2016年天津市和平区高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年天津市和平区高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x| 1 x 3， B=x|3x+2 0，则 A（ 表示为（ ） A 1， 1） （ 2， 3） B 1， 1 2， 3） C（ 1， 2） D（ ， +） 2若在区间 0， 上随机取一个数 x，则 值落在区间（ ， 1）内的概率为（ ） A B C D 3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的 x 值是（ ） A 57 B 63 C 110 D 120 4已知 m， n R，则 “0”是 “一次函数 y= + 的图象不经过第二象限 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线的斜率之积为 2，焦距为 6，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 6如图，圆 O 的两条弦 交于点 E，圆 O 的切线 延长线于 F 点，且 ： 2， F， ， ，则 长为（ ） A 6 B 5 C 2 D 2 7已知 （ ， ）， ，则 ）的值为（ ） 第 2 页（共 17 页） A B 2 C D 2 8设函数 f（ x） = ，其中 m ， ），若 a=f（ ）， b=f（ 1），c=f（ 2），则（ ） A a c b B a b c C b a c D c b a 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 i 是虚数单位，若复数（ a+ 1+i） =7 3i，则 的值为 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 11若函数 f（ x） =x+1 a（ ）在 x=1 处取得极值，则实数 a 的 值为 12若正实数 x， y 满足 10x+2y+60= 最小值是 13如图，在 ， 20， ， ， D 是 上的一点（包括端点），若 m， n，则 的值为 14关于 x 的方程 |x|+ =3 的最大实数根是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 . 15在锐角 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 c=2 （ ）求角 A； （ ）若 a= ，且 面积为 ，求 周长 16某酒厂生产 A、 B 两种优 质白酒，生产每吨白酒所需的主要原料如表： 白酒品种 高粱（吨） 大米（吨） 小麦（吨） A 9 3 4 B 4 10 5 第 3 页（共 17 页） 已知每吨 A 白酒的利润是 7 万元，每吨 B 白酒的利润是 12 万元，由于条件限制，该酒厂目前库存高粱 360 吨，大米 300 吨，小麦 200 吨 （ ）设生产 A、 B 两种白酒分别为 x 吨、 y 吨，总利润为 z 万元，请列出满足上述条件的不等式组及目标函数； （ ）生产 A、 B 两种白酒各多少吨，才能获得最大利润？并求出最大利润 17如图，在五面体 ， 平面 G 为 B=E= （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 （ ）求直线 平面 成角的大小 18已知数列 前 n 项和为 ，且 =1 （ ）求 通项公式； （ ）若 （ n+ ） 为等差数列，求 的值 19设椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 A（ a， 0）、 B（ 0，b）满足条件 | | （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若坐标原点 O 到直线 距离为 ，求椭圆 C 的方程； （ ）在（ ）的条件下，过点 P（ 2， 1）的直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点，且点 P 恰为线段 中点， 求直线 l 的方程 20已知函数 f（ x） =31， a 0 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x）在 x= 1 处取得极值，且函数 g（ x） =f（ x） m 有三个零点，求实数 （ ）设 h（ x） =f（ x） +（ 3a 1） x+1，证明过点 P（ 2， 1）可以作曲线 h（ x）的三条切线 第 4 页（共 17 页） 2016 年天津市和平区高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x| 1 x 3， B=x|3x+2 0， 则 A（ 表示为（ ） A 1， 1） （ 2， 3） B 1， 1 2， 3） C（ 1， 2） D（ ， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： B=x|3x+2 0=x|1 x 2， 则 x|x 2 或 x 1， 则 A（ =x| 1 x 1 或 2 x 3= 1， 1 2， 3）， 故选： B 2若在区间 0， 上随机取一个数 x，则 值落在区间（ ， 1）内的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解：在区间 0， 上，由 1，得 x 或 x ， 则对应的概率 P= = ， 故选： C 3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的 x 值是（ ） A 57 B 63 C 110 D 120 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， k 的值，当 S=120， k=127 时满足条件 k S 6，退出循环，输出 S 的值为 120 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， k=1 不满足条件 k S 6，执行循环体， S=1， k=3， 不满足条件 k S 6，执行循环体， S=4， k=7， 第 5 页（共 17 页） 不满足条件 k S 6，执行循环体， S=11， k=15， 不满足条件 k S 6，执行循环体， S=26， k=31， 不满足条件 k S 6，执行循环体， S=57， k=63， 不满足条件 k S 6，执行循环 体， S=120， k=127， 满足条件 k S 6，退出循环，输出 S 的值为 120 故选： D 4已知 m， n R，则 “0”是 “一次函数 y= + 的图象不经过第二象限 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 一次函数 y= + 的图象不经过第二象限，则 0， 0，可得 n 0， 0反之不成立，即可判断出结论 【解答】 解：一次函数 y= + 的图象不经过第二象限，则 0， 0， n 0， 0 反之不成立，可能 m， n 0此时直线经过第二象限 “0”是 “一次函数 y= + 的图象不经过第二象限 ”的必要而不充分条件 故选： B 5已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线的斜率之积为 2，焦距为 6，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲 线的简单性质 【分析】 求得双曲线的渐近线方程，由题意可得 b= a，再由 c=3，即 a2+，解得 a， b，即可得到所求双曲线的方程 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线方程为 y= x， 由题意可得 = 2， 即 b= a， 第 6 页（共 17 页） 由 2c=6，可得 c=3，即 a2+， 解得 a= ， b= ， 即有双曲线的方程为 =1 故选： C 6如图，圆 O 的两条弦 交于点 E，圆 O 的切线 延长线于 F 点，且 ： 2， F， ， ，则 长为（ ） A 6 B 5 C 2 D 2 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 利用相交弦定理可得： 利用切割线定理即可得出 【解答】 解：设 x，则 x， B=D 3x2x= ， 解得 x=1 ， 设 FB=y，则 FE=y+2= 由切割线定理可得： B （ y+2） 2=y（ y+5）， 解得 y=4， 故选： A 7已知 （ ， ）， ，则 ）的值为（ ） A B 2 C D 2 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由条件求得 ） 1，利用同角三角函数的基本关系求得 2）的值，再利用二倍角的余弦公式求得 ）的值 【解 答】 解： （ ， ）， ， （ ， ）， （ ，）， ） 1 第 7 页（共 17 页） 故 1+2， 2） = = ， 求得 ） = 2，故 ） = 2， 故选： D 8设函数 f（ x） = ，其中 m ， ），若 a=f（ ）， b=f（ 1），c=f（ 2），则（ ） A a c b B a b c C b a c D c b a 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据 m 的范围分别判断当 x 1 和 x 1 时的函数的单调性利用函数的大小和取值范围进行比较即可 【解答】 解： m ， ）， 当 x 1 时，函数 f（ x）为减函数，则 f（ 1） f（ 2），即b c， f（ 2） =， m ， ）， 1 即 1 ， m ， ）， 0 1 2m ，即当 x 1 时，函数 f（ x）为增函数， a=f（ ） = （ 1 2m） 3m= 1， a c b， 故选： A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 i 是虚数单位，若复数（ a+ 1+i） =7 3i，则 的值为 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由复数代数形式的乘法运算展开（ a+ 1+i） =a b+（ a+b） i，根据复数相等的条件列出方程组，求解即可得答案 第 8 页（共 17 页） 【解答】 解： （ a+ 1+i） =a b+（ a+b） i=7 3i， ， 解得 a=2， b= 5 则 = 故答案为： 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为上下部分组成，上面为一个球，下面为一个圆锥利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为上下部分组成，上面为一个球，下面为一个圆锥 该几何体的体积 = + = 故答案为： 11若函数 f（ x） =x+1 a（ ）在 x=1 处取得极值，则实数 a 的值为 2 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 求出 f（ x）的导数，根据 f（ 1） =0，求出 a 的值，检验即可 【解答】 解： f（ x） =x+1 a（ ）， f（ x） =1 ， f（ x）在 x=1 处取得极值， f（ 1） =1 =1 =0，解得： a=2， 第 9 页（共 17 页） 经检验， a=2 符合题意， 故答案为： 2 12若正实数 x， y 满足 10x+2y+60= 最小值是 180 【考点】 基本不等式 【分析】 根据基本不等式的性质得到 2 +60，令 xy=题转化为 4 t 60 0，解出即可 【解答】 解：由条件利用基本不等式可得： 0x+2y+60 2 +60， 令 xy= t= 0，可得 4 t 60 0 即得到： 80， 可解得 t 2 ， t 6 ， 又注意到 t 0，故解为 t 6 ， 所以 180 故答案为： 180， 13如图，在 ， 20， ， ， D 是 上的一点（包括端点），若 m， n，则 的值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 D 是边 的一点（包括端点），从而可设 ，且 0 1，从而 ，而 ，从而得到，根据条件进行数量积的运算便可得出，而由 的范围即可求出 的范围，从而得出 m， n 的值，进而便可求出 的值 【解答】 解：根据题意，设 ， 0 1； = = =1 +1 2 4 第 10 页（共 17 页） =2 7； 0 1； 5 2 7 2； 又 ； m= 5， n=2； 故答案为： 14关于 x 的方程 |x|+ =3 的最大实数根是 2 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 利用换元法设 t=|x|，结合一元二次方程的解法求出 t 的值，然后再次进行求解即可 【解答】 解：由 |x| 0 得 |x|（ |x|+4） 0，则 x 0， 设 t=|x|，则 t=|x|=（ |x|+2） 2 4 0， 则方程等价为 t+ =3，即 3t+2=0， 则（ t 1）（ t 2） =0， 则 t=1 或 t=2， 当（ |x|+2） 2 4=1 时，得（ |x|+2） 2=5， 则 |x|+2= ， 则 |x|= 2，则 x= 2 或 x=2 ， 当（ |x|+2） 2 4=2 时，得（ |x|+2） 2=6， 则 |x|+2= ， 则 |x|= 2，则 x= 2 或 x=2 ， 则最大的实根为 ， 故答案为： 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 . 15在锐角 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 c=2 （ ）求角 A； （ ）若 a= ，且 面积为 ，求 周长 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）利用正弦定理得出 关系，代入条件式得出 值； （ 据面积可得 ，代入余弦定理可求出 b+c 【解答】 解：（ I）在锐角 ， ， ， 又 ， 是锐角三角形， 第 11 页（共 17 页） A= （ ） = = ， 由余弦定理得 = = = ， 解得 b+c=5 周长为 16某酒厂生产 A、 B 两种优质白酒，生产每吨白酒所需的主要原料如表： 白酒品种 高粱（吨） 大米（吨） 小麦（吨） A 9 3 4 B 4 10 5 已知每吨 A 白酒的利润是 7 万元，每吨 B 白酒的利润是 12 万元，由于条件限制，该酒厂目前库存高粱 360 吨，大米 300 吨，小麦 200 吨 （ ）设生产 A、 B 两 种白酒分别为 x 吨、 y 吨，总利润为 z 万元，请列出满足上述条件的不等式组及目标函数； （ ）生产 A、 B 两种白酒各多少吨，才能获得最大利润？并求出最大利润 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 （ ）由题意写出不等式组 ，目标函数为 z=7x+12y； （ ）作出可行域，化 z=7x+12y 为 ，从而利用数形结合求解 【解答】 解：（ ）满足条件的不等式组为 ， 目标函数为 z=7x+12y； （ ）作出（ ）中不等式组所表示的可行域如图， 把 z=7x+12y 变形为 ， 其中 是这条直线在 y 轴上的截距 当直线 z=7x+12y 经过可行域上点 A 时，截距 最大，即 z 最大 解方程组 第 12 页（共 17 页） 得 A 点的坐标为 x=20， y=24 所以 x+12y=428 答：生产 A 白酒 20 吨、 B 白酒 24 吨，可获得最大利润为 428 万元 17如图，在五面体 ， 平面 G 为 B=E= （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 （ ）求直线 平面 成角的大小 【考点】 直线与 平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由 E 可得四边形 平行四边形，故而 是平面 （ 点 E 作 P，连接 过计算可得 E=E，由等腰三角形的性质得出 是 平面 而平面 平面 （ 明 平面 是直线 平面 成角等于 平面 成的角，故 为所求的角 【解答】 （ ）证 明： E， 四边形 平行四边形 面 平面 平面 （ ）证明：过点 E 作 P，连接 设 AF=a，则 D=PC=a， E= 等腰三角形 G 为 中点， 第 13 页（共 17 页） 又 平面 平面 G=G， 平面 面 平面 平面 （ ） D=A， 平面 为直线 平面 成角 ， 5 直线 平面 成的角为 45 18已知数列 前 n 项和为 ，且 =1 （ ）求 通项公式； （ ）若 （ n+ ） 为等差数列，求 的值 【考点】 等比关系的确定；数列递推式 【分析】 （ I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出 （ 用等比数列的前 n 项和公式、等差数列的通项公式即可得出 【解答】 解：（ ）依题意，可得 2， 当 n 2 时， 1=2 2（ 1 分） ，得 2， （ 3 分） 故 （ n 2） （ 4 分） 因为 ， ， （ 5 分） 所以 首项为 1，公比为 的等比数列，故 （ 6 分） （ ）解：由（ ）可得 （ 8 分） 由 为等差数列， 第 14 页（共 17 页） 则 ， ， 成等差数列 即 ， 故 ， 解得 =2 19设椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 A（ a， 0）、 B（ 0，b）满足条件 | | （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若坐标原点 O 到 直线 距离为 ，求椭圆 C 的方程； （ ）在（ ）的条件下，过点 P（ 2， 1）的直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点，且点 P 恰为线段 中点，求直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由 A， B 的坐标求得 |=a2+合 ，可得 2c2=a2+结合隐含条件求得离心率； （ ）由（ ）可得 b= ，写出直线 方程，由 O 到 直线 距离为 ，得，联立 b= ，求得 a， b 的值得答案； （ ）设 M、 N 两点的坐标分别为（ （ 把 M， N 的坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，再由直线方程的点斜式得直线 l 的方程 【解答】 解：（ ）依题意，得 |=a2+ ， （ 2 分） 则有 2c2=a2+b2= 即 2 ， （ 3 分） 离心率 ； （ 4 分） （ ）由（ ）可得 ， （ 5 分） 直线 截距式方程为 ，即 bx+， （ 6 分） 依题意，得 ， （ 7 分） 第 15 页（共 17 页） 由 ，解得 椭圆 C 的方程的方程为 ； （ ）设 M、 N 两点的坐标分别为（ （ 依题意，可知 ， ， 两式相减，得 P（ 2， 1）是线段 中点， x1+ 4， y1+， 则有 ，即直线 l 的斜率为 ，且直线 l 过点 P（ 2， 1）， 故直线 l 的方程为 ，即 2x 3y+7=0 20已知函数 f（ x） =31， a 0 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x）在 x= 1 处取得极值，且函数 g（ x） =f（ x） m 有三个零点，求实数 （ ）设 h（ x） =f（ x） +（ 3a 1） x+1，证明过点 P（ 2， 1）可以作曲线 h（ x）的三条切线 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （ ）求出 f（ 1），得到关于 a 的方程，解出即可求出 f（ x）的表达式，从而求出函数的单调区间，求出函数的极值，得到符合条件的 m 的范围即可； （ ）问题等价于方程 26=0 有三个不同解，设 （ t） =26，根据函数的单调性求出 （ t）的极大值和极 小值，从而证出结论 【解答】 （ ）解： f（ x） =33a=3（ a）， （