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工程上常用的曲面立体一般为回转体。回转体由回转面或回转 面与平面围成。,一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作回转运动所形成的曲面称为回转面。,形成回转面的动线称为母线，定直线称为回转轴，母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆。,第六章 曲面 体,6-1 曲面体的投影,由平面与曲面或全部由曲面围成的几何体称为曲面体，如圆柱、圆锥、圆球等。,圆 柱 面,圆 锥 面,圆 球 面,一 圆 柱,1 圆柱的投影,空间分析,1. 圆柱各表面的投影特性,2. 圆柱的投影,3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线,一 圆柱,1 圆柱的投影,2 圆柱表面上的点、 线,在圆柱表面取点常利用积聚性法求,即在该面具有积聚性的投影上作出点的投影,然后再作点的第三投影.再判定可见性,在圆柱表面取线是在圆柱表面上取点的基础上进行的，若为直线 则求其两端点的投影然后将其同面投影相连即 可。若为曲线则要作出曲线上若干个点的 投影,再将同面投影光滑连线,可见性判定:面可见则点、线可见，面不可见则点、线不可见 。,例6-1 如下图所示,已知圆柱表面上点A和点B的正面投影a和b和点C的侧面投影c,试求出a和a、b和b及c 和c。,解题分析,(1) 分析基本体的投影特性,主要分析是否有积聚性表面,图示圆柱面为侧垂面,其侧面投影积聚为圆周。,(2) 判定点的空间位置,A点在上半圆柱面的前方,B点在圆柱的最前素线上。C点在右端面上。,(3) 作图,利用积聚性直接求出a、b和c、再由a和a ; b和b;c和c 求得a,b,c。,a,例6-2 如图所示,已知圆柱表面上的线ABC的正面投影,试求其余两面投影。,解题分析,(1) 分析基本体的投影特性,圆柱面的水平投影有积聚性,(2) 分析线的位置及投影,线ABC位于前半个圆柱面上,空间为一段曲线,点A在圆柱面的最左素线上,点B在最前素线上,(3) 作图,1 利用积聚性直接求出ABC的水平投影,再求其侧面投影;,2 求曲线上一般点的投影 ;,3 判别可见性,光滑连线。,1 圆锥的投影,二. 圆 锥,投影分析：,(1) 圆锥各表面的投影特性,(2) 圆锥的投影,(3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线,2 圆锥表面上的点和线,1 圆锥的投影,二. 圆 锥,例6-3 如图所示，已知圆锥面上一点K的正面投影k，求点K的水平投影k和侧面投影k。,形体分析,由于圆锥面的三面投影均无积聚性，且K点也不在特殊位置素线上，故必须通过作辅助线的方法求解。,(1) 素线法,作图,锥顶S与锥面上任一点的连线都是直线,如图中SK , 交底圆于M点。,(2) 纬圆法,由于母线上任一点绕轴线旋转轨迹都是垂直于轴线的圆,图示圆锥轴线为铅垂线,故过K点的纬圆为水平圆,其水平投影是圆。,(k),注意:所作的素线一定要过锥顶,例6-3 已知圆锥面上的折线SABC的正面投影sabc,求其它两面投影。,a,(a),c,b,c,b,d,d,d,e,e,e,解题分析,作 图,(1) 辅助线法求出直线另一端点A的水平及侧面投影,(2) 确定圆弧BC的半径,求出它的水平及侧面投影,(3) 描点求曲线AB的投影(特殊点D、一般点E),(4) 判别可见性,依次光滑连线,线段SA过锥顶,空间为直线;线段AB为曲线;线段BC平行底为一水平圆。如立体图所示。,1 圆球的投影,三. 圆 球,如图所示,圆球的三面投影都是与球的直径相等的圆.这三圆分别为球面上平行于正面、水平面、和侧面的最大圆周的投影,作图时先确定球心的三面投影,再画出三个与球的直径相等的圆.,2 圆球表面上的点和线,1 圆球的投影,三. 圆 球,如图所示,已知球面上点A的正面投影a,求它的水平及侧面投影a和a.,圆球的三面投影均无积聚性,故球面上的取点通常采用纬圆法 , A点在球的左、前、上方。,(1) 过点A作一水平辅助圆 , 正面投影作过a的水平线段 ,水平投影以线段的长R1为半径画圆 ;,(2) 求出水平投影a和侧面投影a。,解题分析,作 图,例6-4 求作立体的第三投影,并完成其表面上的点和线的其余投影.,1 基本体及其投影特性,2 点的位置及投影特性,3 折线BCD空间形状及投影特性,解题分析,4. 取若干一般点(如点E)，求解方法同点B。,1. 点A是主子午线上的点,可直接求得其余两投影。,2. 线段CD是一段水平圆弧,其水平投影反映实形,侧面投影为一段直线。,3. 线段BC是一段正垂圆弧,其水平投影和侧面投影均为一段椭圆弧。点C投影已求出,再求点B的投影。,5. 判别可见性，光滑连线。,作 图,6-2 平面与曲面立体相交,二、 平面与 圆柱相交,三、平面与 圆锥相交,四、平面与 圆球相交,一 、 概述,五、综合题,一 、 概述,平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。 截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。,曲面体截交线的性质： 1、封闭的平面图形（曲、 直线围成）。 2、截交线为立体表面和截平面的共有线。 3、截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。求曲面体的截交线的方法： 找出立体表面和平面上的若干共有点，然后依 次连线。,1 平面与圆柱相交所得截交线形状,2 圆柱截交线的求法,3 圆柱截交线例题,二、 平面与 圆柱相交,1、平面与 圆柱相交所得截交线形状,矩形,椭圆,圆,圆柱截交线求共有点的方法 1、利用积聚性法 2、素线法,上一级,带切口的圆柱,如图所示 , 圆柱左侧的切槽是由一个侧平面和一个水平面切割而成。,平面为侧平面,它与圆柱面的交线为两条铅垂线AA1,BB1。,平面为一水平面,它与圆柱面的交线为圆弧。,B,B1,A,A1,作图关键是求出AA1和BB1的侧面投影,例6-5 圆柱截交线 1,例6-6 圆柱截交线3,正垂面,侧平面,水平面,正垂面,2,5,8,7,9,侧平面,水平面,1,（2）,（4）,例6-6 圆柱截交线3,正垂面,5,8,7,9,侧平面,水平面,（2）,（4）,例6-6 圆柱截交线3,1、平面与 圆锥相交所得截交线形状,2、 圆锥截交线的求法,3、 圆锥截交线例题,三、平面与 圆锥相交,1 平面与 圆锥相交所得截交线形状,圆,椭圆,一对相交直线,双曲线,抛物线,圆锥上的截交线求共有点的方法素线法纬圆法,例6-7圆锥截交线,例6-8 圆锥截交线,例6-9 圆锥截交线,1、平面与 圆球相交所得截交线形状,2、 圆球截交线的求法,3、 圆球截交线例题,四、平面与 圆球相交,圆球被任何位置平面切割时, 其交线均为圆。截平面离球心愈近,交线圆的直径愈大。,当 截平面与某投影面平行时, 则交线在该投影面上的投影反映圆的实形。,1、平面与 圆球相交所得截交线形状,2 、圆球上的截交线求共有点的方法纬圆法,例6-10 求球被水平面截切后的投影。,例6-11 完成带切口的半球的投影。,分析,例6-12圆球截交线1,例6-13 已知半球被截切后的水平投影,求作其余两投影.,题给,分析,作图,1.,2.,3., 6-3直线与曲面体相交,直线与曲面体相交一般有两个交点,这样的点也称贯穿点 ,它是直线与曲面体表面的共有点.,求共有点的方法:1.积聚性法2.辅助平面法,例6-14求直线与圆柱的贯穿点.,题给,分析,作图,1,1,2,2,判别可见性,例6-15 求水平线AB与圆锥 的贯穿点,题给,分析,作图,PV,判别可见性,例6-16 求AB直线与正圆锥的贯穿点,题给,分析,作图,判别可见性,1,4,2,2,4,m2,1,3,3,m2,m1,m1,e,e,d,d,6-4 平面立体与曲面立体相交,相贯线为平面曲线,相贯线为平面曲线,结合点为贯 穿点,平面立体与曲面立体相交.其相贯线为由若干段的平面曲线组合而成的封闭曲线,每段平面曲线可看成是平面体上的棱面与曲面体的截交线,每两段平面曲线的交点可看成是平面体的棱线与曲面体的贯穿点,称为相贯线的结合点.,因此,求平面立体与曲面立体的相贯线可归结为求截交线和贯穿点的问题.,例6-17 求四棱锥与圆柱的相贯线,题给,分析,作图,例6-18求三棱柱与半圆球的相贯线.,题给,分析,作图,返回,2、相贯线的三种基本形式,3、两曲面立体相贯线的求法,4、相贯线上共有点的求法,1、两曲面立体相贯线的性质,6、例题,7、相贯线的特殊情况,6-5 两曲面立体相贯,5、求相贯线的作图步骤,相贯线,相贯线,相贯线,1、相贯线的性质,（1） 、一般情况下,相贯线为封闭的空间曲线。 （2）、相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线,相贯线上的点是两立体表面的共有点。,(2)、辅助平面法,(1)、利用曲面的积聚投影法,返回,当相交两立体之一表面的投影具有积聚性时，（如圆柱的轴线垂直某一投影面，此圆柱体的相贯线，在该投影面有积聚性，可利用积聚性或面上取点法作图。,3、求解相贯线的关键,求出两曲面体表面的共有点，然后依次连线。,4、相贯线上共有点的基本求法,5、作图步骤（1）形体分析（两立体之间及立体与投影面之间的相对位置）（2）相贯线空间分析、投影分析（3）求特殊位置点（4）求一般位置点（5）依次连接各点（6）判断可见性（7）整理轮廓线,返回,（1）、利用曲面的积聚投影法求相贯线,例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线,分析：,平直立圆柱的水平投影有积聚 性，水圆柱的侧面投影有积聚性， 相贯线的两面投影分别落在这两个有积聚性的圆上，故只需求正面投影。,作图：,1，求特殊点。2，求一般点。3，判别可见性。,例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线,(1)求特殊点。 由于两圆柱轴线相交，且同时平行于正面，故两圆柱的外形线位于同一正平面内，因此，它们的正面投影的交点分别就是相贯线上的最左点，最右点，同时是最高点的投影。,y,例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线,（2）求一般点。 在相贯线水平投影上任取一点 。（3）判别可见性，按顺序光滑连接。,判别相贯线可见性的原则： 只有当相贯线同时位于两立体的可见表面时，其相贯线才是可见的。由于该两圆柱所形成相贯形,两圆柱相交的三种形式,两圆柱相交的三种形式,返回,综合举例,利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助平面与参加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交线的交点，就是所求相贯线上的点。,（2）、辅助平面法,甲立体表面,辅助平面,乙立体表面,截交线,截交线,两截交线的交点即为,甲面R面乙面,共点,为了作图简便和准确，在选取辅助平面时，应尽量使辅助平面与两曲面立体的截交线的投影都是直线或圆。,常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。,辅助平面法原理,常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。,（2）、辅助平面法举例,返回,局部放大图,例6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线,返回,例6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线,例 6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线,返回,局部放大图,例6-21 求圆柱与半圆球的相贯线,分析：圆柱与半球相交其相贯线为空间曲线，圆柱的轴线垂直水平面，其相贯线的水平投影与圆柱的投影重合为圆。故只求作相贯线的正面投影，侧面投影。 由于两圆柱的水平积聚投影左右，前后不对称。故相贯线的正面投影，侧面投影为完整的封闭的相贯线的投影。,作图：1.求特殊点 垂直圆柱的水平投影中标注特殊点。先确定转向轮廓线上的点。 点A,B为最左最右点。点C,D为最前后点，1，2点为半球前后的轮廓线上点。 3，4点为半球左右的轮廓线上点。E,F最高最低点。点5，6为一般点。2.求一般点 利用辅助正平面R，与圆柱面的截交线正面投影为两条平行的直线，与圆球面的截交线正面投影为圆，该两截交线的交点就是相贯线上的点。3.判别可见性，并将各点的同面投影依次光滑地连接起来，即得相贯线。4.补全外形线，完成作图,例6-21求圆柱与半圆球的相贯线,1,2,3,f,e,b,a,c,4,d,作图：1.求特殊点 ：先作圆柱上的外形轮廓线上的点A,B,C,D。利用辅助正平面R，与圆柱面的截交线正面投影为两条平行的直线，与圆球面的截交线正面投影为圆，该两截交线的交点就是相贯线上的点。,例6-21 求圆柱与半圆球的相贯线,a,a,b,c,d,b,d,a,b,c,d,1,2,4,3,c,作图：1.求特殊点 再作圆球上的外形轮廓线上的点1，2，3，4。 最高点E最低点F。,例 6-21 求圆柱与半圆球的相贯线,a,a,b,c,d,b,d,c,a,b,c,d,1,2,4,3,f,e,1,2,3,4,f,e,1,2,4,3,f,e,2.求一般点 利用辅助正平面R，与圆柱面的截交线正面投影为两条平行的直线，与圆球面的截交线正面投影为圆，该两截交线的交点5,6 就是相贯线上的点。,例 6-21 求圆柱与半圆球的相贯线,a,a,b,c,d,b,d,c,a,b,c,d,1,2,4,3,f,e,2