2016年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上 1已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 =i，则 |z|（ ） A 2 B C D 2设全集 U=R，若集合 A=x|y=4 ，集合 B=y|y=2x 1， x R，则集合 U（ AB） =（ ） A（ 1， 2） B 1， 2） C（ ， 1 2， +） D（ ， 1） 2，+） 3为估测某校初中生的身高情况，现从初二（四）班的全体同学中随机抽取 10 人进行测量，其身高数据如茎叶图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A 172， 172 B 172， 169 C 172， 169， 172 4若命题 p： x R，不等式 2 x+a 0 恒成立，命题 q： x R，不等式 |x 1|+|x+1| a 恒成立，则命题 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5某程序框图如图所示，则输出的 S 的值为（ ） A B C 0 D 6已知 a， b 为空间两条不重合的直线， ， 为空间两个不重合的平面，则以下结论正确的是（ ） A若 ， a，则 a B若 ， a ，则 a C若 a， a ，则 D若 a， a ，则 第 2 页（共 21 页） 7看函数 f（ x）在定义域内满足条件： f（ x） +f（ x） =0； f（ x） f（ x+t） 0（其中 t 0），则函数 f（ x）的解析式可以是（ ） A y=x+ B y= y= D y=已知 x， y 满足线性约束条件 ，则目标函数 z= 的最小值为（ ） A B C D 9椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦点分别为 椭圆上存在一点 P 使得 0，且 | | |等差中项，则椭圆的离心率 e 为（ ） A B C D 10设函数 f（ x）的定义域为 R，若不等式 |f（ x） | |x|对任意的实数 x 均成立，则称函数 f（ x）为 “T”函数，给出下列四个函数： x） = ， x） = x） =）， x） = 其中， “T”函数的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分把正确答案 填在答题卡的相应位置 11若 a= （ x ） 8 的展开式中的常数项为 _（用数字作答） 12已知函数 f（ x） =2x+）的图象关于点（ ， 0）对称，若将函数 f（ x）的图象向右平移 m（ m 0）个单位得到一个偶函数的图象，则实数 m 的最小值为 _ 13给定两个单位向量 ， ，它们的夹角为 60点 C 在以 O 为圆弧 上运动，若 =x+y ，其中 x， y R，则 最大值为 _ 14已知圆 C：（ x 2） 2+（ y 3） 2=1，（ 0， 3）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M， N，且 = ，则实数 k 的值为 _ 15设定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ = ，则 f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ 0） +f（ 2） +f=_ 第 3 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， b c，且 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a= ， ，求 面积 17已知函数 f（ x） = ，数列 前 n 项和为 ， =f（ n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 12+ n 2 时，求证： 42 18如图，菱形 棱长为 2， 0， 底面 E 为边 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）当直线 底面 成的角为 30时，求二面角 A C 的余弦值 19甲乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分若其中的一方比对方多得2 分或下满 5 局时停止比赛设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立 （ 1）求没下满 5 局甲即获胜的概率； （ 2）设比赛停止时已下局数为 ，求 的分布列和数学期望 20已知点（ ， ）是等轴双曲线 C： =1 上一点，抛物线 p 0）的焦点与双曲线 C 的一个焦点重合 （ 1）求抛物线的方程； （ 2）若点 P 是抛物线上的动点，点 A， B 在 x 轴上，圆 y 1） 2=1 内切于 积的最小值 第 4 页（共 21 页） 21已知函数 f（ x） =x+1） b（ x+1） 2 图象上点 P（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= 3x+21 （ 1）求 a， b 的值，并判断 f（ x）的单调性； （ 2）若方程 f（ x） t=0 在 1， e 1内有两个不等实数根，求实数 t 的取值范围（其中 e 为自然对数的底数， e=； （ 3）设 g（ x） = 2x2+x+m 1，若对任意的 x （ 1， 2）， f（ x） g（ x）恒成立 ，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上 1已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 =i，则 |z|（ ） A 2 B C D 【考点】 复数求模 【分析】 直接利用复数的模的运算法则化简求解即可 【解答】 解：复数 z 满足 =i，则 | |=|i| 即： |z|= 1= 故选： D 2设全集 U=R，若集合 A=x|y=4 ，集合 B=y|y=2x 1， x R， 则集合 U（ AB） =（ ） A（ 1， 2） B 1， 2） C（ ， 1 2， +） D（ ， 1） 2，+） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据函数的定义域和值域求出 A， B 的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解：由 4 0，得 2 x 2，即 A=（ 2， 2）， y=2x 1 1，即 B=（ 1， +）， 则 AB=（ 1， 2）， U（ AB） =（ ， 1 2， +）， 故选： C 3为估测某校初中生的身高情况，现从初二（四）班的全体同 学中随机抽取 10 人进行测量，其身高数据如茎叶图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A 172， 172 B 172， 169 C 172， 169， 172 【考点】 伪代码 【分析】 根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，根据众数是出现次数最多的数求出众数即可得解 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解：由茎叶图可知：这组数据为 158， 160， 161， 165， 166， 172， 172， 174， 177，183， 所以其中位数为 =169， 由茎叶图知出现次数最多的数是 172，可得众数为 172 故选： B 4若命题 p： x R，不等式 2 x+a 0 恒成立，命题 q： x R，不等式 |x 1|+|x+1| a 恒成立，则命题 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 分别求出命题 p 为真命 题，题 q 为真命题的 a 的范围，再求出 p 成立的 a 的范围，根据充分条件和必要条件的定义判断即可 【解答】 解：若命题 p 为真命题： x R，不等式 2 x+a 0 恒成立， （ 2 ） 2 4a 0， a 2， p 为 a 2， 若命题 q 为真命题： x R，不等式 |x 1|+|x+1| a 恒成立， 根据绝对值的几何意义得 |x 1|+|x+1| 2， a 2， 命题 p 是 q 的必要不充分条件， 故选： B 5某程序框图如图所示，则输出的 S 的值为（ ） A B C 0 D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式 S，利用正弦函数的周期性求出 S 的值即可 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序运行后输出的是 第 7 页（共 21 页） S=+ 分析最后一次循环情况， i=2015 时，不满足条件 i 2016，执行循环： S=+=+ +） += + +0+（ ） +（ ） +0+ + +0+（ ） +（ ） =0， i=2016 时，满足条件 i 2016，退出循环，输出 S=0 故选： C 6已知 a， b 为空间两条不重合的直线， ， 为空间两个不重合的平面，则以下结论正确的是（ ） A若 ， a，则 a B若 ， a ，则 a C若 a， a ，则 D若 a， a ，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【分析】 利用线面、平面与平面平 行、垂直的判定与性质，即可得出结论 【解答】 解：对于 A，若 ， a，则： a 或 a 与 相交或 a，不正确； 对于 B，因为一条直线与一个平面都垂直于同一个平面，此面与线的位置关系是线在面内或线与面平行，不正确； 对于 C，根据平面与平面平行的判定定理，可知不正确； 对于 D，根据平面与平面垂直的判定定理，可知正确 故选： D 7看函数 f（ x）在定义域内满足条件： f（ x） +f（ x） =0； f（ x） f（ x+t） 0（其中 t 0），则函数 f（ x）的解析式可以是（ ） A y=x+ B y= y= D y=考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分析】 根据已知条件即可判断出 f（ x）满足定义域为 R，为奇函数，增函数，判断每个选项中的函数是否满足 f（ x）的上面几个条件即可找出正确选项 【解答】 解： f（ x） +f（ x） =0； f（ x）为奇函数； f（ x） f（ x+t） 0，即 f（ x+t） f（ x）， t 0； f（ x）在 R 上为增函数； A y=x+ ，再其定义域上的单调性不一致， 该选项错误； B y=每一个区间上是增函数， 该选项错误； C y= ，在每一个区间上是减函数， 该选项错误； 第 8 页（共 21 页） D y=然是奇函数，且在 R 上为增函数， 该选项正确 故选： D 8已知 x， y 满足线性约束条件 ，则目标函数 z= 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，然后利用 z= 的几何意义，即可行域内的动点与定点（ 1， 2）连线的斜率的倒数求解 【解答】 解：由约束条件 作出可 行域如图， B（ 0， 4）， P（ 1， 2）， 由图可知，过 直线的斜率大于 0 且最大， 即 ， 目标函数 z= 的最小值为 故选： A 9椭圆 + =1（ a b 0）的左右 焦点分别为 椭圆上存在一点 P 使得 0，且 | | |等差中项，则椭圆的离心率 e 为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设 |m， |n，由题意可得： ，化简即可得出 第 9 页（共 21 页） 【解答】 解：设 |m， |n， 由题意可得： ，化为： + =4 7e 5=0， 0 e 1 解得 e= ， 故选： A 10设函数 f（ x）的定义域为 R，若不等式 |f（ x） | |x|对任意的实数 x 均成立，则称函数 f（ x）为 “T”函数，给出下列四个函数： x） = ， x） = x） =）， x） = 其中， “T”函数的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 当 x=0 时，有 |x） |=|x|成立，当 x 0 时，利用不等式的性质说明 |x） | |x|成立，由此说明 是 “T”函数； 直接由 | 1 得到 |x） | |x|，说明 是 “T”函数； 分类求导说明 |x） | |x|，说明 是 “T”函数； 举例说明 不是 “T”函数 【解答】 解：对于 ， x） = ， 当 x=0 时，有 | |=0 x， 当 x 0 时，若 | | |x|，则 2|x| |=|x|2+1， 由不等式的性质可得上式显然成立，故 x）是 “T”函数； 对于 ， x） = | 1， |x| |x|，故 x）为 “T”函数； 对于 ， x） =）， 令 g（ x） =|） | |x|=） |x|， 当 x 0 时， g（ x） =） x， 第 10 页（共 21 页） g（ x） = ， g（ x）在 0， +）上为减函数，则 g（ x） g（ 0） =0，即 |） | |x| 当 x 0 时， g（ x） =） +x， g（ x） = ， g（ x）在（ ， 0）上为增函数，则 g（ x） g（ 0） =0，即 |） | |x| 故 x）为 “T”函数； 对于 ， x） = ， 当 x=0 时， | |= 0，故 x）不是 “T”函数 “T”函数的个数有 3 个， 故选： C 二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分把正确答案填在 答题卡的相应位置 11若 a= （ x ） 8 的展开式中的常数项为 1120（用数字作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 求定积分可得 a 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 可求得常数项 【解答】 解： a= 2，则（ x ） 8=（ x ） 8 的展开式的通项公式为： = （ 2） r2r， 令 8 2r=0，求得 r=4，可得展开式中的常数项为 24=1120， 故答案为： 1120 12已知函数 f（ x） =2x+）的图象关于点（ ， 0）对称，若将函数 f（ x）的图象向右平移 m（ m 0）个单位得到一个偶函数的图象，则实数 m 的最小值为 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 第 11 页（共 21 页） 【分析】 利用余弦函数的对称性可得 =， k Z，利用函数 y=x+）的图象变换规律及余弦函数的奇偶性解得 m= ，结合 m 的范围，即可得解最小值 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+）的图象关于点（ ， 0）对称， 2 +=， k z，解得： =， k Z， f（ x） =2x+）， k Z， 将函数 f（ x）的图象向右 平移 m（ m 0）个单位得到函数 y=（ x m） +=2x 2m+）， k Z 为偶函数， 要使函数 g（ x）为偶函数，即 x=0 为其对称轴，只需 2m+= k Z， ）， 解得： m= ， m 0 m 的最小正值为 ，此时 k ， k Z， Z 故答案为： 13给定两个单位向量 ， ，它们的夹角为 60点 C 在以 O 为圆弧 上运动，若 =x+y ，其中 x， y R，则 最大值为 【考点】 向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，即可求出结果 【解答】 解：建立如图所示的坐标系，则 B（ 1， 0）， A（ ，即 A（ ） 设 ，则 =（ 第 12 页（共 21 页） =x +y =（ x+y， x） x+y， x x= y= = +30） 0 60， 30 +30 90 +30） 1， 最大值 ，当 =60时取最大值 故答案为： 14已知圆 C：（ x 2） 2+（ y 3） 2=1，（ 0， 3）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M， N，且 = ，则实数 k 的值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 联立方程组消元，设 M（ N（ 根据根与系数的关系得出 入数量积公式列方 程解出 k 【解答】 解：直线 l 的方程为 y=， 联立方程组 ，消元得：（ ） 4x+3=0， 设 M（ N（ 则 ， x1+ ）（ ） =k（ x1+9= + +9 =+ + +9= ， 解得， k= 故答案为： 15设定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ = ，则 f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ 0） +f（ 2） +f=1 第 13 页（共 21 页） 【考点】 三角函数的化简求值；函数奇偶性的性质；函数的值 【分析】 由已知中 f（ = ，根据万能公式，可得 f（ x）的解析式，进而可得 f（ x） +f（ ） =0，进而可得答案 【解答】 解： f（ = = ， f（ x） = ， f（ ） = = = ， f（ x） +f（ ） =0 f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ 0） +f（ 2） +f=f（ 0） =1 故答案为： 1 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分解答时要求写出必要的 文字说明、证明过程或推理步骤 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， b c，且 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a= ， ，求 面积 【考点】 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式便可由得到 ，而由条件便可得出 B C，且 ，从而便可得出，这样便可求出 A= ； （ 2）可根据正弦定理求出 c= ，从而可判断出 C A，这样便可得出 ，而由 A+C）即可求出 值，从而由三角形的面积公式 即可求出 【解答】 解：（ 1）由题意得， ； 整理得， ； ； 第 14 页（共 21 页） 由 b c 得 ， B C，又 B+C （ 0， ）； ； ； ； （ 2）在 ， ； 由正弦定理得， ； ； 由 c a 得， C A， ； A+C） = = ； = 17已知函数 f（ x） = ，数列 前 n 项和为 ， =f（ n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 12+ n 2 时，求证： 42 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ 1）由题意可得： =f（ = ，两边取倒数可得： = +2，即 =2，利用等差数列的通项公式可得： 再利用递推关系可得： （ 2） = ， n 2 时， = 利用 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 （ 1）解：由题意可得： =f（ = ， 两边取倒数可得： = +2，即 =2， 第 15 页（共 21 页） 数列 是等差数列，首项为 2，公差为 2 =2+2（ n 1） =2n，解得 n 2 时， n 1= = （ 2）证明： = ， n 2 时， = + + = + = ， 即 42 18如图，菱形 棱长为 2， 0， 底面 E 为边 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）当直线 底面 成的角为 30时，求二面角 A C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可 （ 2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角 A B 的余弦值 【解答】 解：（ 1）连接 为四边形 棱长为 2 的菱形， 0， 所以 等边三角形，又 E 为边 中点，所以 而 2 分 因为 平面 面 所以 P=C， 故 平面 4 分 又 面 以平面 平面 5 分 （ 2）连接 为 平面 以 是直线 底面 成的角，故 0，在 ， ，可得 ， 建立空间直角坐标系 C 图， 第 16 页（共 21 页） 此时 0， 6 分 可得 C（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， B（ 1， ， 0）， A（ 3， ， 0）， =（ 1， ， 0）， =（ 0， 0， 2）， =（ 2， 0， 0）， =（ 1， ， 2）， 8 分 ，设 =（ x， y， z） 为平面 一个法向量， 则有 =0， =0， 即 ，可得 =（ 3， ， 0）， 同理可得平面 一个法向量 =（ 0， 2 ， 3）， 10 分 ， = = = ， 二面角 A C 是 钝二面角， 所以二面角 A C 的余弦值为 12 分 19甲乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分若其中的一方比对方多得2 分或下满 5 局时停止比赛设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立 （ 1）求没下满 5 局甲即获胜的概率； （ 2）设 比赛停止时已下局数为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）没下满 5 局甲即获胜有两种情况： 是两局后甲获胜， 是四局后甲获胜，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲获胜的概率 （ 2）依题意， 的所有取值为 2， 4， 5，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ 1）没下满 5 局甲即获胜有两种情况： 是两局后甲获胜，此时 = ， 第 17 页（共 21 页） 是四局后甲获胜，此时 ） = ， 甲获胜的概率 p=p1+= （ 2）依题意， 的所有取值为 2， 4， 5， 设前 4 局每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为： （ ） 2+（ ） 2= ， 若该轮结束时，比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分， 此时，该轮比赛结果对下轮比赛结果是否停止没有影响， 从而有： P（ =2） = ， P（ =4） = = ， P（ =5） = = ， 的分布列为： 2 4 5 P = 20已知点（ ， ）是等轴双曲线 C： =1 上一点，抛物线 p 0）的焦点与双曲线 C 的一个焦点重合 （ 1）求抛物线的方程； （ 2）若点 P 是抛物线上的动点，点 A， B 在 x 轴上，圆 y 1） 2=1 内切于 积的最小值 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 （ 1）求出双曲线方程，可得焦点 坐标，利用抛物线 p 0）的焦点与双曲线 C 的一个焦点重合，求出求抛物线的方程； 第 18 页（共 21 页） （ 2）设 P（ A（ m， 0）， B（ n， 0）， n m由圆心（ 1， 0）到直线 距离是 1，知（ 2） ，同理，（ 2） ，所以（ m n）2= ，从而得到 S （ n m） 此能求出 积的最小值 【解答】 解：（ 1） 点（ ， ）是等轴双曲线 C： =1 上一点， =1， ， ， c= ， 抛物线 p 0）的焦点与双曲线 C 的一个焦点重合， = ， p=1， 抛物线的方程为 y； （ 2）设 P（ A（ m， 0）， B（ n， 0）， n m 直线 方程： y 0= （ x n）， 化简，得 n y ， 圆心（ 0， 1）到直线 距离是 1， =1， n 2=（ n 2 2n + 2，上式化简后，得（ 2） ， 同理，（ 2） ， m+n= ， ， （ m n） 2= ， P（ 抛物线上的一点， （ m n） 2= ， n m= ， S （ n m） 2） + +4 2 +4=8 第 19 页（共 21 页） 当且仅当 2= 时，取等号 此时 ， 2 积的最小值为 8 21已知函数 f（ x