2016年各地中考解析版试卷分类汇编(第2期)解直角三角形

解直角三角形 一 1（ 2016山东省 菏泽 市 3 分 ）如图， ABC都是等腰三角形，且 C=5，AB=AC=3，若 B+ B=90，则 ABC的面积比为（ ） A 25： 9 B 5： 3 C ： D 5 ： 3 【考点】互余两角三角 函数的关系 【 分析】先根据等腰三角形的性质得到 B= C， B= C，根据三角函数的定义得到BAD=AB ABBC=2BD=2AB然后根据三角形面积公式即可得到结论 【解答】解：过 A 作 D，过 A作 AD BC于 D， ABC都是等腰三角形， B= C， B= C， BC=2BD， BAD=AB ABBC=2BD=2AB B+ B=90， S C= ABAB5 S ABC= ADBC= AB2AB9 S S ABC=25： 9 故选 A 【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式 2. （ 2016重庆市 4 分 ） 某数学兴趣小组同学进行测量大树 度的综合实践活动，如图，在点 的仰角为 36，然后沿在同一剖面的斜坡 3 米至 坡顶 后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 坡度（或坡比） i=1： 么大树 高度约为（参考数据： ） A B C D 【分析】作 F，则 D=6 米， F，设 BF=x 米，则 ，在 勾股定理得出方程，解方程求出 F=5 米， 2 米， 得出 长度，在 三角函数求出 可得出结果 【解答】解：作 F，如图所示： 则 D=6 米， F， 斜面 坡度 i=1： 设 BF=x 米，则 ， 在 ，由勾股定理得： 2= 132， 解得： x=5， F=5 米， 2 米， F+8 米， 在 ， 18， E 5 米 故选： A 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键 3. （ 2016浙江省绍兴市 4 分 ） 如图，在 ， B=90， A=30，以点 C 长为半径画弧交 ，分别以点 A、 D 为圆心， 弧交于点 E，连接 余弦值是（ ） A B C D 【考点】 解直角三角形 【分析】 设 BC=x，由含 30角的直角三角形的性质得出 x，求出 BC=x，根据题意得出 C=x， E=x，作 M，由等腰三角形的性质得出 x，在 ，由三角函数的定义即可得出结果 【解答】 解：如图所示：设 BC=x， 在 ， B=90， A=30， x， x， 根据题意得： C=x， E=x， 作 M，则 x， 在 ， = = ； 故选： B 4. （ 2016重庆市 4 分 ） 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 办公楼顶端 的俯角 是 45，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 0 米，梯坎坡长 12 米，梯坎坡度 i=1： ，则大楼 高度约为（ ）（精确到 ，参考数据： A 考点】 解直角三角形的应用 【分析】 延长 C 于 H，作 ，则 E=15 米， H，设 BH=x 米，则 x 米，在 2 米，由勾股定理得出方程，解方程求出 米， 米，得出 长度，证明 等腰直角三角形，得出 G=6 +20（米），即可得出大楼 高度 【解答】 解：延长 H，作 G，如图所示： 则 E=15 米， H， 梯坎坡度 i=1： ， ： ， 设 BH=x 米，则 x 米， 在 2 米， 由勾股定理得： x） 2=122， 解得： x=6， 米， 米， H 5 6=9（米）， H=D=6 +20（米）， =45， 0 45=45， 等腰直角三角形， G=6 +20（米）， G+ +20+9） ； 故选： D 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出 出 解决问题的关键 二 1（ 2016山东省 菏泽 市 3 分 ）如图，在正方形 作等腰直角 E，连接 【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形 【专题】计算题 【分析】作 F，如图，设 E=a，根据等腰直角三角形的性质得 CE=a， 5，再利用正方形的性质得 D= a， 0，接着判断 等腰直角三角形得到 F= a，然后在 根据正切的定义求解 【解答】解：作 F，如图，设 E=a， 等腰直角三角形， a， 5， 四边形 正方形， D= a， 0， 5， 等腰直角三角形， F= a， 在 ， = = ， 即 故答案为 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质也考查了等腰直角三角形的性质 2. （ 2016湖北荆州 3 分 ） 全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外如图，张三同学在东门城墙上 C 处测得塑像底部 1848，测得塑像顶部 5，点 D 在观测点 C 正下方城墙底的地面上，若 0 米，则此塑像的高 为 58 米（参考数据： 2 【分析】 直接利用锐角三角函数关系得出 长，进而得出 长，进而得出答案 【解答】 解：如图所示：由题意可得： 点 E， C， 848， 812， 则 2= = = 解得： 8（ m）， 5，则 C，且 C=10m， 此塑 像的高 为： B=58（米） 故答案为： 58 【点评】 此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出 长是解题关键 三 1. （ 2016湖北随州 8 分 ） 某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为 30，山高 ，组员从山脚 D 处沿山坡向着雕像方向前进 1620 尺到达 E 点，在点 E 处测得雕像顶端 0，求雕像 高度 【考点】 解直角三角形的应用 角问题 【分析】 构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可 【解答】 解：如图， 过点 E 作 在 ， 620， D=30， D=1620 =810， G， C 在 ， ， 在 ， 0，设 AB=x， ， F x+ x=95， 答：雕像 高度为 95 尺 2. （ 2016吉林 7 分 ） 如图，某飞机于空中 ，此时飞行高度 200m，从飞机上看地平面指挥台 =43，求飞机 的距离（结果取整数） （参考数据： 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 先利用平行线的性质得到 B=43，然后利用 B 的长 【解答】 解：如图， B=43， 在 ， ， 1765（ m） 答：飞机 的距离为 1765m 3. （ 2016江西 8 分 ） 如图 1 是一副创意卡通圆规，图 2 是其平面示意图， 支撑臂，用时，以点 笔芯端点 旋转作出圆已知B=10 （ 1）当 8时，求所作圆的半径；（结果精确到 （ 2）保持 8不变，在旋转臂 出的圆与（ 1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度（结果精确到 （参考数据： 使用科学计算器） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 （ 1）根据题意作辅助线 点 C，根据 B=10 0， 8，可以求得 度数，从而可以求得 长； （ 2）由题意可知，作出的圆与（ 1）中所作圆的大小相等，则 B，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得 长，本题得以解决 【解答】 解：（ 1）作 点 C，如右图 2 所示， 由题意可得， B=10 0， 8， OB210 即所作圆的半径约为 （ 2）作 ，作 B，如下图 3 所示， 保持 8不变，在旋转臂 出的圆与（ 1）中所作圆的大小相等， 折断的部分为 8， B， 0， 1， 2， ， AB2 即铅笔芯折断部分的长度是 4. （ 2016辽宁丹东 10 分 ） 某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 高度他们在 得 仰角为 48，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为64，求建筑物的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 ） （参考数据： ， ， ， 2） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 B 表示出 C，根据 C B 的方程，解方程可得 【解答】 解：根据题意，得 4， 8 在 ， 则 在 ， 则 C 6= 得： ）， 建筑物的高度约为 5. （ 2016四川宜宾） 如图， 一高为 4 米的平台， 与 部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树顶 A 点的仰角 =30，从平台底部向树的方向水平前进 3 米到达点 E，在点 E 处测得树顶 A 点的仰角 =60，求树高 果保留根号） 【考点】 解直角三角 形的应用 【分析】 作 点 F，设 AF=x 米，在直角 利用三角函数用 F 的长，在直角 表示出 长，然后根据 E 即可列方程求得 x 的值，进而求得 长 【解答】 解：作 点 F，设 x 米， 在 ， t ， 则 = = = x， 在直角 ， x+ + x（米）， 在直角 ， ta n ，则 = = （ x+4）米 E，即 x （ x +4） =3 解得： x= ， 则 +4= （米） 答：树高 米 6.（ 2016湖北黄石 8 分 ） 如图，为测量一座山峰 高度，将此山的某侧山坡划分为 C 两段， 每一段山坡近似是 “直 ”的，测得坡长 00 米， 00 米，坡角 0， 5 （ 1）求 山坡的高度 （ 2）求山峰的高度 果精确到米） 【分析】 （ 1） 作 H，如图，在 根据正弦的定义可计算出 长，从而得到 长； （ 2）先在 利用 正弦计算出 后计算 和即可 【解答】 解：（ 1）作 H，如图， 在 ， ， 00400， H=400m； （ 2）在 ， ， 00100 E+00541（ m） 答： 山坡高度为 400 米，山 高度约为 541 米 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i 表示，常写成 i=1： m 的形式把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度 之间的关系为： i 7 （ 2016湖北荆门 6 分 ） 如图，天星山山脚下西端 处相距 800（ 1+ ）米，小军和小明同时分别从 处向山顶 C 匀速行走已知山的西端的坡角是 45，东端的坡角是 30，小军的行走速度为 米 /秒若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走速度是多少？ 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 过点 C 作 点 D，设 AD=x 米，小明的行走速度是 a 米 /秒，根据直角三角形的性质用 x 表示出 长，再根据小明与小军同时到达山顶 【解答】 解：过点 C 作 点 D，设 AD=x 米，小明的行走速度是 a 米 /秒， A=45， D=x 米， x 在 ， B=30， = =2x， 小 军的行走速度为 米 /秒若小明与小军同时到达山顶 C 处， = ，解得 a=1 米 /秒 答：小明的行走速度是 1 米 /秒 8.（ 2016四川内江 ） (9 分 )如图 8，禁渔期间，我渔政船在 A 处发现正北方向 B 处有一艘可疑船只，测得 A， B 两处距离为 200 海里，可疑船只正沿南偏东 45方向航行我渔政 船迅速沿北偏东 30方向前去拦截，经历 4 小时刚好在 该可疑船只航行的平均速度 (结果保留根号 ) 考点 三角函数、解决实际问题。 解：如图，过点 H H，则 等腰直角三角形设 x， 则 x， CH0 3 x 2 分 200， x 3 x 200 x 20031 100( 3 1) 4 分 2 x 100( 6 2 ) 6 分 两船行驶 4 小时相遇， 可疑船只航行的平均速度 100( 6 2 )4 45( 6 2 ) 8 分 答：可疑船只航行的平均速度是每小时 45( 6 2 )海里 9 分 9 （ 2016四川泸州） 如图，为了测量出楼房 高度，从距离楼底 C 处 60米的点 D（点 D 与 楼底 C 在同一水平 面上）出发，沿斜面坡度为 i=1： 的斜坡 0 米到达点 B，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 5 3，求楼房 考数据： ，计算结果用根号表示，不取近似值） 北 C A B 30 45 答案图 H 北 C A B 30 45 图 8 【考点】 解直角三角形的应用 直角三角形的应用 【分析】 如图作 N， M，先在 求出线段 求出 证明四边形 矩形，得 可解决问题 【解答】 解：如图作 N， M 在 ， 30， 1： ， 5， 15 ， C= =90， 四边形 矩形， M=15， N=6 0 15 = 45 ， 在 ， = ， 7 ， M+ 5+27 10. （ 2016云南省昆明市 ） 如图，大楼 侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30，测得大楼顶端 5（点 B， C， E 在同一水平直线上），已知 0m， 0m，求障碍物 B， C 两点间的距离（结果精确到 参考数据： 【考 点】 解直角三角形的应用 【分析】 如图，过点 D 作 点 F，过点 C 作 点 H通过解直角 F 的长度；通过解直角 到 长度，则 E 【解答】 解：如图，过点 D 作 点 F，过点 C 作 点 H 则 F=0m， 在直角 ， 0m 10m=70m， 5， F=70m 在直角 ， 0m， 0， = =10 （ m）， E 0 10 70 m） 答：障碍物 B， C 两点间的距离约为 11. （ 2016浙江省绍兴市 8 分 ） 如图 1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 得河的北岸边点 5方向，然后向西走60m 到达 C 点，测得点 的北偏东 60方向，如图 2 （ 1）求 （ 2）求出这段河的宽（结果精确到 1m，备用数据 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 （ 1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可； （ 2）作 ，设 BD=据正切的定 义用 x 表示出 据题意列出方程，解方程即可 【解答】 解：（ 1）由题意得， 5， 0， 5； （ 2）作 延长线于 D， 设 BD= 0， = x， 5， D=x， 则 x x=60， 解得 x= 82， 答：这段河的宽约为 82m 12 （ 2016 海南） 如图，在大楼 正前方有一斜坡 米，坡角 0，小红在斜坡下的点 的仰角为 60，在斜坡上的点 的仰角为 45，其中点 A、 C、 E 在同一直线上 （ 1）求斜坡 高度 （ 2）求大楼 高度（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用 直角三角形的应用 【专题】应用 题；解直角三角形及其应用 【分析】（ 1）在直角三角形 ，利用锐角三角函数定义求出 长即可； （ 2）过 D 作 直于 点 F，可得出三角形 等腰直角三角形，设F=x，表示出 题意得到三角形 直角三角形，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出 长 【解答】解：（ 1）在 ， 米， 0， 0， 米； （ 2）过 D 作 点 F， 0， 5， 5，即 等腰直角三角形， 设 F=x 米， 四边形 矩形， E=2 米，即 x+2）米， 在 ， 0， = = = 米， x 米， 米， 0， 0， 0， 在 ，根据勾股定理得： 2+16， 解得： x=4+ 或 x=4 ， 则 6+ ）米或（ 6 ）米 【点评】此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟 练掌握勾股定理是解本题的关键 13 （ 2016 河南） 如图，小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处，测得正前方旗杆顶部 7，旗杆底部 5，升旗时，国旗上端悬挂在距地面 处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米 /秒的速度匀速上升？（参考数据： 【考点】解直角三角形的应用 【分析】通过解直角 直角 别求得 及 长度，则易得 根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由 “速度 = ”进行解答即可 【解答】解：在 ， 米， 5，则 D=9 米 在 ， 米， 7，则 D9） 所以 ， D+ ， 整个过程中旗子上升高度是： ）， 因为耗时 45s， 所以上 升速度 v= /秒） 答：国旗应以 /秒的速度匀速上升 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决 14.（ 2016山东省 菏泽 市 3 分 ）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 得该岛位于正北方向 20（ 1+ ）海里的 了防止某国还巡警干扰，就请求我 处护航，已知 C 位于 5方向上， 的北偏西 30的方向上，求 A、 C 之间的距离 【考点】解直角三角形的应用 【分析】作 足为 D，设 CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出 而可得出 合题意 D+得出方程，解出 x 的值后即可得出答案 【解答】解：如图，作 垂足为 D， 由题意得， 5， 0 设 CD=x，在 ，可得 AD=x， 在 ，可得 x， 又 0（ 1+ ）， D= 即 x+ x=20（ 1+ ）， 解得： x=20， x=20 （海里） 答： A、 C 之间的距离为 20 海里 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角