江苏省常州市武进区2020届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）

江苏省常州市武进区2020届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知集合，则等于_【答案】【解析】综上所述，答案为2. 函数的最小正周期为_.【答案】【解析】函数的周期故答案为3. 若，共线，则实数的值为_【答案】-6【解析】共线，解得故答案为4. 设，则“”是“”的_条件. （用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【答案】充分不必要【解析】，解得当时，当时，是的充分不必要条件。5. 在等差数列中，若，则_【答案】【解析】在等差数列中，由等差数列的性质可得：即又故答案为6. 已知在中，内角、的对边分别为、，若，则角为_【答案】【解析】由正弦定理可得：，得解得故答案为77. 设实数，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】1【解析】，当，时，故的最小值为8. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的表面积为_.【答案】【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积为，正方体的表面积为，解得一个正方体的所有顶点在一个球面上正方体的体对角线等于球的直径，即，则球的表面积为9. 若函数的定义域是，则函数的定义域为_【答案】【解析】的定义域是的定义域是则的定义域为故答案为10. 在中，.若，（），且，则实数的值为_.【答案】3【解析】，则，AC原式故实数的值为11. 若集合中恰有唯一的元素，则实数的值为_.【答案】2【解析】集合中恰有唯一的元素当时，则故答案为12. 已知，则的最小值为_.【答案】【解析】原式故答案为13. 中，若、依次成等比数列，则的取值范围为_.【答案】【解析】由已知得，则即的取值范围是故答案为点睛：由两角和的正切值可以建立与、的关系，题目中、依次成等比数列也会有数量关系，再运用基本不等式即可求出的取值范围。14. 已知定义在上的函数满足，且当时， .若对任意、，都有成立，则实数的最大值是_.【答案】【解析】当时，又 ， 当时，单调递减；当时，单调递增；当、时都有，若，则舍去若时，则，解得故答案实数的最大值是二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量， 若，求的值； 令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：由条件可得向量数量积，得出、的数量关系，即可求出，就可以求出结果(2)根据三角函数的图象平移，按照条件给出的横坐标都缩小为原来的一半，再把所得图象沿轴向左平移个单位，得出三角函数的图象。解析： ， ， . ， 把函数 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到， 再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到， 由得，的单调增区间是. 16. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA面ABCD，且AB2，AD4，AP4，F是线段BC的中点. 求证：面PAF面PDF； 若E是线段AB的中点，在线段AP上是否存在一点G，使得EG面PDF？若存在，求出线段AG的长度；若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）PA面ABCD，面ABCD，PADF ，在矩形内根据F是线段BC的中点和长度，根据勾股定理求得AFDF，即得证 (2)解法一：延长AB交DF延长线于点M，连结PM.这样将面PDF延伸，当EGPM时存在一点G，使得EG面PDF 解法二：构造平行四边形，取DF中点I，连结EI，过点G作AD的平行线交PD于点H，连结GH、HI.证得四边形GEIH是平行四边形，根据线面平行判定定理即可证得。解析： PA面ABCD，面ABCD，PADF，又在底面ABCD中，AFDF， ，DF面PAF， 面PDF，面PAF面PDF. 解：法一、假设在线段AP上存在点G，使得EG面PDF.连结AB并延长交DF延长线于点M，连结PM.F是线段BC的中点，底面ABCD是矩形， EG面PDM，面PAM，面PAM 面PDM=PM， EGPM， ，故在线段AP上存在点G，使得EG面PDF，此时.法二、假设在线段AP上存在点G，使得EG面PDF.取DF中点I，连结EI，过点G作AD的平行线交PD于点H，连结GH、HI. E是线段AB的中点， 是梯形ABFD的中位线，EIGH， EG面PDF，面GEIH，面GEIH 面PDM=IH， EGIH， 四边形GEIH是平行四边形， ，故在线段AP上存在点G，使得EG面PDF，此时.点睛：本题的第（2）问是否存在点使得线面平行，可以先假设存在，然后根据线面平行的判定定理，找出一条线与已知线平行，这里运用了两种方法，一是延展面，在三角形中找线线平行，二是构造平行四边形，根据线线平行，证得线面平行。17. 如图，已知直线与曲线在第一象限和第三象限分别交于点和点，分别由点、向轴作垂线，垂足分别为、，记四边形的面积为S. 求出点、的坐标及实数的取值范围； 当取何值时，S取得最小值，并求出S的最小值. 【答案】(1) 详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得直线与曲线交两点，联立直线与曲线方程解得两点坐标，由得，即，再由第一象限和第三象限求得的取值范围（2）要求出S的最小值，将四边形沿轴分割成两个三角形，以为公共底，为高，表示出，运用不等式求出结果解析： 由得，即，解得或， 当时，即， 当时，即， 点在第三象限，得，故，故实数的取值范围为； ，则， ，故关于的函数关系式， 得，当且仅当时等号成立， 即四边形面积取得最小值8时， . 18. 已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且. 写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润年销售收入年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 千件.【解析】试题分析：由年利润年销售收入年总成本，结合，即可得到所求的解析式；由的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。解析： 当时，； 当时，. .当时，由，得当时，单调递增；当时，单调递减.故； 当时，当且仅当时，. 综合、知，当时，取最大值. 所以当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大. 19. 已知数列中，前项和满足（） 求数列的通项公式； 记，求数列的前项和； 是否存在整数对（其中，）满足？若存在，求出所有的满足题意的整数对；若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2) ;(3) ，【解析】试题分析：当时,可得（），而当时，（），可得到数列是首项为，公比也为的等比数列，从而可求数列的通项公式；由知，代入，对通项公式进行裂项，即可求得数列的前项和；要求出所有的满足题意的整数对，根据题目意思表达出关于的表达式，然后进行讨论。解析： 当时，与相减，得，即（）， 在中，令可得，即； 故（），故数列是首项为，公比也为的等比数列，其通项公式为；由 知， ， 则 ，即，即， 若存在整数对，则必须是整数，其中只能是的因数，可得时，； 时，；时，； 综上所有的满足题意得整数对为， 20. 已知函数，函数的导函数为 若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程； 若，求证：当时， 恒成立； 若当时， 恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) .【解析】试题分析：（1）由直线与曲线恒相切于同一定点转化为曲线必恒过定点，即可求出切线的方程（2）构造，研究的单调性，从而证明当时， 恒成立（3）按照题目意思构造，求导后进行分类讨论，当时、当时和当时三种情况，求得实数的取值范围解析： 因为直线与曲线恒相切于同一定点，所以曲线必恒过定点，由，令，得，故得曲线恒过的定点为. 因为，所以切线的斜率， 故切线的方程为，即. 因为，所以令，设，在上单调递增， 当时，即在上恒成立， 在上单调递增，因为，故当时， 即恒成立； 令，则.，当时，因为，所以在上单调递增，故，因为当时， ，所以在上单调递增，故.从而，当时， 恒成立. 当时，由可得，所以在上单调递增，故.从而，当时， 恒成立. 当时， 在上单调递增，所以当时， 在内取得最小值.故必存在实数，使得在上，即在上单调递减，所以当时， ，所以在上单调递减，此时存在，使得，不符合题设要求. 综上所述，