2016年重庆八中中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 27 页） 2016 年重庆八中中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、 B、 C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案的标号涂黑 1 2 的相反数是（ ） A 2 B 2 C D 2下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 3计算 的结果是（ ） A 1 B 1 C D 4下列计算结果正确的是（ ） A 82 x2+x3=（ 33= 9 xx2=下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A调查一批汽车的使用寿命 B调查重庆全市市民 “五 一 ”期间计划外出旅游 C调查某航班的旅客是否携带了违禁物品 D调查全国初三学生的视力情况 6函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A x 4 B x 2 且 x 4 C x 2 且 x 4 D x 4 7如图， 1=42，那么 2 的度数为（ ） A 48 B 42 C 38 D 21 8已知 x=2 是一元二次方程（ m 2） x 的一个根，则 m 的值为（ ） A 2 B 0 或 2 C 0 或 4 D 0 9如图， O 的直径， O 上的点， 0，过点 D 作 O 的切线交 ，若 ，则 长为（ ） 第 2 页（共 27 页） A 2 B 4 C D 10观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图形中共有 3 个点，第 2 个图形中共有 8个点，第 3 个图形中共有 15 个点，按此规律第 6 个图形中共有点的个数是（ ） A 42 B 48 C 56 D 72 11甲、乙两位运动员在一段 2000 米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面 200 米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是 8 米 /秒，乙的速度是 6 米 /秒，先到终点者在终点原地等待设甲、乙两人之间的距离是 y 米，比赛时间是 x 秒，当两人都到达终 点计时结束，整个过程中 y 与之间的函数图象是（ ） A BC D 12如图，平行四边形 顶点 C 在 y 轴正半轴上， 行于 x 轴，直线 ， 接 比例函数 （ x 0）的图象经过点 D已知 S ，则 k 的值是（ ） 第 3 页（共 27 页） A 2 B 2 C 3 D 4 二、填空题：（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上 13 3 月 20 日， 2016 长安汽车重庆国际马拉松鸣枪开跑，本届重马不仅是 2016 年全国马拉松锦标赛三站中的一站，同时还是 2016 年巴西里约奥运会马拉松唯一一站选拔赛，比赛分为全程、半程、迷你三大项目，吸引了 31900 多名选手参加把数 “31900”用科学记数法表示为 14计 算： = 15如图，已知 ， 接 面积是 积的 ，则 SS 16如图，矩形 ，点 O 在 ， ，以 O 为圆心 长半径画弧，这条弧恰好经过点 D，则图中阴影部分的面积为 17从 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4 这 7 个数中任选一个数作为 a 的值，则使得关于 x 的分式方程 有整数解，且关于 x 的一次函数 y=（ a+1） x+a 4 的图象不经过第二象限的概率是 18如图，正方形 ， ，点 E 是 靠近点 B 的四等分点，点 F 是 中点，连接 点 E 按顺时针方向旋转，使点 B 落在 的 位置处，点 A 经过旋转落在点 置处，连接 点 N，则 长为 第 4 页（共 27 页） 三、解答题：（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 19如图，点 A、 B、 C、 D 在同一直线上， A= F， D求证： C 20 2016 年春节联欢晚会分为 A（语言类）、 B（歌舞类）、 C（魔术类）、 D（杂技类）四类节目为了了解某养老院老人对这几类节目的喜好程度，民政部门在该养老院随机抽取部分老人进行了问卷调查，规定每位老人只 能选一类自己最喜欢的节目，并制成了以下两幅不完整的统计图由图中所给出的信息解答下列问题： （ 1）补全条形统计图； （ 2）已知该养老院共有 230 位老人，请你估计该养老院喜欢语言类节目的老人大约有多少人？ 21化简下列各式： （ 1）（ a+b）（ a 2b）（ a b） 2 （ 2） 第 5 页（共 27 页） 四、解答题：（本大题共 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的 演算过程或推理步骤 22如图，小明为了测量大楼 高度，他从点 C 出发，沿着斜坡面 104 米到点 得大楼顶部点 A 的仰角为 37，大楼底部点 B 的俯角为 45，已知斜坡 坡度为i=1： 参考书据： （ 1）求点 D 距水平面 高度为多少米； （ 2）求大楼 高度约为多少米 23某中学在开学前去商场购进 A、 B 两种品牌的足球，购买 A 品牌足球共花费 3000 元，购买 B 品牌足球共花费 1600 元，且购买 A 品牌足球数量是购买 B 品牌足球的 3 倍，已知购买一个 B 品牌足球比购买一个 A 品牌足球多花 30 元（ 1）求购买一个 A 品牌、一个 （ 2）为了进一步发展 “校园足球 ”，学校在开学后再次购进了 A、 B 两种品牌的足球，每种品牌的足球不少于 15 个，总花费恰好为 2268 元，且在购买时，商场对两种品牌的足球的销售单价进行了调整， A 品牌足球销售单价比第一次购买时提高了 8%， B 品牌足球按第一次购买时销售单价的 9 折出售那么此次有哪些购买方案？ 24如果一个多位自然数的任意两 个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大 1，那么我们把这样的自然数叫做 “妙数 ”例如： 321， 6543， 98， 都是 “妙数 ” （ 1）若某个 “妙数 ”恰好等于其个位数的 153 倍，则这个 “妙数 ”为 （ 2）证明：任意一个四位 “妙数 ”减去任意一个两位 “妙数 ”之差再加上 1 得到的结果一定能被 11 整除 （ 3）在某个三位 “妙数 ”的左侧放置一个一位自然数 m 作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数 A，且 m 大于自然数 A 百位上的数字，否存在一个一位自然数 n，使得自然数（ 9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出 m 和 n 的值；若不存在，请说明理由 五、解答题：（本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 25在 ， 长 点 D，使 C，点 E 是直线 一点，点 F 是直线 一点，连接 接 （ 1）如图 1，若 D= 5， ，求 长 （ 2）如图 2，当 5，点 E 为线段 延长线 上，点 F 在线段 延长线上时，求证： （ 3）如图 3，当 0，点 E 为线段 延长线上，点 F 在线段 延长线上时，猜想线段 线段 数量关系，并证明猜想的结论 第 6 页（共 27 页） 26如图 1，抛物线 与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的右侧），已知 C（ 0， ）连接 （ 1）求直线 解析式 （ 2）点 P 是 x 轴下方的抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴交直线 点 E，交 x 轴于点 F，过点 P 作 点 G，线段 x 轴于点 H设 l= l 的最大值 （ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，点 M 是 x 轴上一动点，连接 直线叠为 接 等腰三角形时，试求出点 M 的坐标 第 7 页（共 27 页） 2016 年重庆八中中 考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、 B、 C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案的标号涂黑 1 2 的相反数是（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 相反数 【分析】 根据一个数的相反数就是在这个数前面添上 “ ”号，求解即可 【解答】 解： 2 的相反数是：（ 2） =2， 故选 A 2下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形 【分析】 根据中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称 图形，故本选项错误 故选 B 3计算 的结果是（ ） A 1 B 1 C D 【考点】 二次根式的加减法 【分析】 先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式求解 【解答】 解：原式 =2 3 = 故选 D 4下列计算结果正确的是（ ） A 82 x2+x3=（ 33= 9 xx2=考点】 整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【分析】 分别利用合并同类项法则以及单项式除以单项式运算法则和积的乘方运算法则化简、同底数幂的乘法运算法则，进而判断得出答案 【解答】 解： A、 82此选项错误； 第 8 页（共 27 页） B、 x2+法计算，故此选项错误； C、（ 33= 27此选项错误； D、 xx2=此选项正确； 故选： D 5下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A调查一批汽车的使用寿命 B调查重庆全市市民 “五 一 ”期间计划外出旅游 C调查某航班的旅客是否携带了违禁物品 D调查全国初三学生的视力情况 【考点】 全面调查与抽样调查 【分析】 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似 【解答】 解： A、调查一批汽车的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故 A 错误； B、调查重庆全市市民 “五 一 ”期间计划外出旅游，调查范围广适合抽样调查，故 B 错误； C、调查某航班的旅客是否携带了违禁物品是事关重大的调查，适合普查，故 C 正确； D、调查全国初三学生的视力情况，调查范围广适合抽样调查，故 D 错误； 故选： C 6函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A x 4 B x 2 且 x 4 C x 2 且 x 4 D x 4 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】 解：由题意得， x+2 0 且 x 4 0， 解得 x 2 且 x 4 故选 B 7如图， 1=42，那么 2 的度数为（ ） A 48 B 42 C 38 D 21 【考点】 直角三角形的性质；平行线的性质 【分析】 先根据两直线平行，同位角相等求出 3，再根据直角三角形两锐角互余即可求出 2 【解答】 解：如图， 1=42， 3= 1=42， 2=90 3=48 故选 A 第 9 页（共 27 页） 8已知 x=2 是一元二次方程（ m 2） x 的一个根，则 m 的值为（ ） A 2 B 0 或 2 C 0 或 4 D 0 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 把 x=2 代入一元二次方程（ m 2） x 中即可得到关于 m 的方程，解此方程即可求出 m 的值 【解答】 解： x=2 是一元二次方程（ m 2） x 的一个根， 4（ m 2） +8 ，即 4m=0， 解得： m=0 或 m=4 故选： C 9如图， O 的直径， O 上的点， 0，过点 D 作 O 的切线交 ，若 ，则 长为（ ） A 2 B 4 C D 【考点】 切线的性质；圆周角定理 【分析】 连接 同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍可求得 0，然后由切线的性质可证明 0，根据三角形的内角和是 180可求得 E=30，依据含 30直角三角形的性质可知 ，再利用勾股定理，即可解答 【解答】 解：如图，连接 0， 0 O 的切线， 0 0 第 10 页（共 27 页） B=4， 在 ， 10观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图形中共有 3 个点，第 2 个图形中共有 8个点，第 3 个图形中共有 15 个点，按此规律第 6 个图形中 共有点的个数是（ ） A 42 B 48 C 56 D 72 【考点】 规律型：图形的变化类 【分析】 由已知四个图形中点的个数可知，第 n 个图形中点的数量为 n（ n+2）个，据此解答可得 【解答】 解： 第 1 个图形中点的个数为： 3 1=3 个， 第 2 个图形中点的个数为： 4 2=8 个， 第 3 个图形中点的个数为： 5 3=15 个， 第 4 个图形中点的个数为： 6 4=24 个， 第 6 个图形中点的个数为： 8 6=48 个， 故选： B 11甲、乙两位运动员在 一段 2000 米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面 200 米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是 8 米 /秒，乙的速度是 6 米 /秒，先到终点者在终点原地等待设甲、乙两人之间的距离是 y 米，比赛时间是 x 秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中 y 与之间的函数图象是（ ） A BC D 【考点】 函数的图象 【分析】 先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的最大距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论 第 11 页（共 27 页） 【解答】 解：当甲跑到终点时所用的时间为： 2000 8=250（秒）， 此时甲乙间的距离为： 2000 200 6 250=300（米）， 乙到达终点时所用的时间为： 6=300（秒）， 最高点坐标为 设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b， 当 0 x 100 时，有 ，解得： ， 此时 y= 2x+200； 当 100 x 250 时，有 ，解得： ， 此时 y=2x 200； 当 250 x 300 时，有 ，解得： ， 此时 y= 6x+1800 y 关于 x 的函数解析式为 y= 整个过程中 y 与之间的函数图象是 B 故选 B 12如图，平行四边形 顶点 C 在 y 轴正半轴上， 行于 x 轴，直线 ， 接 比例函数 （ x 0）的图象经过点 D已知 S ，则 k 的值是（ ） A 2 B 2 C 3 D 4 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质 【 分析】 设点 D 的坐标为（ m， n）（ m 0， n 0），则 CD=m， OC=n由平行线的性质结合平行四边形的性质即可得出 0= 此即可得出 根据相似三角形的性质即可得出 ，即 ，结合三角形的面积公式即可得出 S 根据点 D 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论 【解答】 解：设点 D 的坐标为（ m， n）（ m 0， n 0）， 则 CD=m， OC=n， x 轴， 第 12 页（共 27 页） 四边形 平行四边形， C， 0= ，即 ， C S E=2， S 点 D 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上， k= 故选 D 二、填空题：（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上 13 3 月 20 日， 2016 长安汽车重庆国际马拉松鸣枪开跑，本届重马不仅是 2016 年全国马拉松锦标赛三站中的一站，同时还是 2016 年巴西里约奥运会马拉松唯一一站选拔赛，比赛分为全程、半程、迷你三大项目，吸引了 31900 多名选手参加把数 “31900”用科学记数法表示为 104 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 31900 用科学记数法表示为 104 故答案为： 104 14计算： = 【 考点】 实数的运算；负整数指数幂 【分析】 直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别化简求出答案 【解答】 解：原式 =2 + =2 2 第 13 页（共 27 页） = 故答案为： 15如图，已知 ， 接 面 积是 积的 ，则 SS 1： 9 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 根据等高的两三角形的面积之比等于对应边之比得出 = ，求出 = ，根据相似三角形 的判定得出 据相似三角形的性质得出即可 【解答】 解： 面积是 积的 ， = ， = ， =（ ） 2=（ ） 2= ， 故答案为： 1： 9 16如图，矩形 ，点 O 在 ， ，以 O 为圆心 长半径画弧，这条弧恰好经过点 D，则图中阴影部分的面积为 【考点】 扇形面积的计算；矩形的性质 【分析】 作 P，根据矩形的性质得到 等边三角形，根据三角形的面积公式、扇形的面积公式计算即可 【解答】 解：作 P， 由题意得， E= 第 14 页（共 27 页） ， 0， 则 0， 等边三角形， 面积为 ， 则阴影部分的面积为： = ， 故答案为： 17从 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4 这 7 个数中任选一个数作为 a 的值，则使得关于 x 的分式方程 有整数解，且关于 x 的一次函数 y=（ a+1） x+a 4 的图象不经过第二象限的概率是 【考点】 概率公式；分式方程的解；一次函数图象与系数的关系 【分析】 首先使得关于 x 的分式方程 有整数解，且关于 x 的一次函数 y=（ a+1） x+a 4 的图象不经过第二象限的数，然后直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 关于 x 的分式方程 有整数解， 3 （ x 3） = x， 解得： x= ， x 3， x 1， 当 a= 2， 2， 3 时，分式方程 有整数解； 关于 x 的一次函数 y=（ a+1） x+a 4 的图象不经过第二象限， a+1 0， a 4 0， 1 a 4， 当 a=0， 1， 2， 3， 4 时，关于 x 的一次函数 y=（ a+1） x+a 4 的图象不经过第二象限； 综上，当 a=2， 3 时，使得关于 x 的分式方程 有整数解，且关于 x 的一次函数 y=（ a+1） x+a 4 的图象不经过第二象限； 第 15 页（共 27 页） 使得关于 x 的分式方程 有整数解，且关于 x 的一次函数 y=（ a+1） x+a 4 的图象不经过第二象限的概率是： 故答案为： 18如图，正方形 ， ，点 E 是 靠近点 B 的四等分点，点 F 是 中点，连接 点 E 按顺时针方向旋转，使点 B 落在 的 位置处，点 A 经过旋转落在点 置处，连接 点 N，则 长为 【考点】 旋转的性质；正方形的性质 【分析】 先找出辅助线判断出点 P 是 中点，由旋转得到 判断出 A，M 三点共线，再由 ， =后用勾股定 理计算即可 【解答】 解：如图， 作 中点 M，连接 点 P 是 中点， E 是 点， 由旋转得， ， ， 第 16 页（共 27 页） B= ， ， = = ， 0， A， M 三点共线， ， ， = ， 根据勾股定理得， ， 故答案为： 三、解答题：（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 19如 图，点 A、 B、 C、 D 在同一直线上， A= F， D求证： C 【考点】 全等三角形的判定与性质 【分析】 根据 得 D，再利用 证 等即可 【解答】 证明： D， 在 ， D， D， A= F C 20 2016 年春节联欢晚会分为 A（语言类）、 B（歌舞类）、 C（魔术类 ）、 D（杂技类）四类节目为了了解某养老院老人对这几类节目的喜好程度，民政部门在该养老院随机抽取部分第 17 页（共 27 页） 老人进行了问卷调查，规定每位老人只能选一类自己最喜欢的节目，并制成了以下两幅不完整的统计图由图中所给出的信息解答下列问题： （ 1）补全条形统计图； （ 2）已知该养老院共有 230 位老人，请你估计该养老院喜欢语言类节目的老人大约有多少人？ 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】 （ 1）根据 B 类的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以 D 类所占 的百分比，从而补全统计图； （ 2）用该养老院的总人数乘以该养老院喜欢语言类节目所占的百分比，从而得出答案 【解答】 解：（ 1） D 类节目类型的人数是： 10%=5（人）， 补图如下： （ 2）根据题意得： 230 =69（人）， 答：该养老院喜欢语言类节目的老人大约有 69 人 21化简下列各式： （ 1）（ a+b）（ a 2b）（ a b） 2 （ 2） 【考点】 分式的混合运算；多项式乘多项式；完全平方公式 第 18 页（共 27 页） 【分析】 （ 1）根据多项式乘以多项式、完全平方公式可以对原式进行化简； （ 2）先化简括号内的式子，然后根据分式的除法进行计算即可解答本题 【解答】 解：（ 1）（ a+b）（ a 2b）（ a b） 2 =23 （ 2） = = = = = 四、解答题：（本大题共 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时 每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 22如图，小明为了测量大楼 高度，他从点 C 出发，沿着斜坡面 104 米到点 得大楼顶部点 A 的仰角为 37，大楼底部点 B 的俯角为 45，已知斜坡 坡度为i=1： 参考书据： （ 1）求点 D 距水平面 高度为多少米； （ 2）求大楼 高度约为多少米 【考点】 解直角三角形的应用 直角三角形的应用 坡角问题 【分析】 （ 1）作 E，作 F， y 由 坡度为 i=1： 04 米，得到 =1： 据勾股定理列方程，即可得到结论； （ 2）根据矩形的性质得到 0m，由等腰直角三角形的性质得到 E=40m，根据三角函数的定义即可得到结果 【解答】 解：（ 1）作 E，作 F， 坡度为 i=1： 04 米， 第 19 页（共 27 页） =1： =104， 0（米）； （ 2） 0m， 0m， 5， E=40m， 在 ， 7， AE=40=30（米） E+0m 23某中学在开学前去商场购进 A、 B 两种品牌的足球，购买 A 品牌足球共花费 3000 元，购买 B 品牌足球共花费 1600 元，且购买 A 品牌足球数量是购买 B 品牌足球的 3 倍，已知购买一个 B 品牌足球比购买一个 A 品牌足球多花 30 元（ 1）求购买一个 A 品牌、一个 （ 2）为了进一步发展 “校园足球 ”，学校在开学后再次购进了 A、 B 两种品牌的足球，每种品牌的足球不少于 15 个，总花费恰好为 2268 元，且在购买时，商场对两种品牌的足球的销售单价进行了调整， A 品牌足球销售单价比第一次购买时提高了 8%， B 品牌足球按第一次购买时销售单价的 9 折出售那么此次有哪些购买方案？ 【考点】 分式方程的应用；一元一次不等式组的应用 【分析】 （ 1）设一个 A 品牌的足球需 x 元，则一个 B 品牌的 足球需 x+30 元，根据购买 品牌足球数量的 3 倍，列出方程解答即可； （ 2）设此次可购买， m 个 B 品牌足球，购进 A 牌足球 n 个，根据总花费恰好为 2268 元，列出等式，得出 m 与 n 的关系式，进而利用每种品牌的足球不少于 15 个，得出不等关系求出 n 的取值范围，即可分析得出答案 【解答】 解：（ 1）设购买一个 A 品牌足球需要 x 元，由题意得： = ， 解得： x=50， 经检验： x=50 是原分式方程的 解， x+30=80， 答：购买一个 A 品牌足球需要 50 元，购买一个 B 品牌足球需要 80 元； （ 2）调整价格后，购买一个 A 型足球需： 50（ 1+8%） =54（元）， 购买一个 B 型足球需： 80 2（元）， 第 20 页（共 27 页） 设此次购买 m 个 A 型足球和 n 个 B 型足球，则： 54m+72n=2268， 则 m=42 n， 由 ，解得 15 n ， m=42 n 为整数， n 为整数， n 能被 3 整除， n=15 或 18， 当 n=15 时， m=42 15=22， 当 n=18 时， m=18， 方案一：购买 22 个 A 型足球和 15 个 B 型足球； 方案二：购买 18 个 A 型足球和 18 个 B 型足球 24如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大 1，那么我们把这样的自然数叫做 “妙数 ”例如： 321， 6543， 98， 都是 “妙数 ” （ 1）若某个 “妙数 ”恰 好等于其个位数的 153 倍，则这个 “妙数 ”为 765 （ 2）证明：任意一个四位 “妙数 ”减去任意一个两位 “妙数 ”之差再加上 1 得到的结果一定能被 11 整除 （ 3）在某个三位 “妙数 ”的左侧放置一个一位自然数 m 作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数 A，且 m 大于自然数 A 百位上的数字，否存在一个一位自然数 n，使得自然数（ 9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出 m 和 n 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 因式分解的应用 【分析】 （ 1）设这个 “妙数 ”个位数字为 a，根据题意判断 “妙数 ”的尾位数，从而得知这个 “妙数 ”为 3 位数，列出方程 100（ x+2） +10（ x+1） +x=153x，求解可得； （ 2）设四位 “妙数 ”的个位为 x、两位 “妙数 ”的个位为 y，分别表示出四位 “妙数 ”和两位 “妙数 ”，再将四位 “妙数 ”减去任意一个两位 “妙数 ”之差再加上 1 的结果除以 11 判断结果是否为整数即可； （ 3）设三位 “妙数 ”的个位为 z，可知 A=1000m+111z+210，继而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（ 9m+z+1） +800+90+n z，由 8 n z 9、 1000（ 9m+z+1） 1000（ 9 9+9+1） =91000 知其百位数一定是 8，且该数为 5 位数，若存在则该数为 88888，从而得出 即 9m+z=87、 n z= 2，由 m z+2 知 z m 2，而 z=87 9m m 2，解之可得 m 可得 m 值，进一步即可得答案 【解答】 解：（ 1）设这个 “妙数 ”个位数字为 a， 若这个 “妙数 ”为 4 位数，则其个位数字最大为 6，根据题意可知这个 “妙数 ”最大为 6153=918，不合题意； 这个 “妙数 ”为 3 位数，根据题意得： 100（ x+2） +10（ x+1） +x=153x， 解得： x=5， 则这个 “妙数 ”为 765， 故答案为： 765； 第 21 页（共 27 页） （ 2）由题意，设四位 “妙数 ”的个位为 x，则此数为 1000（ x+3） +100（ x+2） +10（ x+1）+x=1111x+3210， 设两位 “妙数 ”的个位为 y，则此数为 10（ y+1） +y=11y+10， = =101x y+291， x、 y 为整数， 101x y+291 也为整数， 任意一个四位 “妙数 ”减去任意一个两位 “妙数 ”之差 再加上 1 得到的结果一定能被 11 整除； （ 3）设三位 “妙数 ”的个位为 z，由题意，得： A=1000m+100（ z+2） +10（ z+1） +z=1000m+111z+210， 9A+n=9000m+999z+1890+n =9000m+1000z+1890+n z =1000（ 9m+z+1） +800+90+n z， m、 n 是一位自然数， 0 z 9，且 z 为整数， 8 n z 9， 9A+n 的百位为 8，且 1000（ 9m+z+1） 1000（ 9 9+9+1） =91000， 9A+n 为五位数，且 9A+n=88888， ， 9m+z=87， n z= 2， m z+2， z m 2， z=87 9m m 2， m m 是一个自然数， m=9， 于是 z=6， n=4， 答： m=9， n=4 五、解答题：（本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 25在 ， 长 点 D，使 C，点 E 是直线 一点，点 F 是直线 一点，连接 接 （ 1）如图 1，若 D= 5， ，求 长 （ 2）如图 2，当 5，点 E 为线段 延长线上，点 F 在线段 延长线上时，求证： （ 3）如图 3，当 0，点 E 为线段 延长线上，点 F 在线段 延长线上时，猜想线段 线段 数量关系，并证明猜想的结论 第 22 页（共 27 页） 【考点】 三角形综合题 【分析】 （ 1）首先证明 F=15，推出 0，由此即可解决问题 （ 2）如图 2 中，连接 M，作 N， 点 O 由 出 E，再由 出 N=出 N，推出 等腰直角三角形，由此即可解决问题 （ 3） 图 3 中，连接 延长线于 N，在线段