 （舍去）或 d=2， 所以 通项公式为 n 1； （ ） 由（ ）可得， b1=， b2=， 则等比数列 公比 q=3， 于是 是以 为首项，以 为公比的等比数列 所以 17某商场为推销当地的某种特产进行了一次促销活动，将派出的促销员分成甲、乙两个小组分别在两个不同的场地进行促销，每个小组各 4 人以下茎叶图记录了这两个小组成员促销这种特产的件数 （ ）在乙组中任选 2 位促销员，求他们促销的件数都多于甲组促销件数的平均数的概率； （ ）从这 8 名促销员中随机选 取 3 名，设这 3 名促销员中促销多于 35 件的人数为 X，求X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）先求出甲组 4 名人员促销特产件数的平均数，从而得到乙组 4 名人员所促销的件数比甲组平均数多的有 3 位同学，由此能求出在乙组中任选 2 位促销员，求他们促销的件数都多于甲组促销件数的平均数的概率 （ ）这 8 名促销员所促销件数多于 35 件的共有 4 人，则 X 的值可能为 0， 1， 2， 3分别求出相应的概率 ，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）甲组 4 名人员促销特产件数的平均数为 （件） 乙组 4 名人员所促销的件数比甲组平均数多的有 3 位同学， 第 12 页（共 18 页） 所以所求的概率 （ ）这 8 名促销员所促销件数多于 35 件的共有 4 人，则 X 的值可能为 0， 1， 2， 3 ， ， ， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 X 的数学期望 +1 +2 +3 = 18设向量 =（ 21），向量 = ，函数 f（ x） = （ ）若 ，且 ，求 的值； （ ）已知 三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a=2 ， b=3 ， f（ A）=1，求 c 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 【分析】 （ I）利用数量积得坐标运算和两角和的正弦公式，二倍角公式，化简 f（ x），再代入即可求出答案； （ f（ A） =1，求出 A 的大小，由正弦定理或余弦定理即可得出 【解答】 解：（ ）由题， = ， =2） 由 ， ，得 ， 所以 = 第 13 页（共 18 页） （ ） 由 f（ A） =1，得 ，则 ， 由于 a b，所以 A B，则 ， ， 所以 ，则 方法一：由 ，得 ，于是 ，所以 B= 或 又由 ，得 ，于是 ， 当 B= 时， ； 当 B= 时， 方法二：由余弦定理得 a2=b2+2 所以 ，即 6c+6=0， 解得 c= 19如图，在棱柱 ， 底面 面 直角梯形，其中 C=2， ，过 平面分别与 于 中点 （ ） 求证：平面 平面 （ ） 求二面角 大小 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定 【分析】 （ ） 连接 导出四边形 平行四边形，从而四边形 此能证明平面 平面 （ ） 法一：分别以 ， ， 的方向为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D 用向量法能求出二面角 大小 法二：取分别 中点 O， 结 交于 结 导出 二面角 平面角，由此能求出二面角 1 的大小 【解答】 证明：（ ） 连接 柱 ， 又 中点，则 1 第 14 页（共 18 页） 所以四边形 平行四边形，则 1 又 D， 所以 D 所以四边形 平行四边形，则 在棱柱 ， 由于 在面 且相交， 在面 且相交， 所以平面 平面 （ ） 在棱柱 ， 平面 平面 平面 线为 又 中点，所以 中点 方法一：如图，分别以 ， ， 的方向为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D A（ ， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， ， 0， 3）， ， 2， 3）， 所以 ， ， 设平面 法向量 =（ 由 ，得 ，取 ，得 =（ 1， ， 0） 设平面 法向量 =（ 由 ，得 ，取 ，得 =（ ） 则由 = = 所以 =30，故二面角 大小为 30 方法二：取分别 中点 O， 连结 交于 结 图 由（ ）， 等边三角形，则 在棱柱 ， 有 平面 以 所以 平面 以 故 二面角 平面角 由题 ， ，则 ， 所以 0，则二面角 大小为 30 第 15 页（共 18 页） 20已知抛物线 C 的顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且经过点 P（ 1， 2）， C 的准线与 （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若 ，求 的取值范围 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）设抛物线 C 的方程为 p 0），由于抛物线 C 过点 P（ 1， 2），代入求抛物线 C 的方程； （ ）联立方程确定组 消去 x，得 44=0， ，表示出 ，即可求 的取值范围 【解答】 解：（ ） 设抛物线 C 的方程为 p 0）， 由于抛物线 C 过点 P（ 1， 2），则（ 2） 2=2p1，所以 p=2， 则抛物线 C 的方程为 x （ ） F（ 1， 0），设 l： x=，设 A（ B（ （ 0）， 联立方程组 消去 x，得 44=0 所以 且 又 ，则（ 1 =（ 1， 即 代入 ， 得 消去 ， 因为 ，所以 ，则 ， 由 M（ 1， 0），则 ， ， 第 16 页（共 18 页） 则 = =（ ）（ 16） +4m4m+8=1606 而当 时， ， 所以 ，故 的取值范围是 21已知函数 f（ x） =（ x+1） x+1） 2a R），它的导函数为 f（ x） （ ）若函数 g（ x） =f（ x） +（ 2a 1） x 只有一个零点，求 a 的值； （ ）是否存在实数 a，使得