2016各地中考解析试卷分类汇编(第2期)点直线与圆的位置关系

点直线与圆的位置关系 一、 选择题： 1 （ 2016 海南 3 分） 如图， O 的直径，直线 O 相切于点 A， O 于点C，连接 P=40，则 度数为（ ） A 20 B 25 C 40 D 50 【考点】切线的性质 【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角 度数，然后利用圆周角定理来求 度数 【解答】解：如图， O 的直径，直线 O 相切于点 A， 0 又 P=40， 0， 5 故选： B 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理圆的切线垂直于经过切点的半径 2. （ 2016山东潍坊 3 分 ） 如图，在平面直角坐标系中， M 与 x 轴相切于点 A（ 8， 0），与 y 轴分别交于点 B（ 0， 4）和点 C（ 0， 16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ） A 10 B 8 C 4 D 2 【考点】 切线的性质；坐标与图形性质 【分析】 如图连接 H，先证明四边形 据垂径定理求出 求出 可 【解答】 解：如图连接 H M 与 x 轴相切于点 A（ 8， 0）， ， 0， 四边形 H， B=6， M=10， 在 ， = =2 故选 D 3. （ 2016湖北荆州 3 分 ） 如图，过 O 外一点 P 引 A、 点分别是A、 B， O 于点 C，点 D 是优弧 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 D，若 0， 则 度数是（ ） A 15 B 20 C 25 D 30 【分析】 根据四边形的内角和，可得 据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案 【解答】 解；如图 ， 由四边形的内角和定理，得 60 90 90 80=100， 由 = ，得 0 由圆周角定理，得 5， 故选： C 【点评】 本题考查了切线的性质，切线的性质得出 = 是解题关键，又利用了圆周角定理 二、 填空题 1.（ 2016黑龙江哈尔滨 3 分）如图， O 的直径，直线 l 与 O 相切于点 C， l，垂足为 D， O 于点 E，连接 ， ，则线段 长为 4 【考点】 切线的性质 【分析】 ，如图，有圆周角定理得到 0，加上 l，则可判断 利用切线的性质得 式可判断四边形 矩形，所以 F，接着利用勾股定理计算出 后利用垂径定理得到 长，从而得到 长 【解答】 解： F，如图， O 的直径， 0， l， 切线， C D， 四边形 矩形， F， 在 ， = =8， F=4， 故答案为 4 2. （ 2016内蒙古包头 3 分 ） 如图，已知 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 的切线与 延长线交于点 P，连接 A=30， 3，则 长为 【考点】 切线的性质 【分析】 在 ，根据 P=30， ，求出 可解决问题 【解答】 解： C， A=30， A=30， A+ 0， O 切线， 0， P=30， ， C ， ， O ， 故答案为 3. （ 2016湖北随州 3 分 ） 如图（ 1）， ， 、 证明 而有 A应用以上结论解决下列问题：如图（ 2），别与 、 B、 C、 D 四点，已知 ， ， ，则 【考点】 相似三角形的判定与性质；切线的性质 【分析】 如图 2 中，过点 P 作 O 的切线 点是 T，根据 AC出可解决问题 【解答】 解：如图 2 中，过点 P 作 O 的切线 点是 T AC ， ， ， 27=3 D 3= 4. （ 2016四川攀枝花 ） 如图， ， C=90， ， ， D 为 的中点，以 一点 O 为圆心的 O 和 相切，则 O 的半径为 【考点】切线的性质 【分析】 过点 0 作 ， 点 F根据切线的性质，知 后由三角形的面积间的关系（ S 出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可 【解答】解：过点 0 作 点 E， 点 F O 的切线， 点 E、 F 是切点， O 的半径； F； 在 ， C=90， ， ， 由勾股定理，得 ； 又 D 是 的中点， S 又 S E+ F= C，即 50E=23， 解得 ， O 的半径是 故答案为： 【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题 5 （ 2016四川南充 ） 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位： 直线 l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 【分析】根据已知条件得到 0， 0，根据勾股定理列方程得到 0，由勾股定理得到结论 【解答】解：如图，设圆 心为 O， 连接 直线 l 是它的对称轴， 0， 0， 302+02+（ 70 2， 解得 ： 0， =50， 能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 故答案为： 50 【点评】本题考查的圆内接四边形，是垂径定理，根据题意画出图形 ，利用数形结合进行解答是解答此题的关键 5.（ 2016黑龙江齐齐哈尔 3 分 ） 如图，若以平行四边形一边 直径的圆恰好与对边 ，则 C= 45 度 【考点】 切线 的性质；平行四边形的性质 【分析】 连接 要证明 等腰直角三角形即可推出 A=45，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题 【解答】 解；连接 O 切线， 四边形 平行四边形， 0， D， A= 5， C= A=45 故答案为 45 三、解答题 1. （ 2016湖北随州 8 分 ） 如图， O 的弦，点 C 为半径 中点，过点 C 作 B 于点 E，连接 B （ 1）判断 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）若 5， 0， ，求 O 的直径 【考点】 直线与圆的位置关系；垂径定理；相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）连接 圆的半径相等和已知条件证明 0，即可证明 （ 2）过点 D 作 G，根据等腰三角形的性质得到 ，由两角相等的三角形相似， 用相似三角形对应角相等得到 ，在，利用勾股定理求出 长，根据 三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果 【解答】 （ 1）证明：连接 A， B， A= 又 A+ A+ 0， 0， O 的切线； （ 2）如图，过点 D 作 G， B， ， 0， A， = ，即 3， 在 ， =12， 5， 3， ， = ， ， O 的直径 2 2. （ 2016湖北武汉 8 分 ） 如图，点 C 在以 直径的 O 上， 过点 C 的切线垂直，垂足为点 D， O 于点 E (1) 求证： 分 (2) 连接 点 F，若 4，求 【考点】 切线的性质；考查了切线的 性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系的应用 【答案】 (1) 略 ； (2)79【解析】 （ 1）证明：连接 分 （ 2）解：连接 点 H，易证 知 5，设 4,5，则 3 又 3x，则 5x， 4x， 2x 3x 3 2x 4 在 ，（ 2x） 2（ 3x 3） 2（ 2x 4） 2 化简得： 92x 7 0，解得： x79（另一负值舍去） 5759AF 3. （ 2016江西 8 分 ） 如图， O 的直径，点 P 是弦 一动点（不与 A， C 重合），过点 P 作 足为 E，射线 于点 F，交过点 C 的切线于点 D （ 1）求证： P； （ 2）若 0，当 F 是 的中点时，判断以 A， O， C， F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由 【考点】 切线的性质；垂径定理 【分析】 （ 1）连接 用圆周角 定理和切线的性质可得 B= 得 B，等量代换可得 证得结论； （ 2）由 0易得 等边三角形，可得 20，由 F 是 的中点，易得 为等边三角形，可得 O=F，易得以 A， O， C， F 为顶点的四边形是菱形 【解答】 （ 1）证明：连接 O 的直径， 0， 0， B= B=90， 切线， 0， 0， B= B， C； （ 2）解：以 A， O， C， F 为顶点的四边形是菱形； 0， B=60， 等边三角形， 20， 连接 F 是 的中点， 0， 为 等边三角形， O=F， 四边形 菱形 4. （ 2016辽宁丹东 10 分 ） 如图， O 的直径，点 C 在 ， 延长线于点 E （ 1）求证： A； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 切线的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）连接 O 切线，得到 0，根据 O 的直径，得到 0，等量代换得到 据等腰直角三角形的性质得到 A，即可得到结论； （ 2）根据垂直的定义得到 E= 0，根据平行线的性质得到 据相似三角形的性质得到 ，解方程即可得到结论 【解答】 （ 1）证明：连接 O 切线， 0， 即 0， O 的直径， 0， 即 0， D， A， A； （ 2） E= 0， A， A= E= E， ， E 16=2（ 2+ 5. （ 2016四川南 充 ） 如图，在 ， 0， 平分线交 点 O，以点 O 为圆心 半径作半圆 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）如果 ，求 【分析】（ 1）如图作 M，根据角平分线性质定理，可以证明 C，由此即可证明 （ 2）设 BM=x， OB=y，列方程组即可解决问题 【解答】解：（ 1）如 图作 M， 分 M， O 的切线， （ 2）设 BM=x， OB=y，则 ， = ， = ， x=y2+y ， 由 可以得到 ： y=3x 1， （ 3x 1） 2 ， x= ， y= ， = 【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线， 学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型 6 （ 2016四川内江 ） (10 分 )如图 9，在 ， 90， 垂直平分线分别与 延长 线相交于点 D， E， F O 是 外接圆， 平分线交 点 G，交 O 于点 H，连接 (1)试判断 O 的位置关系，并说明理由； (2)当 1 时，求 (3)在 (2)的条件下，求 B 的值 考点 切线的性质与判定定理，三角形的全等，直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。 (1)直线 O 相切理由如下： 如图，连接 边上的中线， C C 90， 90 O 相切； 3 分 (2)连接 1， 2 直平分 2 1 2 4 分 C 90， 90， 又 90， 1 2 5 分 12 (1 2 )2 4 2 2 6 分 S O 14222 7 分 (3) 90， 45 C 8 分 D G H O C E F B A 答案图 D G H O C E F B A 图 9 H 90 分 45 1， 1 2 9 分 2 G 2 (1 2 ) 2 2 10 分 3 （ 2016四川宜宾） 如图 1，在 ， 0， 的角平分线，以 O 为圆心， 半径作圆交 点 G （ 1）求证 ：直线 O 的切线； （ 2）在图 2 中，设 O 相切于点 H，连结 D 是 O 的劣弧 上一点，过点 D 作 O 的切线，交 点 B，交 ，已知 P 周长为 4， ，求 长 【考点】 切线的判定与性质 【分析】 （ 1）作 的角平分线，得到 = ，判断出 P 到 O H= O A，用 “圆心到直线的距离等于半径 ”来得出直线 O 的切线； （ 2）先利用切线的性质和 P 周长为 4 求出 ，再用三角函数求出后用三角形相似，得到 勾股定理求出 后用切割线定理即可 【解答】 证明：（ 1）如图 1， 作 0， 0， 角平分线， 在 P ， A， O 的半径， O 的半径， 直线 O 的切线 （ 2）如图 2，连接 O 的切线， A， H， 周长为 4， C+， C+D B+D C=4， B+P C+， H=4， O 的切线， H， ， 由 （ 1）得， P 0， 90， 0， 90， ， = ， ， ， 0， = ， = = = ， A E=2 G+ G=4 ， O 的切线， 是 O 的割线， A= （ = （ +2） = ， 4.（ 2016湖北黄石 8 分 ） 如图， O 的直径为 C 在圆周上（异于 A， B）， （ 1）若 ， ，求 值； （ 2）若 证：直线 O 的切线 【分析】 （ 1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得长即可； （ 2）连接 可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得 可得到 于 么 此得证 【解答】 （ 1）解： O 直径， C 在 O 上， 0， 又 ， ， 由勾股定理得 ； （ 2）证明： 又 0， 又 C， 0， 0， O 的切线 【点评】 此题主要考查的是切线的判定方法要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 5 （ 2016湖北黄石 12 分 ） 如图 1 所示，已知：点 A（ 2， 1）在双曲线 C： y= 上，直线 y= x+2，直线 2， 2）， 2， 2）两点间的连线与曲线 C 在第一象限内的交点为 B， P 是曲线 C 上第一象限内异于 P作 x 轴平行线分别交 ， N 两点 （ 1）求双曲线 C 及直线 （ 2）求证： N=4； （ 3）如图 2 所示， 1， R， S，求证：点 Q 与点 参考公式：在平面坐标系中，若有点 A（ B（ 则 A、B= ） 【分析】 （ 1）利用点 a 的值，根据原点对称的性质找出直线 出解析式； （ 2）设 P（ x， ），利用两点距离公式分别求出 长，相减得出结论； （ 3）利用切线长定理得出 ，并由（ 2）的结论 得出 ，再由两点间距离公式求出 算出 出点 Q 与点 【解答】 解：（ 1）解：把 A（ 2， 1）代入 y= 中得： a=（ 2） （ 1） =2， 双曲线 C： y= ， 直线 x 轴、 y 轴的交点分别是（ 2， 0）、（ 0， 2），它们关于原点的对称点分别是（ 2，0）、（ 0， 2）， y= x 2 （ 2）设 P（ x， ）， 由 2， 2）得： x 2） 2+（ 2） 2=4x+ +8， x+ 2） 2， x+ 2= = 0， x+ 2， x 轴 E+E+EF=x+ 2， 同理 ， x+2） 2+（ +2） 2=（ x+ +2） 2， x + +2， PN=x+ +2 因此 N， N N=4， （ 3） 1， R， S， 又 1 ， 2， ， B（ ， ）， = 所以，点 Q 与点 【点评】 此题主要考查了圆的综合应用以及反比例函数的性质等知识，将代数与几何融合在一起，注意函数中线段的长可以利用本题给出的两点距离公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本题需要我们熟练各部分的内容， 对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来 6 （ 2016湖北荆门 8 分 ） 如图， O 的直径， O 的弦，点 F 是 长线的一点， 分 O 于点 C，过点 C 作 足为点 E （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 O 的半径 【考点】 切线的判定；角平分线的性质 【分析】 （ 1）证明：连接 得 平行线的判定得到 证得 可证得结论； （ 2）证明：连接 圆周角定理得到 0，再证得 据相似三角形的性质即可证得结论 【解答】 （ 1）证明：连接 C， 分 O 的切线； （ 2）证明：连接 在 ， = = ， O 的直径， 0， = ， ， ， O 的半径为 7 （ 2016湖北荆州 10 分 ） 如图， A、 F、 B、 C 是半圆 O 上的四个点，四边形 平行四边形， 5，连接 点 E，过点 C 作 平行线交 延长线于点 D，延长 直线 点 H （ 1）求证： 半圆 O 的切线； （ 2）若 3 ，求 半径 长 【分析】 （ 1）连接 据已知条件得到 到 0，根据圆周角定理得到 0，根据平行线的性质得到 切线的判定定理即可得到结论； （ 2）根据平行线的性质得到 0，解直角三角形得到 出 据相似三角形的性质得到 ，求得 ，根据直角三角形的性质即可得到结论 【解答】 解：（ 1）连接 B= 四边形 平行四边形， C， 0， 5， 30， 0， 半圆 O 的切线； （ 2） 0， ， 3 ， ， A， A（ 2 ）， 0， = = ， 解得： 【点评】 本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接 8 （ 2016湖北荆州 10 分 ） 如图， A、 F、 B、 C 是半圆 O 上的四个点，四边形 平行四边形， 5，连接 点 E，过点 C 作 平行线交 延长线于点 D，延长 直线 点 H （ 1）求证： 半圆 O 的切线； （ 2）若 3 ，求 半径 长 【分析】 （ 1）连接 据已知条件得到 到 0，根据圆周角定理得到 0，根据平行线的性质得到 切线的判定定理即可得到结论； （ 2）根据平行线的性质得到 0，解直角三角形得到 出 据相似三角形的性质得到 ，求得 ，根据直角三角形的性质即可得到结论 【解答】 解：（ 1）连接 B= 四边形 平行四边形， C， 0， 5， 0， 0， 半圆 O 的切线； （ 2） 0， ， 3 ， ， A， A（ 2 ）， 0， = = ， 解得： 【点评】 本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接 9. （ 2016青海西宁 10 分 ） 如图， D 为 O 上一点，点 C 在直径 延长线上，且 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）过点 O 的切线交 延长线于点 E， ， 求 长 【考点】 切线的判定与性质 【分析】 （ 1）连 据圆周角定理得到 1=90，而 1，于是 0； （ 2）根据已知条件得到 相似三角形的性质得到 ，求得 ，由切线的性质得到 E， 据勾股定理列方程即可得到结论 【解答】 （ 1）证明：连结 D， 又 O 的直径， 0， 90， 0， 即 0， O 半径， O 的切线 （ 2）解： C= C， ， ， ， O 的切线 E， 2=（ 4+2 解得： 10. （ 2016陕西 ） 如图，已知： O 的弦，过点 C O 于点 C，过点 O 的切线交 延长线于点 D，取 中点 E，过点 E 作 延长线于点 F，连接 延长交 延长线于点 G 求证： （ 1） G； （ 2） C 【考点】 相似三角形的判定 与性质；垂径定理；切线的性质 【分析】 （ 1）由平行线的性质得出 线段垂直平分线的性质得出 D，由等腰三角形的性质得出 D，证出 G，由对顶角相等得出 G，即可得出结论； （ 2）连接 圆周角定理证出 O 的直径，由弦切角定理得出 出 G，再由 0，证明 出对应边成比例，即可得出结论 【解答】 证明：（ 1） E 是 中点， D， D， G= D+ 0， G， G ， G； （ 2）连接 图所示： O 的直径， O 的切线，切点为 C， G， G， 0， = ， C 11. （ 2016四川眉山 ） 九年级三班学生苏琪为帮助同桌万宇巩固 “平面直角坐标系四个象限内及坐标轴上 的点的坐标特点 ”这一基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写上了 3， 0， 2 三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为 a，再从剩下的两张中随机取出一张，将卡片上的数字记为 b，然后叫万宇在平面直角坐标系中找出点M（ a， b）的位置 （ 1）请你用树状图帮万宇同学进行分析，并写出点 M 所有可能的坐标； （ 2）求点 M 在第 二象限的概率； （ 3）张老师在万宇同学所画的平面直角坐标系中，画了一个半径为 3 的 O，过点 M 能作多少条 O 的切线？请直接写出答案 【分析】 （ 1）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数； （ 2）根据第二象限点的坐标特征找出点 M 在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解； （ 3）画出图形得到在 O 上的有 2 个点，在 O 外的有 2 个点，在 O 内的有 2 个点，则利用切线的定义可得过 O 上的有 2 个点分别画一条切线，过 O 外的有 2 个点分别画 2条切线，但其中有 2 组切线重合，于是可判断过点 M 能作 4 条 O 的切线 【解答】 解：（ 1）画 树状图为 共有 6 种等可能的结果数，它们是（ 3， 0）、（ 3， 2）、（ 0， 3）、（ 0， 2）、（ 2， 3）、（ 2， 0）； （ 2）只有（ 3， 2）在第二象限， 所以 点 M 在第二象限的概率 = ； （ 3）如图，过点 M 能作 4 条 O 的切线 【点评】 本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 的概率利用切线的定义可解决（ 3）小题，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键 12.（ 2016福建龙岩 10 分）如 图， O 的直径， C 是 O 上一点， B， （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 值 【考点】 切线的判定 【分析】 （ 1）连接 圆周角定理得出 0，由等腰三角形的性质得出 B= 出 0，即可得出结论； （ 2）证明 出 D可得出结果 【解答】 （ 1）证明：连接 图所示： O 直 径， 0， C， B= 又 B， 0， 即 O 的切线； （ 2）解： 0， 又 B， D4=4， 13.（ 2016广西百色 10 分）如图，已知 O 的直径， O 的切线， ， 延长线交 点 E （ 1）求证： 1= （ 2）若 C=2，求 O 的半径 【考点】 切线的性质 【分析】 （ 1）由 O 的直径， O 的切线，易证得 而证得结论； （ 2）由（ 1）易证得 后由相似三角形的对应边成比例，求得 长，再利用勾股定理，求得答案 【解答】 （ 1）证明： O 的直径， 0， 0， O 的切线， 0， D， 1= 1= （ 2）解： 1= C= C， E： A C=2， E+， ， 设 O 的半径为 x，则 D=x， 则 ， 2=（ 2 +x