信号分析与处理杨西侠课后答案二三五章.doc

2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别1）x1(t) = sin W tu(t)1-123tx1(t)042）x2(t) = sin W ( t t0 ) u(t)01t0tx2(t)-1 3）x3(t) = sin W tu ( t t0 )01t0tx3(t)4）x2(t) = sin W ( t t0 ) u ( t t0 )01t0tx4(t)-12-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图01tx(t)-1123图 2-76（1）x ( t-2 )01tx ( t-2 )-11234（2）x ( t+2 )-31tx ( t+2 )-4-2-101（3）x (2t)01tx(2t)-1123（4）x ( t/2 )01tx ( t/2 )-11234-2（5）x (-t)-31tx (-t)2-2-101（6）x (-t-2)x (-t-2)-51t0-4-3-2-11（7）x ( -t/2-2 )-51t0-4-3-2-11x ( -t/2-2 )-7-6-8（8）dx/dt01tdx/dt-1123-2- (t-2)2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值(1)(t) dt = x(-t0)(2)(t) dt = x(t0)(3) u(t -) dt = u()(4) u(t 2t0) dt = u(-t0)(5)(t+2) dt = e2-2(6)(t-) dt = + (7) = = 1- = 1 cost0 + jsint02-4 求下列各函数x1(t)与x2(t) 之卷积，x1(t)* x2(t)(1) x1(t) = u(t), x2(t) = e-at u(t) ( a0 )x1(t)* x2(t) = = = (2) x1(t) =(t+1) -(t-1) , x2(t) = cos(t + ) u(t)x1(t)* x2(t) = cos(t+1)+u(t+1) cos(t-1)+u(t-1)(3) x1(t) = u(t) u(t-1) , x2(t) = u(t) u(t-2)x1(t)* x2(t) =当 t 0时，x1(t)* x2(t) = 0当 0t 1时，x1(t)* x2(t) = = t当 1t 2时，x1(t)* x2(t) = = 1当 2t3时，x1(t)* x2(t) = =3-t当 3t时，x1(t)* x2(t) = 0x1(t)* x2(t)01t123(4) x1(t) = u(t-1) , x2(t) = sin t u(t)x1(t)* x2(t) = = 1- cos(t-1)2-5 已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期( 0tT )的波形(1) x(t)是偶函数，只含有偶次谐波分量f(t) = f(-t), f(t) = f(tT/2)tT/203T/4T/4T-T/4-T/2f(t)(2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量f(t) = f(-t), f(t) = -f(tT/2)tT/203T/4T/4T-T/4-T/2f(t)(3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量f(t) = f(-t)tT/203T/4T/4T-T/4-T/2f(t)(4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量f(t) = -f(-t), f(t) = -f(tT/2)tT/203T/4T/4T-T/4-T/2f(t)(5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量f(t) = -f(-t), f(t) = f(tT/2)tT/203T/4T/4T-T/4-T/2f(t)(6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量f(t) = -f(-t)tT/203T/4T/4T-T/4-T/2f(t)tT/203T/4T/4T-T/4-T/2f(t)2-6 利用信号x(t)的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量(a) t2T-2T-T0x(t)T这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量，因为去除直流后为奇函数。(b)t0Tx (t)-T这是一个奇函数。也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。(c)tT-T-T/20x(t)T/2除去直流分量后是奇函数，又f(t) = f(tT/2)，是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波。(d)t0T/2x (t)-T/2T-T正负半波对称，偶函数，奇谐波函数，所以只含有基波、奇次余弦分量。(e)t0T/2x (t)-T/2T奇函数、正负半波对称，所以只含有正弦分量（基、谐）(f)tT-T-T/20x(t)T/2正负半波对称、奇函数、奇谐波函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。2-7 试画出x(t) = 3cos1t + 5sin21t的复数谱图（幅度谱和相位谱）解：a0 = 0, a1 = 3, b2 = 5, c1 = 3, c2 = 5|x1| = |(a1-jb1)| = , |x2| = c2 = 1 = arctan (-) = 0, -1= 02 = arctan (-) = -, -2= 3-1121n1|xn|0-2112-1121n10-21/2-/22-8 求图2-8所示对称周期矩形信号的傅里叶级数t0Tx (t)-TE/2-E/2T/2-T/2解：这是一个正负半波对称的奇函数，奇谐函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。 bn = = = = = ，n为奇数，n = 1，3，5 = 0 ，n 为偶数，n = 2，4，6 x(t) = 指数形式的傅里叶级数 0 , n = 0, 2, 4 Xn= (an-jbn) = , n = 1, 3, 5 x(t) = a0 + 2-9 求图2-9所示周期信号的傅里叶级数t0T/2x (t)-T/2TT/43T/4E解：此函数是一个偶函数 x(t) = x(-t) 其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量ao = = + + = + + E = = an = = = = , n = 1, 2, x(t) = 2-10 若已知Fx(t) = X()利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换(1) x(2t5)(2) x(1t)(3) x(t) cos t解：(1) 由时移特性和尺度变换特性可得F x( 2t - 5) =(2) 由时移特性和尺度变换特性F x(at) = F x(t-t0) = F x(1t) = (3) 由欧拉公式和频移特性cos t = F = X(0)0 = 1F x(t) cos t = X(1) + X(+1)2-11已知升余弦脉冲x(t) = 求其傅里叶变换解：x(t) = u( t +)u( t)求微分 = = =+ = + 由微分特性可得：( j)3 X() = X() = 2-12已知一信号如图2-81所示，求其傅里叶变换t-/20x(t)/2解：(1) 由卷积定理求x(t) = * = = 由时域卷积定理X() = = (2) 由微分特性求 ， t 0 = ，0 t = ( t +) +( t)2(t)由微分特性( j)2 X() = X() = 2-13已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图2-82所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱解： = E u( t + )u( t) = x(t) = ( t + )( t)由时移特性和线性性X() = = 2j = 2j02E-2-14已知三角脉冲x1(t)的傅里叶变换为X1() = 试利用有关性质和定理求x2(t) = x1(t) cos0t的傅里叶变换解：由时移性质和频域卷积定理可解得此题由时移性质F x1 (t) = 由频移特性和频域卷积定理可知：F x(t )cos0t= X(0)+ X(+0)X2 () = F x1 (t)cos0t= X1 (0) + X(+0) = Sa2+ Sa22-15求图2-82所示X()的傅里叶逆变换x(t)-00|X()|0A-00|X()|0A-00()0/2-00()0a)b)/2-/2-/2解：a) X() = | X()| = 由定义：x(t) = = = = = = b) =+=+=+=2-16确定下列信号的最低抽样频率与抽样间隔(1) Sa(100t)(2) Sa2(100t)(3) Sa(100t)+ Sa2(100t)解：(1)由对偶性质可知：Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为-100,100即m = 100 =2fm fm = 由抽样定理 fs 2fm fs 2 = Ts (2) 由对偶性质可知Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为-100,100又由频域卷积定理可知Sa2(100t)的频谱是脉宽为200,200的三角形脉冲即m = 200 =2fm fm = 由抽样定理 fs 2fm fs 2 = Ts (3) 由线性性质可知Sa(100t)+ Sa2(100t) 的频谱是Sa(100t)和Sa2(100t)之和其m =2fm= 200即 fm = 则fs 2fm = Ts 2-17已知人的脑电波频率范围为045Hz，对其作数字处理时，可以使用的最大抽样周期T是多少？若以T = 5ms抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能不是真的回复原信号，问理想低通滤波器的截至频率fc应满足什么条件？f-450x(f)45解：由已知条件，可知fm = 45Hz由抽样定理fs 2fm = 90Hz T T = 0.005 fs = = = 200f-450x(f)45200由抽样定理和低通滤波可知45 fc 200-45 = 155即45 fc 1552-18若Fa(t) = X(), 如图2-85所示，当抽样脉冲p(t)为下列信号时，试分别求抽样后的抽样信号的频谱X s (), 并画出相应的频谱图-10X()1图 2-851(1) p(t) = cos t(2) p(t) = cos2 t(3) p(t) = (4) p(t) = 解：由抽样特性可知x s = x(t) p(t)-20X s ()118 (1)11/2-12由频域卷积定理可知X s () = (1) P() = (+1)+(-1) X s () = -20X s ()118 (2)11/2-12-33 = (2) P() = (+2)+(-2) X s () = = -20X s ()118 (3)-12-33(3) P() = = X s () = = -20X s ()118 (3)-12-33(4) P() = = X s () = = Xp (1) = 2, Xp (2) = 0, Xp (3) = 23-1 解：序列频谱的定义为 = (1) = = 1(2) = = (3) = = + 1 += 1 + = 1 +(4) = = = (0 a 0 |z| 1H() = = 可以看出当时，| H() | 是低通滤波5-3 图5-40是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选用一种合适的转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)xa(t)CRya(t)解：由回路法可知（这是一个高通滤波器）ya(t)= = Ha(s)由于脉冲响应不变法只适宜于实现带通滤波器，所以最好用双线性变换法实现H(z)H(z) =5-4 设模拟滤波器的系统函数为Ha(s)= ，式中c是模拟滤波器的3dB带宽，利用双线性变换，设计一个具有0.2的3dB带宽的单极点低通数字滤波器解：由预畸可知= Ha(s) =由双线性变换法可得H(z) =5-5 要求通过模拟滤波器设计数字滤波器，给定指标：3dB截至角频率c=/2，通带内p=0.4处起伏不超过1dB，阻带内s=0.8处衰减不小于20dB，用Butterworth滤波特性实现（1）用冲击响应不变法（2）用双线性变换法解：（1）用冲击响应不变法 先将数字指标转换为低通原型模拟滤波器指标=设计模拟滤波器，求出Ha(s)Butterworth的频响函数为= = n = =2.14 取 n = 3 求= = c = rad/s = = 0.372 = 设T = 1, 则 = 0.372 求Ha(s)查表可得 Ha(s) = 由冲击响应不变法先将Ha(s)分解成部分分式Ha(s) =+ =则H(z) =+ =（2）用双线性变换法由预畸求模拟滤波器原型指标=设计模拟滤波器，求出Ha(s)Butterworth的频响函数为= = n = =1.51取n =2求=取T=1 =rad/s = = 2.862求Ha(s)查表可得：=Ha(s) = = =由双线性变换法求H(z) =5-6 已知图5-41h1(n)是偶对称序列N=8，h2(n)是h1(n)圆周位移后的序列。设H1(k)=DFTh1(n), H2(k)=DFTh2(n)(1) 问|H1(k)| = |H2(k)|是否成立？1(k)与2(k)有什么关系？(2) h1(n)，h2(n)各构成低通滤波器，试问它们是线性相位的？延时是多少？(3) 这两个滤波器的性能是否相同？为什么？若不同谁优谁劣？解：(1) 由DFT的时移定理DFTxp(n-m)RN(n)= 可知H1(k)和H2(k)只有相位差，幅值相等，即有|H1(k)| = |H2(k)|1(k)和2(k)相差即2(k)1(k)= =(2) 无论h1(n)，h2(n)都是偶对称序列 所以他们构成的低通滤波器具有线性相位延时 =3.5(3) 不相同，相位相差kh1(n)要优于h2(n)，因为其相位滞后时间少5-7用矩形容器设计一个近似理想频率响应的FIR线性相位的数字滤波器 Hd() = 0，(1) 求出相应于理想低通的单位脉冲响应hd(n)(2) 求出矩形窗设计法的h(n)表达式确定与N之间的关系(3) N取奇数或偶数对滤波特性有什么影响？解：(1) hd(n)= = = (2) h(n)= hd(n) RN(n), h(n)只能取偶对称序列，由线性相位=(3) 由于N无论取奇数还是偶数，都可实现低通滤波，而且只要N的取值使h(n)为关于的偶对称函数，就能保证线性相关，另外N的大小，只影响余振的多少和过滤带的窄宽，不会影响阻带良域。5-8用矩形容器设计一个线性相位高通FIR数字滤波器 Hd() = 0，(1) 求出响应于理想高