[理学]03西南大学-通信原理-第三章-随机过程

通信原理,主讲教师：高 渤 ,含弘光大 继往开来,2,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,3,通信原理【 第三章：随机过程】,学习目标, 学习要点1、随机过程的基本概念；2、随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；3、平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；4、高斯过程的定义和性质、一维概率密度和分布函数；5、随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；6、窄带随机过程的表达式和统计特性；7、正弦波加窄带高斯过程的统计特性；8、高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。,4,通信原理【 第三章：随机过程】,学习目标, 重点1、概念： 随机过程的定义；狭义平稳和广义平稳；各态历经的含义与意义；高斯过程的性质；窄带过程的两个结论；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；功率谱密度的意义。2、计算： 数字特征（均值、方差、相关函数）；一维概率密度函数和分布函数；平稳过程自相关函数的性质；维纳辛钦定理；随机过程的总（平均）功率；平稳过程、高斯过程、白噪声通过线性系统。,5,通信原理【 第三章：随机过程】,学习目标, 难点1、平稳过程与各态历经性。2、平稳过程的几个关系。3、各态历经性的意义。4、自相关函数的意义。5、随机过程是否存在傅里叶变换。6、功率谱密度（PSD）的意义和求法。7、功率谱密度（PSD）的求法。8、随机过程（归一化）平均功率的几种求法。9、独立、相关、正交的关系。,6,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,7,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,引 言 在通信系统的分析中，随机过程（random process）是非常重要的数学工具。通信中的信源、噪声以及信号传输特性都可以使用随机过程来描述。, 什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：,1）角度1： 对应不同随机试验结果的时间过程的集合，即随机过程是所有样本函数的集合。,8,通信原理【 第三章：随机过程】,接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的。,全部样本函数的集合： ，就是一个随机过程。,第一节 随机过程,例：n台示波器同时观测并记录n台接收机的输出噪声波形。,9,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,在任一给定时刻 t1上，每一个样本函数 都是一个确定的数值 ，但是每个 都是不可预知的。在一个固定时刻 t1上，不同样本的取值是一个随机变量，记为 。,2）角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。,可见，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。,随机过程具有随机变量和时间函数的特点。,10,通信原理【 第三章：随机过程】,一、随机过程的分布函数 设 表示一个随机过程，则它在任意时刻t1 的值 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。,第一节 随机过程,1、随机过程 一维分布函数：,2、随机过程 的一维概率密度函数：,（上式存在偏导）,11,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,3、随机过程 二维分布函数：,4、随机过程 的二维概率密度函数：,（上式存在偏导）,5、随机过程 的n维分布函数：,6、随机过程 的n维概率密度函数：,12,通信原理【 第三章：随机过程】,二、随机过程的数字特征（） 实际运用中，往往不容易或不需要求出分布函数或概论密度函数，而是用数字特征来描述随机过程的主要特征。,第一节 随机过程,1、均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 是一个随机变量，其均值定义为：,由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x，这样上式就变为,13,通信原理【 第三章：随机过程】,的均值是时间的确定函数，常记作 ，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心：,第一节 随机过程,14,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,2、方差： 随机过程的方差定义为：,由于t1是任取的，所以也把t1直接写为t，因为,方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值 的偏离程度。,15,通信原理【 第三章：随机过程】,3、相关函数 在描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的关联程度时，常采用协方差函数和自相关函数。,第一节 随机过程,1）协方差函数,式中 、 是在t1和t2时刻得到的 的均值 ; 是 的二维概率密度函数。,16,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,2）自相关函数,式中， 和 分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量可以看出， 是两个变量t1和t2的确定函数。, 自相关函数和协方差函数之间的关系,17,通信原理【 第三章：随机过程】,第一节 随机过程,4、互相关函数 描述两个或两个以上随机过程之间的关联程度时，常采用互相关函数。,18,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,19,通信原理【 第三章：随机过程】,一、平稳随机过程（stationary random process ）的定义 1、定义： 若一个随机过程（t）的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有,第二节 平稳随机过程,则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。,20,通信原理【 第三章：随机过程】,2、性 质1）平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的 一维分布函数与时间t无关，即 ；,第二节 平稳随机过程,2）二维分布函数只与时间间隔 有关，即,3、数字特征,1）其均值与 t 无关，为常数a，即,2）自相关函数只与时间间隔有关，即,21,通信原理【 第三章：随机过程】,能同时满足1）、2）的随机过程定义为广义平稳随机过程（generalized stationary random process）。 显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。,第二节 平稳随机过程,在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。 通信中通常对广义平稳随机过程（简称平稳过程）进行研究和分析。,22,通信原理【 第三章：随机过程】,二、各态历经性（ergodicity ）,第二节 平稳随机过程,1、问题的提出： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。那么，能否从一次试验而得到的一个样本函数x（t）来决定平稳过程的数字特征呢？,平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。 具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,23,通信原理【 第三章：随机过程】,2、各态历经性条件 设 是平稳过程 的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：,第二节 平稳随机过程,如果平稳过程使下式成立,则称该平稳过程具有各态历经性。,平稳过程的统计平均值等于它任一次实现的时间平均值,24,通信原理【 第三章：随机过程】, “各态历经”的含义： 随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,第二节 平稳随机过程,25,通信原理【 第三章：随机过程】,例3-1 设一个随机相位的正弦波为 ，其中 A和c均为常数；是在（0，2）内均匀分布的随机变 量。试讨论（t）是否具有各态历经性。,第二节 平稳随机过程,解:（1）先求（t）的统计平均值。,数学期望,26,通信原理【 第三章：随机过程】,自相关函数,第二节 平稳随机过程,令t2 t1 = ，得到,可见，（t）的数学期望为常数，自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以（t）是广义平稳过程。,27,通信原理【 第三章：随机过程】,第二节 平稳随机过程,（2）求（t）的时间平均值。,比较统计平均与时间平均，有,因此，随机相位余弦波是各态历经的。,28,通信原理【 第三章：随机过程】,三、平稳过程的自相关函数 自相关函数是描述平稳过程特性的一个特别重要的函数。它不仅可以描述平稳过程的数字特征，还与平稳过程的谱特性有着内在的联系。,第二节 平稳随机过程,1、自相关函数定义：,2、自相关函数性质：,1）（t）的平均功率：,2）的偶函数：,3）R()的上界：,自相关函数在 = 0有最大值,29,通信原理【 第三章：随机过程】,第二节 平稳随机过程,4）（t）的直流功率：,5）（t）的交流功率（方差）：,当均值为0时，有,30,通信原理【 第三章：随机过程】,四、平稳过程的功率谱密度 平稳过程的频谱特性可用它的功率谱密度（PSD）来描述。,第二节 平稳随机过程,1、定义 对于任意的确定功率信号f（t），它的功率谱密度定义为,式中， 是 的截短函数所对应的频谱函数为,31,通信原理【 第三章：随机过程】,对于平稳随机过程 ，可以把 当作是 的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。 因此，过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 的功率谱密度可以定义为,第二节 平稳随机过程,问题：实际中，根据定义式计算功率谱密度并不容易，那么如 何方便地求解功率谱呢？,方法：非周期功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是 一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立。,32,通信原理【 第三章：随机过程】,2、功率谱密度的计算（维纳辛钦关系）,第二节 平稳随机过程,简记为,以上关系称为维纳辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。,33,通信原理【 第三章：随机过程】,3、结 论1）当 时，对PSD进行积分，则可得到平稳过程的总功率,第二节 平稳随机过程,上式从频域的角度给出了过程（t）平均功率的计算方法。,时域计算方法：（t）的平均功率为,2）各态历经过程的任一样本函数的PSD等于过程的PSD。即， 每一样本函数的谱特性都能表现整个过程的的谱特性。,3）PSD具有非负性和实偶性，即,34,通信原理【 第三章：随机过程】,例3-2 求随机相位余弦波 的功率谱密度 和平均功率。,第二节 平稳随机过程,解：,在例3-1中，已知随机相位余弦波是一个平稳过程，并且其自相关函数为,又因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换 ，即有,所以，功率谱密度为,平均功率为,35,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,36,通信原理【 第三章：随机过程】,一、定义 如果随机过程 （t）的任意n维（n =1,2,.）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,n维正态概率密度函数表示式为：,式中,37,通信原理【 第三章：随机过程】,式中，|B | 归一化协方差矩阵的行列式，即,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,|B|jk 行列式|B |中元素bjk的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即,38,通信原理【 第三章：随机过程】,二、重要性质,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,1、高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和 归一化协方差（只需要研究它的数字特征就可以了）。,2、若高斯过程是广义平稳的，则也是严平稳的。,3、如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也 是统计独立的。,5、高斯过程经线性变换（或线性系统）后过程仍是高斯过程。,4、若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程。,39,通信原理【 第三章：随机过程】,三、高斯随机变量,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,1、定 义 高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为,40,通信原理【 第三章：随机过程】,2、性 质,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,1）对称于直线 x = a ，即,41,通信原理【 第三章：随机过程】,2、性 质,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,2）,42,通信原理【 第三章：随机过程】,2、性 质,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,3）a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形 将随着的减小而变高和变窄。,4）当a = 0 和 = 1时，称为标准化的正态分布：,43,通信原理【 第三章：随机过程】,3、正态分布函数 在数字通信系统的抗噪声性能分析中，有时需要计算高斯随机变量 小于或等于某一取值x的概率P。 它等于正态分布的概率密度f(t)的积分，定义为正态分布函数，表示为,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,这个积分的值无法用闭合形式计算，通常采用数学手册上有数值和曲线可查的特殊函数来表示它，即通过查表的方法求出。,教材中多采用误差函数或互补误差函数来表述。,44,通信原理【 第三章：随机过程】,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,1）用误差函数表示正态分布函数：,它是自变量的递增函数：,2）用互补误差函数表示正态分布函数：,它是自变量的递减函数：,当x 2时，,45,通信原理【 第三章：随机过程】,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）, 利用误差函数，可以将F（X）表示为：,用误差函数表示F（X）的好处是便于计算，且它简明的特性有助于分析通信系统的抗噪声性能。,46,通信原理【 第三章：随机过程】,第三节 高斯随机过程（正态随机过程）,3）用Q函数表示正态分布函数：,Q函数是用于表示高斯曲线尾部下的面积的函数。, Q函数定义：, Q函数erfc函数的关系：, Q函数和分布函数F（x）的关系：,Q函数值也可以从查表得到。,47,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,48,通信原理【 第三章：随机过程】,第四节 平稳随机过程通过线性系统,一、预备知识确知信号通过线性系统,对应的傅里叶变换关系：,二、随机过程通过线性系统,现假设 是平稳的输入随机过程，且均值为a，自相关函数为Ri（），功率谱密度为Pi（），则：,只需求输出过程o（t）的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。,49,通信原理【 第三章：随机过程】,1、输出过程o（t）的均值,第四节 平稳随机过程通过线性系统,式中，H（0）是线性系统在 f = 0处的频率响应，即直流增益，因此输出过程的均值是一个常数。,2、输出过程o（t）的自相关函数,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。,可见，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。,50,通信原理【 第三章：随机过程】,3、输出过程o（t）的功率谱密度（）,第四节 平稳随机过程通过线性系统,输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。,应用：由Po（ f ）的反傅里叶变换求Ro（） ，比直接求解Ro（）要简便的多。,4、输出过程o（t）的概率分布 若线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的，只是数字特征有可能不同而与。,51,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,52,通信原理【 第三章：随机过程】,1、窄带随机过程（条件、定义）,第五节 窄带随机过程,若随机过程（t）的谱密度集中在中心频率f c附近相对窄的频带范围f 内，即满足f f c的条件，且 f c 远离零频率，则称该（t）为窄带随机过程。,引 言,53,通信原理【 第三章：随机过程】,2、窄带随机过程的表达式,第五节 窄带随机过程,1）包络相位形式的表达式,2）同相正交形式的表达式,（t）的统计特性由a （t）和 （t）或c（t）和s（t）的统计特性确定；若（t）的统计特性已知，则a （t）和 （t）或c（t）和s（t）的统计特性也随之确定。,54,通信原理【 第三章：随机过程】,一、c（t）和s（t）的统计特性 1、数学期望（均值）,第五节 窄带随机过程,因为（t）平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E（t） = 0 ，所以,55,通信原理【 第三章：随机过程】,第五节 窄带随机过程,2、 （t）的自相关函数,推导略（见教材P53）,若窄带过程（t）是平稳的，则c（t）和s（t）也必然是平稳的。,56,通信原理【 第三章：随机过程】,同相分量c（t）和正交分量s（t）具有相同的自相关函数。,第五节 窄带随机过程,（t）、 c（t）和s（t）具有相同的平均功率或方差。,结论1：一个均值为零的窄带平稳高斯过程（t） ，它的同相分量c（t）和正交分量s（t）同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。 此外，同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。,57,通信原理【 第三章：随机过程】,二、a（t）和（t）的统计特性,第五节 窄带随机过程,设a（t）和（t）的联合概率密度函数为 f （a , ）,得：a的一维概率密度函数,可见， a服从瑞利（Rayleigh）分布。,58,通信原理【 第三章：随机过程】,第五节 窄带随机过程, 的一维概率密度函数,可见，服从均匀分布。,结论2：均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程（t），其包络a（t）的一维分布是瑞利分布，相位（t）的一维分布是均匀分布；并且就一维分布而言， a（t）与（t）是统计独立的 ，即有 。,59,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,60,通信原理【 第三章：随机过程】,设正弦波加窄带高斯噪声的表示式为,第六节 正弦波加窄带高斯噪声,其中，,一、正弦波加窄带高斯噪声的表示 1、同相正交表示式,61,通信原理【 第三章：随机过程】,2、包络和相位表示式,第六节 正弦波加窄带高斯噪声,二、正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性（推导略） 1、包络的概率密度函数 f （z）,称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。,62,通信原理【 第三章：随机过程】,讨 论1）当信号很小时，即A0时，莱斯分布退化为瑞利分布。2）当信噪比很大时，近似为高斯分布。,第六节 正弦波加窄带高斯噪声,包络概率密度函数 f （z）曲线,结 论：包络分布与信噪比有关。,63,通信原理【 第三章：随机过程】,第六节 正弦波加窄带高斯噪声,结 论：相位分布也与信噪比有关。,2、相位分布,64,通信原理【 第三章：随机过程】,学习内容,随机过程的基本概念,1,2,3,4,高斯随机过程,平稳随机过程,5,第三章 随机过程,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,6,7,高斯白噪声和带限白噪声,