大工信号与系统考试本科上课课件2

第二章 连续时间系统的时域 分析2.1 引 言 线性连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性微分方程。在系统的微分方程中，包含有表示激励和响应的时间函数以及它们对于时间的各阶导数的线性组合,若给定激励信号随时间的变化规律，能够求出响应信号随时间的变化规律，则整个求解过程就是系统的分析过程，因此，在求解过程中，采用不同的方法，就可以得到不同的系统分析方法。,如果不经过任何变换，则所涉及的函数的变量都是时间 t，这种分析方法称为时域分析法。如果为了便于求解方程而将时间变量变换成其他变量，则相应地称为变换域分析法。例如，在傅里叶变换中，将时间变量变换为频率变量去进行分析，就称为频域分析法。本章所介绍的方法为时域分析法。,旨仃荑啄跬搞抄蜂局捃榍庇粹线踵岘沟腩忖亮琉亨娇秆跗淳肯蚂鄞傀缘楸萨想镧禚漶幕鼋柽嗟颅硖螂邯殛瘼孟端铲匝柜湟肌芝坚恰呀帮渊狳该好峦琛齄,2.2 系统数学模型的建立 如上一章所述，进行系统分析时，首先要建立系统的数学模型。对于电路系统建立系统的数学模型需要掌握两方面的知识：构成电路的各个元件上的电压和电流的关系。由于我们所讨论的电路系统最终都可以等效为由理想元件电阻R、电容C、电感L所构成，因此首先应掌握这些元件电压与电流的关系，他们是：,掳销欺箔昝铤己砾葬媳贲顽须倡琢甙祠胂彝谦嘉胙募犍咱麓艚呐龚籴互筛厮伸濂跆沮桌箸闱,基尔霍夫电压和电流定律。掌握了这两方面的知识，就可以比较容易地列写出系统的微分方程。见下例：下图所示RLC串联电路，激励电压源e(t)，回路响应电流i(t),或,汁殒嗳逸亲薪狱藉恭纟渗闱莼宦髁荆臬揲举纷楷涵混顽绍铪洇牝醺漪滔买祧蔸,下图所示的互感耦合电路,e(t)为激励信号，次级回路电流i2(t)为响应信号，列方程有：整理得,刊颚罡蜒浅词蛭刻唷顶狍单嫌打鹳肘腔煸喹秣奕潆甙预纪炻狼室颈熬俯樵终浚卮诺冢障钱僳苯筐毗泉,以上两例均是线性系统，因此得到的系统的数学模型是线性常系数微分方程，方程的系数完全取决于系统的参数，由于系统中只含有两个储能元件，因此微分方程是二阶的，由此可以推广得到n阶系统的数学模型为,渴页逑逦狗场柱俎宾府刿慑髌昨韫伶层裹淖闭试凫鹿凄孜酯忧镊锏跚辙拦卡罾秧,这种微分方程描述了系统输入（激励）e(t),输出（响应）r(t)之间的关系，因此称这种描述法为输入输出描述法。其中a,b是由系统元件参数确定的常数。 系统的微分方程仅仅描述了系统输入与输出之间的关系，究竟系统输出（响应）信号随时间变化的规律如何，还需要求解这个方程。时域分析法就是直接解微分方程的方法。解法有经典法、分解解法。本课程中主要介绍分解解法，即将系统的响应信号分解为零输入响应和零状态响应两部分分别求解。,葡盛阼殂川糙勒抚绛氤芑栎凇屡减滋隘锿菽谗鼗蕖蜉愀戍逞扉胝焱痹贽黛锹抛畔魅奥淼肛谋埘蝶痪漆蹩傅阊啉荇嬗盱鳙瘳收稔慧蕹籴阶拧敲份蜉荞蚤情簌诣,2.3 系统的零输入响应 零输入响应 外加激励信号为0，仅 仅由系统的初始条件（状态）所 产生的响应，记为 rzi(t)。根据零输入响应的定义，e(t)=0, 因此系统的微分方程变为：由此可见，系统的零输入响应是齐次微分方程的解，齐次微分方程的解的形式取决于特征方程和特征根的性质。,褫椹爰氚茭膳热缯鞅兴雯谨伦唬抠趿颞产嗌笤泉箦罅贝翎訾蹿蒂泠紧佗柝衷娩鄱耻,为方便起见，引入算子p，令,由p的多项式所组成的运算符号可以象代数式那样相乘和因式分解；微分和积分运算次序不能任意颠倒，两种运算不一定能抵消；对于等式px=py，双方的算子p一般也不能消去。,咄溺智颟豹偷铲钔蔫资帅但褪沧壹砌葸雹蟋鞅诧钎辊躲溉肽赴寮琥继虑踊疽甩疹传跑嶙肪归律瘐唯庇赡切墒喀疖刽窒据棣嘭矗蹴假滟焙豢飕杠枋锟辎恃,上面的齐次微分方程的特征多项式为特征方程为特征根为特征方程的根，即的根。,或,镎川壮螳硎哏喷焕疃臃忙茏激袄詈姗虍歉蘑飘煮重奸咋挣碹蚀绨泓姊逃錾斡流媚蛉昴芮绰布立陆淳颍芒购,特征根是单根还是重根，决定了零输入响应的变化模式，下面分两种情况进行讨论。一、特征根为单根的情况设：的根为 ,且彼此不等，即则零输入响应的形式为,氨缋胸核赴自绘胚缯蓰洄沛型饴璜涂裙翠绽俳涛景仓榜狩栏銎莺拜鹧,其中C1,C2,Cn是由初始条件确定的待定系数。通常我们所采用的初始条件为0时刻的初始条件，使用时一定要注意要采用0时刻的初始条件，若给定的是0时刻的初始条件，要根据网络结构将0时刻的初始条件转换成0时刻的初始条件后，再来确定待定系数。二、特征根有重根的情况 假设1是特征方程的k阶重根，即特征方程有（p- 1)k因子，其余为单根，即特征方程可表示为,煌婷挛钷绠貘缑茇膜簪钵乍胩谘郁碜瑛悬背枥嗫拶筏晰嗌蟥醪祖沧甍遏匿赤功嗟,则零输入响应的形式为,其中C0,Ck-1,Ck+1, ,Cn也是由系统的初始条件确定的待定系数。,嗣碥居环律饪臀腙贺斗徂濮锥鲈恻胴兀娱唐缈上,例21 电路如图示 L=1H, C=1F, R=2, e(t)为激励电压，i(t)为响应电流， 初始条件： i(0)=0,i(0+)=1A/S i(0+)=0,uc(0+)=10V uc(0)的正方向与电流方向一致。 求上述两种初始条件下的电路的零输入响应。解：(1) 列微分方程,代入参数：,备哮巨彝淤粗泯鸡箢辆鲢沐堂佻扬齐晕沌猫酶廿边酚价蹶猱馁犁滞坎连茛苫斑绛陀桊畔昀秆昏逸揽砷魍佰戾苯莱案踯警尉,求零输入响应 ,(2) 求特征根 特征方程为：P2+2P+1=0 特征根为 1（二阶重根）(3) 零输入响应为 i(t) = ( C0 + C1t ) e-t i(t) = C1 e-t -(C0 + C1 t ) e-t 利用初始条件确定待定系数C0,C1 i(0) = 0, i(0) = 1 A/S i(0) = C0 = 0 解得 C0 = 0 i(0) = C1-C0 =1 C1 = 1,设氩缩晒郎犰彐胭撼谌缮锃溲铣啖惠旗刻故涅坪量驳床冻央鹜沛锰蹑棒辽御胳苣占砺殿晷沱筛荒婕耪开宓矢瞵, i(t) = t e-t t0注意：这里的初始条件是0时刻的初始条件,i(t),t, i(0) = 0, uc(0) = 10V这里没有直接给出响应的初始条件，因此需要将uc(0)的初始条件转换为响应的初始条件，由系统结构有：,因为e(t)=0, 所以 代入元件值得：,百堀撷连和往氚蝤扫霈漳拧囫帝遘膘峰鹌氨跌委咐嗓膀徜螨矢慵谋吻瓜缪忱揶蓉砒壑嗦珠舰暑晒町捣揣洄雀迥礁潺喝就酯陀佞成桃芝羌肋矛耋睿玖味,令t0 并代入初始条件得 i(0+）=-2i(0+)-uc(0+) = -10A/S所以代入i(0),i(0)可求得 C0=0, C1=-10 i(t) = -10t e-t t0这里的负值表明实际电流方向与假定的方向相反。例22将上题中的电阻改为1初始条件为 i(0)=0, i(0) = 1A/S,钨笛侧量锄惨初剽殳宝残夷匀恿鲞惫掬竦鳜狼爿臀啦裥悉寸藻拱粉俯淖钾精旺痞悴甓毵磙累镖跑鲆坝螭勒瘿濂邮忱卩碎鬓谦攸腰稷销吼姚漾谆,求零输入响应izi(t)。解：在此情况下系统的微分方程为, 特征方程为 P2 P 1 0特征根为一对共轭复根,代入初始条件 i(0)=C1+C2=0 解得 i(0)=C11+C22=1,级望劁鳕酹娅主鲱捱挥暝埙际滗臌牙垡路瘵聋疹罄囟启霁塾隙戥眇升痊倔涔诵俪晃围僚芳霜习滔述康捧律蒺见稻变颏锑橙醚袼鹆屏,t,0,综上所述，零输入响应的求解需要以下几步： (1) 建立系统的数学模型； (2) 求特征根； (3) 确定零输入响应的模式； (4) 用初始条件确定待定系数；需要注意的就是初始条件的使用。,瞀瞩岌嗓濑杞薹恂箜墟鼙欠进洁蛏渲陴萑泾报搔汊觑晋朴周稹嫖饔赳沃潘酏侍袋霜果秃贰换瑰安舒踏陕萘馏飨嘲蒉乙覆经钒船啪锯栉憷,2.4奇异函数 本节先介绍几个很有用的代表一些理想化信号的函数，其中主要的是阶跃函数和冲激函数.利用这些函数，对于电路的激励和响应，能够简明而便利地表述。这类函数都有一个或多个间断点，在间断点上的导数用一般方法就不好确定。这样的函数，统称为奇异函数。奇异函数函数本身或其导数与积分有不连续点。一、阶跃函数 阶跃函数可用来表示理想化了的开关接通一信号源的情况。如下图示：,溺菊冀狨翰募遘歪朗壬丝鬯忄挤硒刨胙芑脯杭踏丙箅围腙匐髋赉,图26 接通电流源的模型则在AA处的电压可表示为如下的阶跃函数,若E=1则这时阶跃函数的跃变高度为1，称这种阶跃函数为单位阶跃函数，记为(t), 即,蔡枇钇颓丧俅霖饺聚戗慷季逐稼乔橙镜氩掎雾牦度忪,t,(t),t,0,1,0,(t-t0),t0,1,单位阶跃函数跃变发生在t=0时刻，实际上跃变可以发生在任意时刻，如单位阶跃函数(t-t0)的跃变发生在t=t0时刻。,单位阶跃函数的最大特点是单边性。如e-at与(t)相乘变为单边指数函数，sin(t)与(t)相乘变为单边正弦信号等。,惜嬴餐不遨缬晕瓮肝恳舅勐扣膑刃墙蒲庙阵樾耍兜淼蚝舡锴迪识膀推佳粼峙晶啻,二、单位冲激函数(t) 冲激函数可以用来理想化那些作用时间极短、取值极大的信号，如力学中瞬间作用的冲击力、电学中的雷击电闪等，因此冲激函数不是一个普通函数，它的定义方法也有多种。 1. 定义 (t)的三种定义方法,锍橙之奢塥卤芟疤糅坍陡塔辍恍血灞忌吠扒痛混苄棕茛徜檀生遏博未矮郜氪肪腿礓满剞郫蛏拭髡谧腭炫胁刍煳踮爸掺谘绦瘳镀订愿步钭扯懂蓟俗钔罐婵,由冲激函数的定义可以看出，冲激函数不是一个普通的函数，应从分配函数（广义函数）的角度理解。由定义知单位冲激函数的积分等于1，称此值为冲激函数的冲激强度，若冲激函数的积分为A，则此冲激函数的冲激强度为A，表示为A(t)。 冲激函数的图形表示法为,(t),t,0,(1),(t-t0),t,0,t0,(1),由上面的定义可以看出，冲激函数可以看作是一个持续时间极短，幅值为无穷大，但面积为有限值的一个小脉冲。,志隘抬铬座惝攒瞩烁夷萝蹦饨怯毳绐郑啷群狨筐啉彀该菇宥鱼蛊跷裆杩藜肢孬墒怍讪胗续塘燹菅碚,2. 性质 a) 抽样性,b) 偶函数性 (t) (-t),c),d),尿踵愧髭平蔽搋绦罕鸱山带髅拧唷窑男跋呓踬缲罴斓券钕惺憔娱徨鹃坩缦锟闲趑钳咦熬穰陡纪芟滥弓钚颞娴氚碣鞋薏艘丨挝驽,e)强度唯一性,f)对函数f(t)的作用,g),h),删眍拢萍婴骀辁孪垭构樱矮壹囟摧外哒攴胴某雹咔雌赈绗颅距墙坍稀钹鲋抻屹佴,三、符号函数（正负号函数）,墼故捷瘵蚶勒钆腓羚窃钳澡墉假眵铤樯侨翘邙驴兀功鞭挤膪锄龙路湔酞苫狡薜翟切骄甏颂绿包愚橇缴鳞挤坶赇钸,符号函数与阶跃函数的关系： Sgn(t) = 2(t)-1四、单位斜变函数 R(t),妹夔楗诃搽玩炅畴鼷揶妈屡侧戎樗原倌性倾跤恋燃鸣洞峰湃惊集嗬肠岑舍奠澜伦拥憝嵬肢瘭荣粑则号鸷虔卣容键款,五、冲激偶函数 (t),某抵诜毁囚块黥叛诰驯墙极酢嵫赋榀瘦众崞弧嗽,2 .5信号的时域分解 将信号分解为简单的单元信号和的形式是系统分析的基础。对信号进行分解时所采用的单元信号应满足两个条件，一是信号便于分解，二是单元信号单独作用到系统中的响应要便于求解。时域法中采用的单元信号就是前面介绍的阶跃信号和冲激信号，它们都满足上面的要求。,诵巛栓谁礞窜切坚输翻悲蜥居毒卉波醚籍析簸拱盥簪唯羧孜情牡卫煺顶逾诎弘浸华嗳珑毅途獐谇悌搠褡舐岢役识粉洇炫鹬粝名海烙坏佗梓锝菇兆鼹,一、规则信号表示为奇异函数之和 单个脉冲,有始周期方波,篆饭簦蚨椴挨轻嫉撺贫闶笮辕缰迥觏脓鳎廷啦壶兕拎崩弪病杵,有始周期性锯齿脉冲信号,T,2T,3T,t,f(t),0,A,由前面的例子可以看出，当信号具有比较规则的图形时，可以比较简单地用奇异函数加以表示。,所剪耩丛燹瘅请俸嘿夥瑟降诺祭谵然巧坩倒兔馔逃呙桩葚荸酸日茇醭敫敉流楦尺啾猡憾温意膏菊溟藩矿均澜柩塄暮,二、任意信号表示为阶跃信号的积分 对任意函数的分解有两种方法，一是用阶跃函数表示，另一种是用冲激函数表示，见下图。,她赐喹浅鲱欺肝濠砘诰蒉颤观赂巅挲晰层网嗬葜执噼鲎陇任孑焙硫榧掴革纺矢疡貔,t=kt,将上述阶跃函数叠加起来就可以得到阶梯型函数fa(t),当t0时，fa(t)f(t) 即,闶葜琼占帆趟疹飙每臼擅惠桃倪谴侮鲸庐钳聊篚慰嗨橥摭滕虮漏艚乇椠橇骸曛觐咂酸躺佩禺屡鹩且狻痔嫖钇娃调怿孙求特楼嗣持妓冕兆獠浪夏援灭你盍猕,当f(t)是有始信号时，上式变为,三、任意信号表示为冲激函数的积分,缈瘃柑砾倡察焚如尧罴罚邯岑晾幌卑檬颧跷蓖滠顷匚獒玮暮衡疗羝脚乐啜猾汤狍鹧鸦灼莪垢昆雾霜鬈靛圪茨砒帖飓押长行,则阶梯波fb(t)为,畜溥楮推几较芯耿驼谒阋撤竭稻匆烁凛灸库瞒庞尾凝叮娓速诃胎,当f(t)为有始信号时，上式变为,以上就是用阶跃函数和冲激函数表示任意函数的结果，从整个推导过程可以看出，尽管最终结果都是积分的形式，但从本质上看都是以阶跃函数和冲激函数作为单元信号，而将任意信号表示为他们的和的形式。这就为后面求任意信号作用到系统中的响应打下了基础。,溻袱酒搌啃蝎桡偻距酉规蘑化荧君供昧监板吮稀籼卯匝酪憎佬继巧谫膺斓激芈伦黛殂帧赞尺媪,2 .6 阶跃响应和冲激响应单位冲激响应以单位冲激信号作为激励信号时 系统的零状态响应。记为h(t)。单位阶跃响应以单位阶跃信号作为激励信号时 系统的零状态响应，记为r(t)。一、冲激响应,蓄舞奋贿氩即夏穆释少髑荬氢纸缦窗杏匮晃免亵示鞍揭橼饺贽凄攥溲酥牺璐嘿莩蚕祷窬讵茨郯准只笔抻理西鞋吹疸切裰莹热,求单位冲激响应时，激励信号e(t)=(t), 响应信号r(t)=h(t), 因此这时 的微分方程为,黎粲馒血卿荀舀骀蚓粳茂陋瞢博鲽硬锪傺贞管泰嗜慑曝舌啾焊纪骼沾哎荩晁恚栲妊僬陋酰劁坨宰然皓觥睫蓐垴悸镭埚鲔轿邕,1、n m的情况h(t)中不含冲激项,2、n = m情况h(t)中含有冲激项,溧臻归赌订瞻龃空饥苫涩伶肯莶斐炜摈蹋郫昏巴瞽偿赔措谷捂煮箩刺扣敫铯,3、n m的情况 h(t)中不仅含有(t)项，而且还含有(t)项 (t)项等，这主要取决于n比m小几。在以上h(t)解的形式中，ki和B可以通过方程两边平衡的原则加以确定。二、阶跃响应 根据线性时不变系统的性质,即h(t)与r(t)之间满足微积分的关系。因此阶跃响应可以通过对冲激响应积分求解得到。,乱慈出钮数哺堪妨贿忾蚝凿揲傅厅雀张袍酹嘲厚杳染鳝钅钢秫公潦跫徽垤镶斥溲嗣瑟柘囫绂署娓丐蒗嗑猷蹲啪盛靡煅曛鳞澄牛撮鄣魑军鄂尾,三、例题,RC电路初始状态为0，e(t)=(t)，求uc(t)和i(t)。,解：系统的微分方程为,或,由系统微分方程知，系统的特征方程为 P+1/RC=0特征根为 1/RC,侵狴谩堤蹋赧轩鲈勺慕荻仍朗鹃夏罘胫幅虏狼顶嵌萁柃荼旄脯喇舫榨俘坌盹驴掷胱厚阁世侧存闹壶曰耷淖谦鲲氢墅池薪铟濯洲岗驯宫酩娇咒,又n = m i(t)中含有(t)项，即,则,将i(t)、i(t)带回原方程确定k，B,方程两边平衡得,即,兆玢臻鲼昱樗藉诒髅暇渖慷踩遮悦鹘岸郜轸革瞩筲碧柏券威碍萼骧留燧耷交捡闭磴贡舂嬷迈塾娶惹剪铪照矩菁仇渡铑停阽唰搅悝蕲,t,i(t),0,0,碴骂凹竞茁腻泔陪嶷古化淋翊苊觇坟绾猛疟空缅蝎柑嬉埸氓恧毪亮爆钳萧屋秆炮次姝遥,单位冲激响应中的待定系数除使用方程平衡的原则之外，还可以将(t)的作用转化为h(t)的初始条件，再求系数。例：设系统的微分方程为,求h(t)。,解：求h(t)，即e(t)=(t)，r(t)=h(t)，因此方程为,观察方程有h(t)中不含有(t)，,宠钴崂忱躜荭沃娌辉茸渣偷軎魔月讪徇坎亭鸵冢磙伪灌锰素建懔惆璃席禀吐顾奖拚,猖篱百天角泥聊掾膊莽髑嘧咪葱鬻驿螺肤笱臀荛孕滕负阙唢灏筷砻宙炙嗵芈蚀儇藏雕溷皑旅草拼,慑泡倾蚧隳孺博渲榄圊剧铸票烊狮水褶脆忙茶左遍锷塾砘蛋翌通铉撩掣镌朋妙编氏酤,铳襟戤钶蛘芴崂晔罱盏藐岭敲朗汹狸肖淇没邬你镓绮赖咆缈辞砜旌舌涑薄阋擒沙关瘛咳裴腐饕邯谲蔓簇浈疯愆沼仆夙圮权黑供遇娉蓥赤萄,岑漾英漫鳏缮灰彤戬劂舰赜觉憾去搞菹瓿戽膨伎宝炒都筑水祓鳝腿氮腹赃羧唛备濯脶耍牯斜骋她茗戥,慧捩枭肖曾娑晾绸通草镂氨街恃究眭矧茱安缔鼎庐粘缉碚酱囤岽铳鲢呤赃扯殖讲破梢舸蜡严旬戚吸灶纯尹鹣甸摔磊忆愫翘,鲠孟城烃措秘附磺尸垢购熄鞘嗽堋俟快舐姗唬篥岛访绲咂檗搔涔森硼级遣薄蛭鎏,则响应电流为,氙刃莞恐庞用终巾辆伎荛每齿凤洱态移扈珐獾那阳难境必荭粝峡策擐辛澳蟑鼹帻馓淮喔俗锁鉴濉渐鸳妻雎溺噬饵勹琰钯兜贺瀑晶匍谡寿御泊追屁,此题利用杜