[物理]材料力学-2-拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算

Nanjing University of Technology,材料力学课堂教学软件(2),第2章 轴向拉伸和压缩,材料力学, 2.2 轴力与轴力图, 2.5 轴向荷载作用下杆件的应力与变形算例, 2.4 拉（压）杆的变形分析, 2.8 应力集中的概念, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力, 2.7 拉伸和压缩时材料的力学性能,第2章 轴向拉伸和压缩, 2.6 拉（压）杆的强度计算, 2.1 工程中的轴向拉伸与压缩问题,第2章 轴向拉伸和压缩, 2.1 工程中的轴向拉伸与压缩问题,在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。, 2.1 工程中的轴向拉伸与压缩问题,机器和结构中所用的各种紧固螺栓,由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向荷载的杆件。,第2章 轴向拉伸和压缩,汽缸、活塞、连杆所组成的机构中的螺栓和链杆,斜拉桥承受拉力的钢缆,第2章 轴向拉伸和压缩,长江二桥,第2章 轴向拉伸和压缩, 2.2 轴力与轴力图,第2章 轴向拉伸和压缩, 2.2 轴力与轴力图,（1）内力的合力FNFP；,（2）内力的合力FN的作用线与杆件的轴线重合。,轴力（ normal force）：外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆的横截面上内力合力的作用线与杆件的轴线重合，这个内力的合力即为轴力， 用FN 表示。,轴力正负号规定：使杆件受拉的轴力为正，受压的轴力为负。, 2.2 轴力与轴力图,轴力图（diagram of normal forces）：表示轴力沿杆轴线方向变化的图形。,绘制轴力图的方法与步骤如下：,（2）确定分段点（和控制面）；在集中力作用处为轴力图的分段点；,（3）应用截面法；用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力数值。,（4）建立FNx坐标系，画出轴力图。x轴表示横截面的位置，FN表示相应截面的轴力。,（1）分析外荷载与约束力；, 2.2 轴力与轴力图,直杆A端固定，在B、C两处作用有集中荷载F1和F2，其中F15 kN，F210 kN。,试画出：杆件的轴力图。,例题1, 2.2 轴力与轴力图,解：1. 确定A处的约束力,求得 FA5 kN,由平衡方程, 2.2 轴力与轴力图,2. 确定分段点及控制面,3. 应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。,控制面：轴力具有相同函数变化规律的一段杆的两个端截面。, 2.2 轴力与轴力图,3. 应用截面法求控制面上的轴力, 2.2 轴力与轴力图,3. 应用截面法求控制面上的轴力, 2.2 轴力与轴力图, 2.2 轴力与轴力图,4. 建立坐标系，画出轴力图, 2.2 轴力与轴力图,绘制轴力图的方法与步骤如下：,（2）确定分段点（和控制面）；在集中力作用处为轴力图的分段点；,（3）应用截面法；用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力数值。,（4）建立FNx坐标系，画出轴力图。x轴表示横截面的位置，FN表示相应截面的轴力。,（1）分析外荷载与约束力；, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,第2章 轴向拉伸和压缩,只根据轴力并不能判断杆件有足够的强度。例如,这说明，拉杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且与横截面积有关。所以用应力来度量杆件的受力程度。, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,1、横截面上的应力,通过实验，观察受拉杆件的变形发现。变形前为平面的横截面，变形后仍为平面且仍垂直于轴线，即为平面假设。,由材料均匀性假设，所有纵向纤维的力学性能相同。由于各纵向纤维的变形一致，力学性能又相同，因此可以推断各纵向纤维受力一样。即杆件横截面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为,其中FN横截面上的轴力，由截面法求得；A横截面面积。,杆件上的应力是如何分布的呢？, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,由于加载方式的不同，对端部的应力分布有影响。距离加载端较远处，上述影响逐渐消失，应力趋于均匀，其影响深度和12倍的横向尺寸相当，此为圣.维南原理。, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和一斜置小方格。,受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的切应力有关。,2、斜截面上的应力, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,为了确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总内力。, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： FN和FQ 。, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,FN和FQ分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成。,在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜截面上的正应力和切应力都是均匀分布的。于是斜截面上正应力和切应力分别为,x杆横截面上的正应力A斜截面面积。, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的微元而求得。,以相距很近的两横截面和两纵截面从杆内截取微小单元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受到正应力x 。, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的正应力和切应力分别为和 。并令微元斜截面的面积为dA。,根据平衡方程,有,据此可以得到与前面完全相同的结果。, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,总结：, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,1、杆件承受拉伸或压缩时：横截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有切应力。,2、对于不同倾角的斜截面，其上的正应力和切应力各不相同。,在0的截面（即横截面）上， 取最大值，即,在45的斜截面上， 取最大值，即,在这一斜截面上，除切应力外，还存在正应力，其值为, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力,注意：由于微元取得很小，上述微元斜面上的应力，实际上就是过一点处不同方向面的应力。因此，当论及应力时，必须指明是哪一点处、哪一个方向面上的应力。, 2.3 杆件在轴向荷载作用下的应力, 2.4 拉（压）杆的变形分析,第2章 轴向拉伸和压缩,等截面直杆（l、A），承受轴向荷载后，其长度变为l十l。,实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l与杆所承受的轴向荷载成正比。写成关系式为,1、绝对变形 弹性模量, 2.4 拉（压）杆的变形分析,即为描述弹性范围内杆件承受轴向荷载时力与变形的胡克定律。,E 杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA杆件的拉伸（或压缩）刚度；式中“”号表示伸长变形；“”号表示缩短变形。, 2.4 拉、压杆件的变形分析,1）承受几个轴向荷载的情况：,2）承受轴向均匀分布荷载的情况：,正应变：描述杆件沿长度方向均匀变形的情形，用 x 表示。即,2、相对变形 正应变, 2.4 拉、压杆件的变形分析,注：上述关于正应变的表达式适用于杆件各处均匀变形的情形。,对于各处变形不均匀的情形，,必须考察杆件上沿轴向的微段dx的变形，并以微段dx的相对变形作为杆件局部的变形程度。即, 2.4 拉、压杆件的变形分析,无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。,3、横向变形与泊松比,横向变形：杆件承受轴向荷载时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生的变形。,实验结果表明：若在弹性范围内加载，轴向应变x与横向应变y之间存在下列关系,为材料的另一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。泊松比为无量纲量。考虑到轴向应变与横向应变的正负号恒相反, 2.4 拉、压杆件的变形分析, 2.5 轴向荷载作用下杆件的应力与变形算例,第2章 轴向拉伸和压缩,例题2,试求：（1）直杆横截面上的绝对值最大的正应力；（2）直杆的总变形量。, 2.5 轴向荷载作用下杆件的应力与变形算例,变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向荷载。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB10102 mm2，BC段杆的横截面面积ABC5102 mm2；FP60 kN；铜的弹性模量Ec100 GPa，钢的弹性模量Es210 GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。,解：1 作轴力图,应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为：,FNAD2FP120 kNFNDBFP60 kNFNBCFP60 kN, 2.5 轴向荷载作用下杆件的应力与变形算例,2计算直杆横截面上绝对值最大的正应力, 2.5 轴向荷载作用下杆件的应力与变形算例,3计算直杆的总变形量,注：在上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。, 2.5 轴向荷载作用下杆件的应力与变形算例,例题3,三角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP22.2 kN；钢杆BD的直径dl25.4 mm；钢梁CD的横截面面积A22.32103 mm2。,试求：杆BD与CD的横截面上的正应力。, 2.5 轴向荷载作用下杆件的应力与变形算例,其中负号表示压力。,解：1受力分析，确定各杆的轴力,2计算各杆的应力, 2.5 轴向荷载作用下杆件的应力与变形算例, 2.6 拉(压)杆的强度计算,第2章 轴向拉伸和压缩,1、失效的概念,失效：工程结构与设备以及它们的构件和零部件，由于各种原因而丧失其正常工作能力的现象。, 2.6 拉(压)杆的强度计算,2、强度条件、安全因数与许用应力,为了让杆件正常工作，要求杆中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。,杆件在轴向荷载作用下的强度条件为,式中 为材料的极限应力或危险应力(critical stress)，由材料的拉伸实验确定；n为安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。,s许用应力(allowable stress)，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定, 2.6 拉(压)杆的强度计算,3、三类强度计算问题, 强度校核,?, 尺寸设计, 确定许用荷载, 2.6 拉(压)杆的强度计算,例题5,可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车中斜拉杆AC由两根50mm50 mm5mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。AC杆和AB梁的材料都是Q235钢，许用应力=150MPa。当行走小车位于A点时(小车的两个轮子之间的距离很小，小车作用在横梁上的力可以看作是作用在A点的集中力)，杆和梁的自重忽略不计。,求：允许的最大起吊重量FW（包括行走小车和电动机的自重）。,4、应用举例, 2.6 拉(压)杆的强度计算,解：1建立模型,因为所要求的是小车在A点时所能起吊的最大重量，这种情形下，AB梁与AC两杆的两端都可以简化为铰链连接。因而，可以得到吊车的计算模型。其中AB和AC都是二力杆，二者分别承受压缩和拉伸。,FW, 2.6 拉(压)杆的强度计算,2确定二杆的轴力,以节点A为研究对象，并设AB和AC杆的轴力均为正方向，分别为FN1和FN2。根据节点A的受力图，由平衡条件,FW,FW, 2.6 拉(压)杆的强度计算,3 确定最大起吊重量,对于AB杆，查槽钢表：单根10号槽钢的横截面面积为12.74 cm2,由强度条件，得到, 2.6 拉(压)杆的强度计算,由此解出保证AB杆强度安全所能承受的最大起吊重量,由强度条件，得到,由此解出保证AC杆强度安全所能承受的最大起吊重量,对于AC杆，查型钢表查得单根50mm50mm5mm号等边角钢的横截面面积为4.803cm2, 2.6 拉(压)杆的强度计算,解：3 确定最大起吊重量,于是，吊车的最大起吊重量:,FW57.6 kN, 2.6 拉(压)杆的强度计算,4本例讨论,其中A1为单根槽钢的横截面面积。,根据以上分析，在最大起吊重量FW57.6 kN的情形下，显然AB杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还可以减轻吊车结构的重量，可以重新设计AB杆的横截面尺寸。 根据强度条件，有, 2.6 拉(压)杆的强度计算,4本例讨论,由型钢表可以查得，5号槽钢即可满足这一要求。,这种设计实际上是一种等强度的设计，是在保证构件与结构安全的前提下，最经济合理的设计。, 2.6 拉(压)杆的强度计算, 2.7 拉伸和压缩时材料的力学性能,第2章 轴向拉伸和压缩,1、首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准试样(standard specimen)。,1、标准试样,先在试样中间等直部分上划两条横线,这一段杆称为工作段。,l = 10d（长试样），或 l =5d （短试样）,实验设备主要有两类，一类是使试样发生变形和测定试样抗力的万能试验机；另一类设备是用来测试变形的变形仪。,2、将试样安装在试验机上，使试样承受轴向荷载。,3、通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的荷载和变形，将它们分别除以试样的横截面积和工作段的原长，即得到应力与应变的关系曲线，称为应力-应变曲线(stress-strain curve)。, 2.5 拉伸与压缩时材料的力学性能,通过拉伸与压缩实验，可以测得材料在轴向荷载作用下的应力应变曲线。应力应变曲线全面描述了材料从开始受力到最后破坏过程中的力学行为。由此即可确定不同材料发生强度失效时的应力值（称为强度指标）和表征材料塑性变形能力的韧性指标。, 2.7 拉伸和压缩时材料的力学性能,2、单向拉伸时材料的力学行为,脆性材料拉伸时的应力-应变曲线,韧性金属材料拉伸时的应力-应变曲线,工程塑料拉伸时的应力-应变曲线, 2.7 拉伸和压缩时材料的力学性能,应力-应变曲线上的初始阶段通常都有一直线段，称为线性弹性区，在这一区段内应力与应变成正比关系，其比例常数，即直线的斜率称为材料的弹性模量（杨氏模量，modulus of elasticity or Young modulus），用E 表示。,3、韧性材料单向拉伸时的弹性力学性能,应力-应变曲线上线性弹性区段的应力最高限称为比例极限(proportional limit)，用p表示。,弹性阶段（I）（弹性模量、比例极限与弹性极限）, 2.7 拉伸和压缩时材料的力学性能, 比例极限与弹性极限,线性弹性阶段之后，应力-应变曲线上有一小段微弯的曲线，这表示应力超过比例极限以后，应力与应变不再成正比关系。但是，如果在这一阶段，卸去试样上的荷载，试样的变形将随之消失。,这表明这一阶段内的变形都是弹性变形，因而包括线性弹性阶段在内，统称为弹性阶段（I） 。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限(elastic limit)，用e表示。, 2.5 拉伸与压缩时材料的力学性能,大部分韧性材料比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密测量才能加以区分。因此在实际工程中统称为弹性极限。,在许多韧性材料的应力-应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现象称为屈服(yield) 。这一阶段曲线的最低点对应的应力值称为屈服应力或屈服强度(yield stress)，用s表示。,屈服阶段（II）（屈服强度）, 2.5 拉伸与压缩时材料的力学性能,0.2,对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上规定产生0.2塑性应变时的应力值为其屈服应力，称为材料的条件屈服应力(offset yield stress)，用0.2表示。,条件屈服应力, 2.5 拉伸与压缩时材料的力学性能, 2.5 拉伸与压缩时材料的力学性能,屈服阶段的变形是不可恢复的塑性变形。试样表明看到由最大剪应力面发生滑移而引起的45滑移线。,应力超过屈服应力或条件屈服应力后，要使试样继续变形，必须再继续增加荷载。这一阶段应力的最高限称为强度极限(strength limit)，用b表示。,强化阶段（III）（强度极限）, 2.5 拉伸与压缩时材料的力学性能,某些韧性材料(例如低碳钢和铜)，应力超过强度极限以后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为颈缩(neck)。出现颈缩之后，试样变形所需拉力相应减小，应力-应变曲线出现下降阶段，直至试样被拉断。,局部变形阶段（IV）（颈缩）, 2.5 拉伸与压缩时材料的力学性能,通过拉伸试验还可得到衡量材料韧性性能的指标延伸率和断面收缩率：,其中，l0为试样原长（规定的标距）；A0为试样的初始横截面面积；l1和A1分别为试样拉断后