2016年山东省济宁市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年山东省济宁市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知 i 为虚数单位，复数 z= + i 的共轭复数为 ，则 的虚部为（ ） A B C i D i 2设集合 A=0， 1， 2， 3， B=x|3x 0，则 AB 等于（ ） A 0， 1 B 1， 2 C 0， 1， 2 D 2 3若函数 f（ x）的定义域为 R，则 “函数 f（ x）是奇函数 ”是 “f（ 0） =0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条 件 4已知圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=2 被直线 y=3x+b 所截得的线段的长度等于 2，则 b 等于（ ） A B C 2 D 5已知 a=b=8 ， c=三个数的大小关系为（ ） A b a c B c a b C a b c D c b a 6某班 m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这 m 名学生中，数学成绩不低于 100 分的人数为 33，则 m 等于（ ） A 45 B 48 C 50 D 55 7从边长为 4 的正方形 部任取一点 P，则 P 到对角线 距离大于 的概率为（ ） A B C D 8将函数 f（ x） =2x+） + 2x+）（ 0 ）图象向左平移 个单位后，得到函数的图象关于点（ ， 0）对称，则函数 g（ x） =x+）在 ， 上的最小值是（ ） A B C D 第 2 页（共 20 页） 9设 x， y 满足约束条件 ，若 z=x+4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m 等于（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 10已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，抛物线 y 的焦点 段 双曲线 C 的右支交于点 A，若 =2 ，则双曲线C 的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 二、填空题 :本大题共 5 小 题。每小题 5 分，共 25 分 . 11已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ） =_ 12记 x表示不超过 x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 _ 13在边长为 4 的等边 ， D 为 中点，则 =_ 14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _ 第 3 页（共 20 页） 15函数 f（ x）的定义域为 D，若满足： f（ x）在 D 内是单调函数； 若存在 a， b D，使得 f（ x）在 a， b上的值域为 2a， 2b，则称函数 f（ x）为 “成功函数 ”若函数 f（ x） =t）（ c 0， c 1）是 “成功函数 ”，则 t 的取值范围为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 16 2015 年 12 月 10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法目前，国内青蒿人工种植发展迅速调查表明，人工种植的青蒿素长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有很强的相关性现将这三项指标分别记为 x， y， z，并对它们进行量化： 0 表示不合格， 1 表示临界合格， 2 表示合格，再用综合指标 =x+y+能 4，则长势为一级；若 2 3，则长势为二级；若 0 1，则长 势为三级为了了解目前人工种植的青蒿素的长势情况研究人员随即抽取了 10 块青蒿人工种植地，得到如表结果； 种植地编号 2 4 x， y， z） （ 0， 1， 0） （ 1， 2， 1） （ 2， 1， 1） （ 2， 2， 2） （ 0， 1， 1） 种植地编号 7 9 x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 2， 1， 2） （ 2， 0， 1） （ 2， 2， 1） （ 0， 2， 1） （ 1）若该地有青蒿人工种植地 180 个，试估计该地中长势等级为三级的个数； （ 2）从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽 取两个，求这两个人工种植地的综合指标 均为 4 的概率 17已知函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ ） = ， 面积为3 ，求 a 的最小值 18已知数列 足： + + = （ n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 bn=， 数列 前 n 项和，对于任意的正整数 n， 2 恒成立，求 实数 的取值范围 19如图，在直角梯形 ， 0， D=2， ， D 底面 M 是 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若点 N 为线段 中点， ， ，求证： 平面 20已知函数 f（ x） =， g（ x） =3 （ 1）当 m=4 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程； 第 4 页（共 20 页） （ 2）若 x （ 1， （ e 是自然对数的底数）时，不等式 f（ x） g（ x） 3 恒成立，求实数 m 的取值范围 21如图，在直角坐标系 ，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，经过椭圆的左顶点 A（ 3， 0）作斜率为 k（ k 0）的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴与点E （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）已 知 P 为线段 中点， l，并且 椭圆 C 于点 M （ i）是否存在定点 Q，对于任意的 k（ k 0）都有 存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （ 的最小值 第 5 页（共 20 页） 2016 年山东省济宁市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知 i 为虚数单位，复 数 z= + i 的共轭复数为 ，则 的虚部为（ ） A B C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 直接共轭复数和复数的概念求出即可 【解答】 解：复数 z= + i 的共轭复数为 ， 故 = i， 故 的虚部为 ， 故选： D 2设集合 A=0， 1， 2， 3， B=x|3x 0，则 AB 等于（ ） A 0， 1 B 1， 2 C 0， 1， 2 D 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解： A=0， 1， 2， 3， B=x|3x 0=x|0 x 3， AB=1， 2， 故选： B 3若函数 f（ x）的定义域为 R，则 “函数 f（ x）是奇函数 ”是 “f（ 0） =0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 f（ x）为奇函数，可得 f（ 0） =0；而仅由 f（ 0） =0 不能推得 f（ x）为奇函数，可反例说明，然后又充要条件的定义可得答案 【解答】 解：由奇函数的定义可知：若 f（ x）为奇函数， 则任意 x 都有 f（ x） = f（ x），取 x=0，可得 f（ 0） =0； 而仅由 f（ 0） =0 不能推得 f（ x）为奇函数，比如 f（ x） = 显然满足 f（ 0） =0，但 f（ x）为偶函数 由充要条件的定义可得： “函数 f（ x）是奇函数 ”是 “f（ 0） =0”的充分不必要条件 故选： A 4已知圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=2 被直线 y=3x+b 所截得的线段的长度等于 2，则 b 等于（ ） 第 6 页（共 20 页） A B C 2 D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先求出圆 C 的圆心 C（ 1， 3），半径 r= ，再求出圆心 C（ 1， 3）到直线 y=3x+d，由此根据圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=2 被直线 y=3x+b 所截得的线段的长度等于2，由勾股定理，能求出 b 的值 【解答】 解：圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=2 的圆心 C（ 1， 3），半径 r= ， 圆心 C（ 1， 3）到直线 y=3x+b 的距离 d= = ， 圆 C：（ x 1） 2+（ y 3） 2=2 被直线 y=3x+b 所截得的线段的长度等于 2， 由勾股定理，得： ， 即 2= +1，解得 b= 故选： B 5已知 a=b=8 ， c=三 个数的大小关系为（ ） A b a c B c a b C a b c D c b a 【考点】 指数函数的图象与性质 【分析】 根据幂的运算法则与指数函数的图象与性质，对 a、 b、 c 的大小进行比较即可 【解答】 解： a=b=8 = = 且 a b； 又 c= 且 b c； a、 b、 c 的大小关系为： a b c 故选： C 6某班 m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这 m 名学生中，数学成绩不低于 100 分的人数为 33，则 m 等于（ ） A 45 B 48 C 50 D 55 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据频率分布直方图，求出数学成绩不低于 100 分的频率，再根据数学成绩不低于100 分的人数为 33 求得 m 【解答】 解：由频率分布直方图知，数学成绩不低于 100 分的频率为 （ 10= 第 7 页（共 20 页） 在这 m 名学生中，数学成绩不低于 100 分的人数为 33， m=33 5 故选： D 7从边长为 4 的正方形 部任取一点 P，则 P 到对角线 距离大于 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析 】 根据题意，画出正方形 出满足条件的点 P 所在的区域面积，由几何概型的概率公式，即可求出对应的概率 【解答】 解：如图所示， E、 F、 G、 H 分别为 中点， 点 P 落在阴影部分外所在的区域， 由几何概型的概率公式，得所求的概率为 P= = 故选： B 8将函数 f（ x） =2x+） + 2x+）（ 0 ）图象向左平移 个单位后，得到函数的图象关于点（ ， 0）对称，则函数 g（ x） =x+）在 ， 上的最小值是（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（ x） =22x+ ），根据函数y=x+）的图象变换规律及余弦函数的性质可解得 的值，求得函数 g（ x）的解析式为 g（ x） =x+ ），利用余弦函数值域求得函数 g（ x）的最值 【解答】 解： f（ x） =2x+） + 2x+） =22x+ ）， 将函数 f（ x）图象向左平移 个单位后，得到函数解析式为： y=2（ x+ ）+ =22x+ ）， 第 8 页（共 20 页） 函数的图象关于点（ ， 0）对称， 对称中心在函数图象上，可得： 22 + ） =2+ ） =0，解得： +=， k Z，解得： =， k Z， 0 ， 解得： = ， g（ x） =x+ ）， x ， ， x+ ， ， x+ ） ， 1，则函数 g（ x） =x+）在 ， 上的最小值是 故选： D 9设 x， y 满足约束 条件 ，若 z=x+4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m 等于（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值和最小值建立方程关系进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， 由 得 ，即 A（ 1， 4）， 由 得 ， 由 z=x+4y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最大 z=1+4 4=17 当直线 y= 经过点 B 时，直线 y= 的截距最小，此时 z 最小 z=m 3+4m=5m 3 z=x+4y 的最大值与最小值得差为 5 17（ 5m 3） =20 5m=5 第 9 页（共 20 页） 得 m=3 故选： A 10已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，抛物线 y 的焦点 段 双曲线 C 的右支交于点 A，若 =2 ，则双曲线C 的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点 B，可得 b= ，即 a2=，设 F（ c， 0）， A（ m， n），运用向量共线的坐标表示，求得 m， n，代入双曲线的方程，解 a， c 的方程组，可得 a， c，进而得到所求双曲线的方 程 【解答】 解：抛物线 y 的焦点 B 为（ 0， ）， 可得双曲线的 b= ，即 a2=， 设 F（ c， 0）， A（ m， n），由 =2 ， 可得 m 0=2（ c m）， n =2（ 0 n）， 即有 m= ， n= ， 将 A（ ， ）代入双曲线方程，可得： =1，即有 2 由 解得 a=2， c= ， 可得双曲线的方程为 =1 故选： D 二、填空题 :本大题共 5 小题。每小题 5 分，共 25 分 . 第 10 页（共 20 页） 11已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ） = 【考点】 函数的值 【分析】 由已知条件先求出 f（ ）的值，由此能求出 f（ f（ ）的值 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ ） =2 2= 1， f（ f（ ） =f（ 1） = e 2= 故答案为： 12记 x表示不超过 x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 7 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 n=8时，退出循环，输出的 S 的值为 7 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，如下； S=0， n=0， 执行循环体， S=0+ =0， 不满足条件 n 6， n=2， S=0+ =1， 不满足条件 n 6， n=4， S=1+ =3， 不满足条件 n 6， n=6， S=3+ =5， 不满足条件 n 6， n=8， S=5+ =7， 满足条件 n 6，退出循环，输出 S 的值为 7 故答案为： 7 第 11 页（共 20 页） 13在边长为 4 的等边 ， D 为 中点，则 = 12 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可画出图形，根据条件便可求出 值，并知道 ，这样根据向量数量积的计算公式便可求出 的值 【解答】 解：如图， 根据题意， ，且 ； = 故答案为： 12 14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 46 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个正方体截去一个三棱柱所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体和体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是： 一个正方体截去一个三棱柱所得的组合体，截面为矩形 且正方体的棱长是 4， A、 B、 C、 D 分别是棱对应四分点， 几何体的体积 V= =46， 故答案为： 46 第 12 页（共 20 页） 15函数 f（ x）的定义域为 D，若满足： f（ x）在 D 内是单调函数； 若存在 a， b D，使得 f（ x）在 a， b上的值域为 2a， 2b，则称函数 f（ x）为 “成功函数 ”若函数 f（ x） =t）（ c 0， c 1）是 “成功函数 ”，则 t 的取值范围为 （ 0， ） 【考点】 函数的值域 【分析】 根据复合函数的单调性，先判断函数 f（ x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论 【解答】 解：若 c 1，则函数 y=t 为增函数， y=增函数， 函数 f（ x） =t）为增函数， 若 0 c 1，则函数 y=t 为减函数， y=减函数， 函数 f（ x） =t）为增函数， 综上：函数 f（ x） =t）为增函数 若函数 f（ x） =t）（ c 0， c 1）是 “成功函数 ”，则 ，即 ， 即 方程 x+3t=0 上的两个不同的正根， 则 ，解得 0 t 故答案为：（ 0， ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 16 2015 年 12 月 10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法目前，国内青蒿人工种植发展迅速调查表明，人工种植的青蒿素长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有很强的相关性现将这三项指标分别记为 x， y， z，并对它们进行量化： 0 表示不合格， 1 表示临界合格， 2 表示合格，再用综合指标 =x+y+能 4，则长势为一级 ；若 2 3，则长势为二级；若 0 1，则长势为三级为了了解目前人工种植的青蒿素的长势情况研究人员随即抽取了 10 块青蒿人工种植地，得到如表结果； 第 13 页（共 20 页） 种植地编号 2 4 x， y， z） （ 0， 1， 0） （ 1， 2， 1） （ 2， 1， 1） （ 2， 2， 2） （ 0， 1， 1） 种植地编号 7 9 x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 2， 1， 2） （ 2， 0， 1） （ 2， 2， 1） （ 0， 2， 1） （ 1）若该地有青蒿人工种植地 180 个，试估计该地中长势等级为三级的个数； （ 2）从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取两个，求这两个人工种植地的综合指标 均为 4 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；收集数据的方法 【分析】 （ 1）先求出样本的频率，再用样本的频率估计总体的频率即可求出，满意度为三级的个数； （ 2）分别列举出从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取两个的所有基本事件，在找到满足条件即两个的满意度指标 均为 4 的基本事件，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ 1）计算 10 块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表： 种植地编号 2 4 6 8 10 综合指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3 由上表可知：满意度为三级（即 0 w 1）的只有 块，其频率为 用样本的频率估计总体的频率，可估计该地中长势等级为三级为 180 =18 个 （ 2）设事件 A 为 “从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取两个，这两个人工种植地的综合指标 均为 4” 由（ 1）可知满意度是一级的（ w 4）有： 6 块，从中随机抽取两个，所有可能的结果为： 7， 共 15 种 其中满意度指标 =4 有： 3 位，事件 A 发生的所有可能结果为： 共 3 种， 所以 P（ A） = = 17已知函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ ） = ， 面积为3 ，求 a 的最小值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） = 2x ）+ ，由 2 2x 2， k Z，即可得解函数 f（ x）的单调递减区间 第 14 页（共 20 页） （ 2）由 f（ ） = ，化简可得： A ） = ，由 A （ 0， ），可得 A 的范围，从而可求 A 的值，利用三角形面积公式可求 2，利用余弦定理，基本不等式即可解得 【 解答】 解：（ 1） f（ x） = + 2x ）+ ， 2 2x 2， k Z，解得： x ， k Z， 函数 f（ x）的单调递减区间为： ， ， k Z （ 2） f（ ） = ，即： 2 ） + = ，化简可得： A ） = ， 又 A （ 0， ），可得： A （ ， ）， A = ，解得： A= ， S ，解得： 2， a= = =2 （当且仅当 b=c 时等号成立） 故 a 的最小值为 2 18已知数列 足： + + = （ n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 bn=， 数列 前 n 项和，对于任意的正整数 n， 2 恒成立，求 实数 的取值范围 【考点 】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用递推关系即可得出 （ 2）利用 “裂项求和 ”可得 利用数列的单调性与不等式的性质即可得出 【解答】 解：（ 1） + + = （ n N*）， 当 n=1 时， = ，解得 当 n 2 时， + + = （ n N*） = ， 第 15 页（共 20 页） 解得 ，当 n=1 时也成立 （ 2） bn= =2 数列 前 n 项和 + +=2 ， 对于任意的正整数 n， 2 恒成立， 实数 的取值范围是 19如图，在直角梯形 ， 0， D=2， ， D 底面 M 是 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若点 N 为线段 中点， ， ，求证： 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明四边形 菱形，对角线 证明 可证明平面 而得平面 平面 （ 2）过点 N 作 点 P，连接 明平面 平面 可证明平面 【解答】 解：（ 1）证明：直角梯形 ， ， ，且 M 是 中点， D， 四边形 平行四边形， 又 D=2， 平行四边形 菱形； 又 底面 面 且 D=D， 平面 有 面 平面 平面 （ 2）过点 N 作 点 P，连接 图所示； 第 16 页（共 20 页） 四边形 平行四边形， 又点 N 为线段 中点， ， ， ， C=2， D， 又 D， M， 四边形 平行四边形， 又 面 面 平面 同理， 平面 又 N=P， 面 面 平面 平面 又 面 平面 20已知函数 f（ x） =， g（ x） =3 （ 1）当 m=4 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程； （ 2）若 x （ 1， （ e 是自然对数的底数）时，不等式 f（ x） g（ x） 3 恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1） m=4 时， f（ 2） =5，从而可求曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程； （ 2） 33 恒成立，利用参数分离法转化求出函数的最值，构造函数 G（ x）= ，当 x （ 1， e时，可求得 G（ x） 0，即 G（ x）在 x （ 1， e时递减，可求 G（ x）在 x （ 1， e时的最小值 【解答】 解：（ 1） m=4 时， f（ x） =4x ， f（ x） =4+ ， f（ 2） =4+1=5， f（ 2） =4 2=2， 切点坐标为（ 2， 2）， 切线方程为 y 2=5（ x 2），即 y=5x 8， 第 17 页（共 20