2016年广西高考数学适应性试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年广西高考数学适应性试卷（文科） 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有项是符合题目要求的 .） 1已知集合 A=x N|x 2，集合 B=x N|x n， n N，若 AB 的元素的个数为 6，则 n 等于（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 2设 i 为虚数单位，（ 3+4i） 2=a+a， b R），则 |a+于（ ） A 5 B 10 C 25 D 50 3设奇函数 f（ x）满足 3f（ 2） =8+f（ 2），则 f（ 2）的值为（ ） A 4 B 2 C 4 D 2 4若 ，则 于（ ） A B C 4 D 4 5已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 y= x，则此双曲线的离心率为（ ） A B C D 6若函数 f（ x） =24x+）（ 0）的图象关于直线 x= 对称，则 的最大值为（ ） A B C D 7若 x， t 满足约束条件 ，且目标函数 z=2x+y 的最大值为 10，则 a 等于（ ） A 3 B 10 C 4 D 10 8若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N n（ m），例如 10 4（ ）下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则 输出的n 等于（ ） 第 2 页（共 18 页） A 17 B 16 C 15 D 13 9一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（ ） A 20 B 28 C 20 或 32 D 20 或 28 10某市对在职的 91 名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示： 支持新教材 支持旧教材 合计 教龄在 10 年以上的教师 12 34 46 教龄在 10 年以下的教师 22 23 45 合计 34 57 91 附表： P（ 出相关公式及数据： ，其中 n=a+b+c+d （ 12 23 22 34） 2=222784， 34 57 46 45=4011660 参照附表，下列结论中正确的是（ ） A在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “教龄的长短与支持新教材有关 ” B在犯错误的概率 不超过 前提下，认为 “教龄的长短与支持新教材有关 ” C在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “教龄的长短与支持新教材有关 ” D我们没有理由认为 “教龄的长短与支持新教材有关 ” 11长方体 8 个顶点都在球 O 的表面上， E 为 中点， ， ，且四边形 正方形，则球 O 的直径为（ ） A 4 B C 4 或 D 4 或 5 12函数 f（ x） =a）在（ 1， 2）上递减，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， B（ ， C（ ， D ， +） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡中的横线上） 13设函数 ，则 f（ f（ 1） =_ 14设向量 =（ 1， m）， =（ 2m， 1），其中 m 1， +），则 的最小值为 _ 15在 ， B= ， 3 面积为 6 ，则 周长为_ 第 3 页（共 18 页） 16设 m 0，点 A（ 4， m）为抛物线 p 0）上一点， F 为焦点，以 A 为圆心 |半径的圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6，则圆 C 的标准方程为 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 为等差数列，且 ， 6 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 前 n 项和 18已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 Y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生 n 人，成绩分为 A（优秀）、 B（良好）、 C（及格）三个等级，设 x， y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人，数学 成绩为B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 （ 1）设在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a， b 的值； （ 2）已知 a 8， b 6，求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率 19如图，在四棱锥 A ， 等边三角形，平面 平面 ，四边形 高为 的等腰梯形， O 为 中点 （ 1）求证： （ 2）求 O 到平面 距离 20如图，椭圆 =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 A， B，焦距为 2 ，直线 x= a 与 y=b 交于点 D，且 |3 ，过点 B 作直线 l 交直线 x= a 于点 M，交椭圆于另一点 P （ 1）求椭圆的方程； （ 2）证明： 为定值 21设 a R，函数 f（ x） =g（ x） = （ 1）当 a=7 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； 第 4 页（共 18 页） （ 2）若 f（ x） g（ x） 0 对 x （ 0， +）恒成立，求实数 a 的取值范围 选做题 22如图，从圆 O 外一点 P 引圆的切线 割线 C 为切点， 足为 D （ 1）求证： P=2D； （ 2）若 次成公差为 1 的等差数列，且 ，求 长 选做题 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的方程为 =2 ） 2 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）点 P、 Q 分别为直线 l 与曲线 C 上的动点，求 |取值范围 选做题 24 设函数 f（ x） =|x a| （ 1）当 a=2 时，解不等式 f（ x） 7 |x 1|； （ 2）若 f（ x） 1 的解集为 0， 2， + =a（ m 0， n 0），求证： m+4n 2 +3 第 5 页（共 18 页） 2016 年广西高考数学适应性试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有项是符 合题目要求的 .） 1已知集合 A=x N|x 2，集合 B=x N|x n， n N，若 AB 的元素的个数为 6，则 n 等于（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 AB 中的元素，从而判断出 n 的值即可 【解答】 解：集合 A=x N|x 2， 集合 B=x N|x n， n N， 若 AB 的元素的个数为 6， 即 AB=3， 4， 5， 6， 7， 8， 则 n 等于 9， 故选： D 2设 i 为虚数单位，（ 3+4i） 2=a+a， b R），则 |a+于（ ） A 5 B 10 C 25 D 50 【考点】 复数求模 【分析】 分别求出 a， b 的值，从而求出 |a+可 【解答】 解： （ 3+4i） 2=a+a， b R）， a+ 7+24i， 则 |a+ =25， 故选： C 3设奇函数 f（ x）满足 3f（ 2） =8+f（ 2），则 f（ 2）的值为（ ） A 4 B 2 C 4 D 2 【考点】 函数的值 【分析】 求出 f（ 2） = f（ 2），代入 3f（ 2） =8+f（ 2），得到 3f（ 2） =8 f（ 2），解出即可 【解答】 解： f（ x）是奇函数， f（ 2） = f（ 2）， 3f（ 2） =8+f（ 2）， 3f（ 2） =8 f（ 2）， 4f（ 2） =8， f（ 2） =2， 故选： D 4若 ，则 于（ ） 第 6 页（共 18 页） A B C 4 D 4 【考点】 三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数 【分析】 利 用两角和与差的正弦函数化简已知条件，然后求解即可 【解答】 解： ，可得： 故选： B 5已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 y= x，则此双 曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得 b= a，由 a， b， c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 y= x， 由题意可得 = ， 即为 b= a， c= = a， 可 得 e= = 故选： A 6若函数 f（ x） =24x+）（ 0）的图象关于直线 x= 对称，则 的最大值为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得 的最大值 【解答】 解： 函数 f（ x） =24x+）（ 0）的图象关于直线 x= 对称， 4 +=，即 =， k Z，故 的最大值为 ， 故选： B 第 7 页（共 18 页） 7若 x， t 满足约束条件 ，且目标函数 z=2x+y 的最大值为 10，则 a 等于（ ） A 3 B 10 C 4 D 10 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，显然直线过 A（ 3， a）时，直线取得最大值，得到 10=6+a，解出即可 【解答】 解：画出满足约束条件 的平面区域，如图示： ， 显然直线过 A（ 3， a）时，直线取得最大值， 且目标函数 z=2x+y 的最大值为 10，则 10=6+a， 解得： a=4， 故选： C 8若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N n（ m），例如 10 4（ ）下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A 17 B 16 C 15 D 13 第 8 页（共 18 页） 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环 结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： 被 3 除余 2， 被 5 除余 2， 即被 15 除余 2，最小两位数， 故输出的 n 为 17， 故选： A 9一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（ ） A 20 B 28 C 20 或 32 D 20 或 28 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【 分析】 根据正（主）视图，侧（左）视图，可得梯形的上底为 1 或 3，下底为 4，高为 2，棱柱的高为 4，代入棱柱的体积公式计算 【解答】 解：由图可知，梯形的上底为 1 或 3，下底为 4，高为 2，棱柱的高为 4， 所以体积为 =20 或 =28 故选： D 10某市对在职的 91 名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示： 支持新教材 支持旧教材 合计 教龄在 10 年以上的教师 12 34 46 教龄在 10 年以下的教师 22 23 45 合计 34 57 91 附表： P（ 出相关公式及数据： ，其中 n=a+b+c+d （ 12 23 22 34） 2=222784， 34 57 46 45=4011660 参照附表，下列结论中正确的是（ ） A在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “教龄的长短与支持新教 材有关 ” B在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “教龄的长短与支持新教材有关 ” C在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “教龄的长短与支持新教材有关 ” 第 9 页（共 18 页） D我们没有理由认为 “教龄的长短与支持新教材有关 ” 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据列联表中的数据，计算观测值 照数表即可得出结论 【解答】 解：根据列联表中的数据，计算观测值 = 对 照数表得出结论： 在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “教龄的长短与支持新教材有关 ” 故选： B 11长方体 8 个顶点都在球 O 的表面上， E 为 中点， ， ，且四边形 正方形，则球 O 的直径为（ ） A 4 B C 4 或 D 4 或 5 【考点】 球的体积和表面积 【分析 】 设 x，则 AE=x， ，由余弦定理可得 +3 2 3 ，求出 x，即可求出球 O 的直径 【解答】 解：设 x，则 AE=x， ， ， 由余弦定理可得 +3 2 3 ， x=1 或 ， ， ，球 O 的直径为 =4， 或 ， ，球 O 的直径为 = 故选： C 12函数 f（ x） =a）在（ 1， 2）上递减，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， B（ ， C（ ， D ， +） 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 令 y=a，由条件利用复合函数的单调性可得在（ 1， 2）上， y 0 且 y 单调递减，故 y=32x 0，再利用二次函数的性质求得 a 的范围 【解答】 解：令 y=a，则 f（ x） = 在（ 1， 2）上， y 0 且 y 单调递减， 故 y=32x=x（ 32） 0， ，或 第 10 页（共 18 页） 解 可得 a ，解 求得 a 无解 综上可得， a ， 故选： A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡中的横线上） 13设函数 ，则 f（ f（ 1） =0 【考点】 函数的值 【分析】 根据分段函数的表达式代入进行求解即可 【解答】 解：由分段函数得 f（ 1） = ，则 f（ ） =2 1=1 1=0， 故 故答案为： 0 14设向量 =（ 1， m）， =（ 2m， 1），其中 m 1， +），则 的最小值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 的坐标，代入向量的数量积公式得出 关于 m 的函数，根据二次函数的性质得出 的最小值 【解答】 解： =（ 2m+1， m 1） =2m+1+m（ m 1） =m2+m+1=（ m+ ） 2+ m 1， +）， 当 m= 时， 取得最小值 故答案为： 15在 ， B= ， 3 面积为 6 ，则 周长为 18 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 由已知及正弦定理可得 3c=8a，又由 B= ，利用三角形面积公式可求 4，联立可解得： a， c 的值， 利用余弦定理可求 b 的值，即可得解三角形周长 【解答】 解： 3正弦定理可得 3c=8a， 又 B= ， 面积为 6 = 得： 4， 由 联立，可解得： a=3， c=8， 由余弦定理可得： b= = =7， 第 11 页（共 18 页） 周长为： a+b+c=3+7+8=18 故答案为： 18 16设 m 0，点 A（ 4， m）为抛物线 p 0）上一点， F 为焦点，以 A 为圆心 |半径的圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6，则圆 C 的标准方程为（ x 4） 2+（ y 4） 2=25 【考点】 圆的标准方程；圆的一般方程 【分析】 由题意可得点 A（ 4， m）到 y 轴的距离为 4，又已知圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6，可求出 |值，进一步得到 p 的值，把点 A（ 4， m）代入抛物线的方程，求得 m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程 【解答】 解：由题意可得点 A（ 4， m）到 y 轴的距离为 4，又已知圆 C 被 y 轴截得的弦长为 6， 得 | ，则 ， p=2 点 A（ 4， m）为抛物线 p 0）上一点， 圆 C 的标准方程为（ x 4） 2+（ y 4） 2=25 故答案为：（ x 4） 2+（ y 4） 2=25 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 为等差数列，且 ， 6 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1）利用已知条件求出数列的公差，然后求出通项公式 （ 2）直接把数列变为两个数列，一个是等差数列一个是等比数列，分别求和即可 【解答】 解：（ 1）设数列 的公差为 d， ， ， ， （ 2） 18已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 Y A B C A 14 40 10 B a 36 b 第 12 页（共 18 页） C 28 8 34 若抽 取学生 n 人，成绩分为 A（优秀）、 B（良好）、 C（及格）三个等级，设 x， y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人，数学成绩为B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 （ 1）设在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a， b 的值； （ 2）已知 a 8， b 6，求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）由频率 = ，能求出 a， b 的值 （ 2）由 14+a+28 10+b+34，得 a b+2由此利用列举法能求出所求概率 【解答】 解：（ 1）由频率 = ，得到 ， ，故 a=18， 而 14+a+28+40+36+8+10+b+34=200， b=12 （ 2） a+b=30 且 a 8， b 6， 由 14+a+28 10+b+34，得 a b+2 （ a， b）的所有结果为 （ 8， 22），（ 9， 21），（ 10， 20），（ 11， 19）， （ 24， 6）共 17 组， 其中 a b+2 的共 8 组， 故所求概率为： 19如图，在四棱锥 A ， 等边三角形，平面 平面 ，四边形 高为 的等腰梯形， O 为 中点 （ 1）求证： （ 2）求 O 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）证明 出 平面 可证明 （ 2）取 中点 G，连接 出 到 平面 O 作足为 H，说明 平面 O 到平面 距离为 解即可 【解答】 （ 1）证明：因为 边三角形， O 为 中点，所以 又因为平面 平面 面 面 面 F， 所以 平面 又 面 以 （ 2）解：取 中点 G，连接 由题设知， 由（ 1）知 平面 第 13 页（共 18 页） 又 面 以 为 A=O，所以 平面 过 O 作 足为 H，则 为 C=G，所以 平面 因为 ，所以 ， 即 O 到平面 距离为 （另外 用等体积法亦可） 20如图，椭圆 =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 A， B，焦距为 2 ，直线 x= a 与 y=b 交于点 D，且 |3 ，过点 B 作直线 l 交直线 x= a 于点 M，交椭圆于另一点 P （ 1）求椭圆的方程； （ 2）证明： 为定值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）利用已知条件列出 ，求解可得椭圆的方程 （ 2）设 M（ 2， P（ 推出 =（ =（ 2， 直线 方程，代入椭圆方程，由韦达定理得 后求解 为定值 【解答】 解：（ 1）由题可得 ， ， 椭圆的方程为 （ 2） A（ 2， 0）， B（ 2， 0），设 M（ 2， P（ 则 =（ =（ 2， 直线 方程为： ，即 ， 第 14 页（共 18 页） 代入椭圆方程 ，得 ， 由韦达定理得 ， ， ， = 2x1+ + = =4 即 为定值 21设 a R，函数 f（ x） =g（ x） = （ 1）当 a=7 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若 f（ x） g（ x） 0 对 x （ 0， +）恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上 某点切线方程 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程； （ 2）由 f（ x） 0 对 x （ 0， +）恒成立， a （ ） h（ x） = （ x 0），求出 a 的范围，结合 f（ x） g（ x） 0 对 x （ 0， +）恒成立，得到 a 对 x （ 0， +）恒成立设 H（ x） = ，求出 a 的范围，取交集即可 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =7导数为 f（ x） =14x ， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 14 1=13， 切点为（ 1， 7），可得切线的方程为 y 7=13（ x 1）， 即为 13x y 6=0； （ 2）若 f（ x） 0 对 x （ 0， +）恒成立， 即 0 对 x （ 0， +）恒成立，则 a （ ） 设 h（ x） = （ x 0）， 则 h（ x） = ， 当 0 x e 时， h（ x） 0，函数 h（ x）递增； 当 x e 时， h（ x） 0，函数 h（ x）递减 第 15 页（共 18 页） 所以当 x 0 时， h（ x） h（ e ） = ， a h（ x）无最小值， f（ x） 0 对 x （ 0， +）恒成立不可能 f（ x） g（ x） 0 对 x （ 0， +）恒成立， g（ x） =0，即 a 对 x （ 0， +）恒成立 设 H（ x） = ， H（ x） = ， 当 0 x 1 时， H（ x） 0，函数 H（ x）递减； 当 x 1 时， H（ x） 0，函数 H（ x）递增， 所以当 x 0 时， H（ x） （ 1） =e， a e 综上可得， a e 选做题 22如图，从圆 O 外一点 P 引圆的切线 割线 C 为切点， 足为 D （ 1）求证： P=2D； （ 2）若 次成公差为 1 的等差数列，且 ，求 长 【考 点】 相似三角形的判定 【分析】 （ 1）证明 后推出 P=2D； （ 2）设 AP=x（ x 0），则 AB=x+1， BC=x+2，由切割定理可得 B=出 x，利用（ 1）即可求解 长 【解答】 （ 1）证明： 圆 O 的切线， 又 ，即 C=P 又 P=2D （ 2）解：设 AP=x（ x 0），则 AB=x+1， BC=x+2， 由切割定理可得 B= x（ 2x+1） =21， x 0， x=3， ， 由（ 1）知， C=P， ， 第 16 页（共 18 页） 选做题 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的方程为 =2 ） 2 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）点 P、 Q