控制工程基础第5章

,第五章系统的稳定性,控制系统在实际运行中，总会受到外界扰动的影响，如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各变量会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。,稳定性的概念,系统稳定性指系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的状态或趋于一个新的平衡状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。,系统稳定性是系统固有的特性，只取决于系统结构参数，而与初始条件及外界作用无关。,定义,李雅普诺夫稳定性,渐近稳定：系统的输出在初始偏差作用下，其终态能回到原始平衡工作点。,大范围渐近稳定：系统在任意初始条件下都保持渐近稳定。,李雅普诺夫定义下的稳定,O,稳定：设系统的平衡工作点为O，若扰动使系统偏离平衡工作点的初始偏差不超过域，扰动引起的输出的终态不超过允许的域，称为李雅普诺夫意义下的稳定。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。,线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性，决定于瞬态分量是否衰减。,稳定性的充要条件,设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲(t)，这时系统的输出增量为为脉冲响应c(t)，相当于系统在扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。,若t时，脉冲响应,即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。,设系统闭环传递函数,闭环特征方程,闭环传递函数改写成,设闭环特征根互不相等,系统时域特性,若为实数,若系统稳定,若为复数,发散,若特征根为k个实根，r个复数根,线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有负实部，或都位于s平面的左半平面，则系统稳定。,说明：若系统有极点位于虚轴上或原点，其余极点均位于s左半平面，则零输入响应趋于等幅振荡，系统处于临界稳定状态，属于不稳定系统。,例,已知单位反馈系统的开环传递函数，试说明系统是否稳定。,系统稳定,解：,系统的闭环传递函数为,特征方程,特征根,系统稳定的充要条件：全部特征根都具有负实部。,系统闭环特征方程,若全部特征根p1,p2,pn均具有负实部，必须满足：,特征方程的各项系数ai的符号都相同。,特征方程的各项系数ai0；,系统稳定的必要条件：特征方程的各项系数ai0。,系统稳定的必要条件,设系统的闭环特征方程式为如下标准形式,劳斯数列（劳斯表）,特点：逐行计算，运算中的空位置零，系数呈上三角形。,g1=an,劳斯（Routh）稳定判据,线性系统稳定的充分条件,劳斯表中第一列各值为正。若劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，等于系统特征方程具有正实部根的个数。,例,已知系统的特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,第一列的系数都为正数，系统稳定,解：,（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,系统稳定的充分条件：劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号。,例,已知系统的特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,有两个正实部的特征根，系统不稳定,解：,（1）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,劳斯数列表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。,1、劳斯数列中某一行的第一列元素为零，但其余不为零或不全为零。,用一个很小的正数来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后令小正数趋于零，再按照前述方法对系统稳定性进行判据。,劳斯判据的特殊情况,第一列为零,系统不稳定，有两个根具有正实部,例,已知系统的特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：,（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,2、若劳斯数列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，说明在根平面内存在一些绝对值相同，但符号相异的特征根。,（3）解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。,（1）用(k-1)行元素构成辅助多项式，辅助方程的最高阶次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。,（2）将辅助多项式对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。,解得,例,系统特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：,（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,全零行,辅助多项式,有两个共轭虚根，系统临界稳定。,例,已知系统特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：,（2）列劳斯数列表,（1）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。,辅助多项式,系统有正实部特征根，系统不稳定。,解得,劳斯判据的应用,判别系统是否稳定，即系统的绝对稳定性。,可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。,可用来分析系统参数对稳定性的影响。,稳定裕量的检验,令，即虚轴左移。将上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂线）的左边。,如果所有根均在新虚轴的左边（新劳思阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量。,例,检验特征方程式，是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=1的右边。,解：,（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号，故没有根在s右半平面。,新的劳斯阵列表,令s=z-1，代入特征方程式，得,即：,从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在直线s=-1（即新坐标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。,分析系统参数对稳定性的影响,一单位反馈控制系统下图所示，求使系统稳定的k的范围。,系统的传递函数为,特征方程,系数都为正实数,例,解：,列劳斯阵列表,00,特征方程,系统稳定的充分条件：劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号。,即,解得,乃奎斯特稳定判据,乃奎斯特(Nyquist)稳定判据，简称乃氏判据，又称频域法判据。乃氏判据是一种图解法，它根据开环频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。使用方便，易于推广。,幅角映射是指利用关系函数F(s)将s平面上的闭合曲线或轨迹映射转换到另一个平面上。,幅角原理,假设复变函数F(s)为单值，且除了s平面上有限的奇点外处处连续，即F(s)在s平面上除奇点外处处解析，那么对于s平面上的每一个解析点，在F(s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。,当系统的开环传递函数为,例,s和F(s)的映射关系,若s平面上一封闭曲线Ls包围F(s)的Z个零点和P个极点（不经过F(s)的任何极点），则在F(s)平面上必有一对应的封闭映射曲线LF。当复变量s在s平面上顺时针方向沿Ls变化一周时，在F(s)平面上的映射曲线绕原点顺时针转过N圈，即N=ZP。N0顺时针，N0逆时针，N=0表示不包括F(s)平面的原点。,复变函数F(s)的选择,闭环特征方程,开环传递函数,闭环传递函数,辅助函数,特点,F(s)的零点即为系统闭环传递函数(s)的极点，F(s)的极点即为开环传递函数Gk(s)的极点。,F(s)与开环传递函数G(s)H(s)只相差常量1，F(s)的几何意义为：F(s)平面的坐标原点就是GH平面上的(-1,j0)点。,关系图,线性定常系统稳定的充要条件：闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部特征根都具有负实部，即(s)在s平面的右半平面没有极点。,F(s)在s平面的右半平面没有零点。,即,选择一条封闭曲线Ls包围整个s平面的右半平面，则封闭曲线Ls称为s平面上的乃氏轨迹。,s平面的Nyquist轨迹,幅角原理：若F(s)=1+G(s)H(s)在s右半平面有Z个零点和P个极点，当s沿s平面上的乃氏轨迹Ls移动一周，在F(s)平面上的映射曲线LF将包围原点N=ZP圈。,由于F(s)1=G(s)H(s)，因此，F(s)的映射曲线LF包围原点的圈数就等于G(s)H(s)的映射曲线LGH包围(-1,j0)点的圈数。,闭环系统稳定的充要条件：F(s)在s平面的右半平面没有零点，即Z=0。,若G(s)H(s)的乃氏轨迹逆时针包围(-1,j0)点的圈数等于其在s右半平面的极点数P，即N=P，由N=ZP得出Z=0，闭环系统稳定。,乃奎斯特稳定判据,1、s平面虚轴上无开环极点,如果开环传递函数G(s)H(s)在s右半平面上有P个极点，当由0变化到+时，GH平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针包围(-1,j0)点P/2圈，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。,若P=0，闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性G(j)H(j)不包围(-1,j0)点。,2、s平面原点处有开环极点,虚轴上有开环极点时的乃氏轨迹