人教版九年级数学上册《22.3实际问题与一元二次方程》同步测试含答案解析

第 1页（共 25页） 际问题与一元二次方程 一、解答题 1某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 A、 时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 l（ 时间 t（ s）满足关系： l= t（ t 0），乙以 4cm/圆的长度为 21 （ 1）甲运动 4 （ 2）甲、乙从开始 运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ （ 3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 2某商场以每件 280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360元时，每月可售出 60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1元，那么商场每月就可以多售出 5件 （ 1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （ 2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 3 某商店购进 600个旅游纪念品，进价为每个 6元，第一周以每个 10元的价格售出 200个，第二周若按每个 10元的价格销售仍可售出 200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 4小林准备进行如下操作实验；把一根长为 40把每一段各围成一个正方形 （ 1）要使这两 个正方形的面积之和等于 58林该怎么剪？ （ 2）小峰对小林说： “ 这两个正方形的面积之和不可能等于 48” 他的说法对吗？请说明理由 第 2页（共 25页） 5要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案 （ 1）求小亮设计方案中甬路的宽度 x； （ 2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的 6如图所示，在长和宽分别是 a、 边长为 （ 1）用 a， b， （ 2）当 a=6， b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长 7 “ 低碳生活，绿色出行 ” ，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自 2013年起逐月增加，据统计，该商城 1月份销售自行车 64辆， 3月份销售了 100辆 （ 1）若该商城前 4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城 4月份卖出多少辆自行车？ （ 2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入 3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知 00元 /辆，售价为 700元 /辆， 000元 /辆，售价为 1300元 /辆根据销售经验， 型车的 2倍，但不超过 设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 8 2010年底某市汽车拥有量为 100万辆，而截止到 2012 年底，该市的汽车拥有量已达到 144万辆 第 3页（共 25页） （ 1）求 2010年底至 2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （ 2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到 2013年底全市汽车拥有量不超过 计 2013年报废的汽车数量是 2012年底汽车拥有量的 10%，求 2012年底至 2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求 9为响应区 “ 美丽广西 清洁乡村 ” 的号召，某校开展 “ 美丽广西 清洁校园 ” 的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为 498化 150了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的 果一共用 20天完成了该项绿化工作 （ 1）该项绿化工作原计划每天完成多少 （ 2）在绿化工作中有一块面积为 170矩形的长比宽的 2倍少 3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？ 10在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图 1和图 2 发现并验证了平方差公式和完全平方公式 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化 【研究速算】 提出问题： 47 43， 56 54， 79 71， 是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以 47 43为例： （ 1）画长为 47，宽为 43 的矩形，如图 3，将这个 47 43的矩形从右边切下长 40，宽 3的一条，拼接到原矩形上面 （ 2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式： 47 43的矩形面积或（ 40+7+3） 40的矩形与右上角 3 7的矩形面积之和，即 47 43=（ 40+10） 40+3 7=5 4 100+3 7=2021 用文字表述 47 43的速算方法是：十位数字 4加 1的和与 4相乘，再乘以 100，加上个位数字 3与7 的积，构成运算结果 第 4页（共 25页） 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10的两位数相乘 的速算方法是（用文字表述） 【研究方程】 提出问题：怎样图解一元二次方程 x 35=0（ x 0）？ 几何建模： （ 1）变形： x（ x+2） =35 （ 2）画四个长为 x+2，宽为 造图 4 （ 3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（ x+x+2） 2或四个长 x+2，宽 上中间边长为 2的小正方形面积 即（ x+x+2） 2=4x（ x+2） +22 x（ x+2） =35 （ x+x+2） 2=4 35+22 （ 2x+2） 2=144 x 0 x=5 归纳提炼：求关于 x（ x+b） =c（ x 0， b 0， c 0）的解 要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长） 【研究不等关系】 提出问题：怎样运用矩形面积表示（ y+3）（ y+2）与 2y+5的大小关系（其中 y 0）？ 几何建模： （ 1）画长 y+3，宽 y+2的矩形，按图 5方式分割 （ 2）变形： 2y+5=（ y+3） +（ y+2） （ 3）分析：图 5中大矩形的面积可以表示为（ y+3）（ y+2）；阴影部分面积可以表示为（ y+3） 1，画点部分的面积可表示为 y+2，由图形的 部分与整体的关系可知（ y+3）（ y+2） （ y+3） +（ y+2），即（ y+3）（ y+2） 2y+5 归纳提炼： 当 a 2， b 2时，表示 a+ 根据题意，设 a=2+m， b=2+n（ m 0， n 0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长） 第 5页（共 25页） 11 “4 20” 雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷 16800顶，该商家备有 2辆大货车、 8辆小货车运送帐篷计划大货车比小货车每辆每 次多运帐篷 200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完 （ 1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ （ 2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运 200辆小货车每次比原计划少运 300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑 次，小货车每天比原计划多跑 天恰好运送了帐篷 14400顶，求 12雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了 “ 一方有难，八方支援 ” 赈灾捐款活动第一天收到捐款 10 000元，第三天收到捐款 12 100元 （ 1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （ 2）按照（ 1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 13某商场今年 2月份的营业额为 400万元， 3月份的营业额比 2月份增加 10%， 5月份的营业额达到 3月份到 5月份营业额的月平均增长率 14某渔船出海捕鱼， 2010 年平均每次捕鱼量为 10吨， 2012年平均每次捕鱼量为 2010年 2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率 15如图，要建造一个直角梯形的花 圃要求 ： 4，另外三边的和为20米设 长为 5 （ 1）请求出 含字母 （ 2）若该花圃的面积为 50 米 2，且周长不大于 30米，求 第 6页（共 25页） 16铜仁市某电解金属锰厂从今年 1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的 1至 w（万元）满足 w=10x+90 （ 1）设使用回收净化设备后的 1至 为 y，请写出 y与 （ 2）请问前多少个月的利润和等于 1620万元？ 第 7页（共 25页） 际问题与一元二次方程 参考答案与试题解析 一、解答题 1某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 A、 时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 l（ 时间 t（ s）满足关系： l= t（ t 0），乙以 4cm/圆的长度为 21 （ 1）甲运动 4 （ 2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ （ 3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】（ 1）根据题目所给的函数解析式把 t=4 （ 2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可； （ 3）根据图可知，二者第二次相遇走过的总路程 为一圈半，也就是三个半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可 【解答】解：（ 1）当 t=4s 时， l= t=8+6=14（ 答：甲运动 44 （ 2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 21 甲走过的路程为 t，乙走过的路程为 4t， 第 8页（共 25页） 则 t+4t=21， 解得： t=3或 t= 14（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s； （ 3）由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆： 3 21=63 则 t+4t=63， 解得： t=7或 t= 18（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开 始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆，第二次相遇时二者走的总路程为三个半圆，本题难度一般 2某商场以每件 280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360元时，每月可售出 60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1元，那么商场每月就可以多售出 5件 （ 1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （ 2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题 【分析】（ 1）先求出每件的利润再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（ 2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 销售问题的数量关系建立方程求出其解即可 【解答】解：（ 1）由题意，得 60（ 360 280） =4800 元答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （ 2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200元，且更有利于减少库存，则每件 商品应降价x 元，由题意，得（ 360 x 280）（ 5x+60） =7200，解得： ， 0 有利于减少库存， x=60 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 60元 第 9页（共 25页） 【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润 =售价进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键 3某商店购进 600个旅游纪念品，进价为每个 6元，第一周以每个 10元的价格售出 200个，第二周若按每个 10元的价格销售仍可售出 200个，但商 店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题 【分析】根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可 【解答】解： 由题意得出： 200（ 10 6） +（ 10 x 6）（ 200+50x） +（ 4 6） （ 600 200）（ 200+50x） =1250， 即 800+（ 4 x）（ 200+50x） 2（ 200 50x） =1250， 整理得： 2x+1=0， 解得： x1=， 10 1=9 答：第二周的销售价格为 9 元 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键 4小林准备进行如下操作实验；把一根长为 40把每一段各围成一个正方形 （ 1）要使这两个正方形的面积之和等于 58林该怎么剪？ （ 2）小峰对小林说： “ 这两个正方形的面积之和不可能等于 48” 他的说法对吗？请说明理由 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】（ 1）设剪成的较短的这段为 长的这段就为（ 40 x） 可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于 58 （ 2）设剪成的较短的这段为 长的这段就为（ 40 m） 可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于 48果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确 第 10页（共 25页） 【解答】解：（ 1）设剪成的较短的这段为 长的这段 就为（ 40 x） 题意，得 （ ） 2+（ ） 2=58， 解得： 2， 8， 当 x=12时，较长的为 40 12=28 当 x=28时，较长的为 40 28=12 28（舍去） 较短的这段为 12长的这段就为 28 （ 2）设剪成的较短的这段为 长的这段就为（ 40 m） 题意，得 （ ） 2+（ ） 2=48， 变形为： 40m+416=0， =（ 40） 2 4 416= 64 0， 原方程无实数根， 小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于 48 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键 5要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案 （ 1）求小亮设计方案中甬路 的宽度 x； （ 2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的 第 11页（共 25页） 【考点】一元二次方程的应用；解直角三角形的应用 【专题】几何图形问题 【分析】（ 1）根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可； （ 2）求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可； 【解答】解：（ 1）根据小亮的设计方案列方程得：（ 52 x）（ 48 x） =2300 解得： x=2或 x=98（舍去） 小亮设计方案中甬道的宽度为 2m； （ 2）作 足为 I， 1=60 ， 0 ， 四边形 D 由（ 1）得 x=2， E=2= 小颖设计方案中四块绿地的总面积为 52 48 52 2 48 2+（ ） 2=2299平方米 第 12页（共 25页） 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的应用的主要题型 6如图所示，在长和宽分别是 a、 （ 1）用 a， b， （ 2）当 a=6， b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】（ 1）边长为 形面 积减去 4个小正方形的面积即可 （ 2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出 【解答】解：（ 1） 4 （ 2）依题意有： 4 将 a=6， b=4，代入上式，得 ， 解得 ， （舍去） 即正方形的边长为 第 13页（共 25页） 【点评】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性 依据等量关系 “ 剪去部分的面积等于剩余部分的面积 ” ，建立方程求解 7 “ 低碳生活，绿色出行 ” ，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自 2013年起逐月增加，据统计，该商城 1月份销售自行车 64辆， 3月份销售了 100辆 （ 1）若该商城前 4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城 4月份卖出多少辆自行车？ （ 2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入 3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知 00元 /辆，售价为 700元 /辆， 000元 /辆，售价为 1300元 /辆 根据销售经验， 型车的 2倍，但不超过 设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用 【分析】（ 1）首先根据 1月份和 3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得 4 月份的销量即可； （ 2）设 据 “A 型车不少于 倍，但不超过 列出不等式组，求出 后求出利润 据一次函数的性质求解即可 【解答】解：（ 1）设平均增长率为 a，根据题意得： 64（ 1+a） 2=100 解得： a=5%或 a= 月份的销量为： 100（ 1+25%） =125（辆） 答：四月份的销量为 125辆 （ 2）设购进 购进 ， 根据题意得： 2 x 解得： 30 x 35 利润 W=（ 700 500） x+ （ 1300 1000） =9000+50x 50 0， 当 x=35时， 不是整数，故不符合题意， x=34，此时 =13（辆） 答：为使利润最大，该商城应购进 34 辆 3 辆 第 14页（共 25页） 【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点 8 2010年底某市汽车拥有量为 100万辆，而截止到 2012 年底，该市的汽车拥有量已达到 144万辆 （ 1）求 2010年底至 2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （ 2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到 2013年底全市汽车拥有量不超过 计 2013年报废的汽车数量是 2012年底汽车拥有量的 10%，求 2012年底至 2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求 【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】（ 1）设 2010年底至 2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 x，根据 2010年底该市汽车拥有量为 100万辆，而截止到 2012年底，该市 的汽车拥有量已达 144万辆可列方程求解 （ 2）设 2012年底到 2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为 y，则 2013年底全市的汽车拥有量为 144（ 1+y） 90%万辆，根据要求到 2013年底全市汽车拥有量不超过 【解答】解：（ 1）设 2010 年底至 2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 x， 根据题意， 100（ 1+x） 2=144 1+x= 0% 合题意，舍去） 答： 2010年底至 2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 20% （ 2）设 2012年底到 2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为 y， 根据题意得： 144（ 1+y） 144 10% 得： y ： 2012年底至 2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在不超过 18%能达到要求 【点评】本题考查了一元二次方程的应用及不等式的应用，重点考查理解题意的能力，根据增长的结果做为等量关系列出方程求解，根据 2013车的总量这个不等量关系列出不等式求解 9为响应区 “ 美丽广西 清洁乡村 ” 的号召，某校开展 “ 美丽广西 清洁校园 ” 的活动，该校经过精心设计 ，计算出需要绿化的面积为 498化 150了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的 果一共用 20天完成了该项绿化工作 第 15页（共 25页） （ 1）该项绿化工作原计划每天完成多少 （ 2）在绿化工作中有一块面积为 170形的长比宽的 2倍少 3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？ 【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用 【分析】（ 1）根据一共用 20天列出分式方程求解即可； （ 2）根据矩形的面积为 170 【解答】解：（ 1）设该项绿化工作原 计划每天完成 提高工作量后每天完成 根据题意，得 ，解得 x=22 经检验， x=22是原方程的根 答：该项绿化工作原计划每天完成 22 （ 2）设矩形宽为 y m，则长为（ 2y 3） m， 根据题意，得 y（ 2y 3） =170，解得 y=10或 y= 不合题意，舍去） 2y 3=17 答：这块矩形场地的长为 17m，宽为 10m 【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是从题目中找到相关的等量关系并列出方程 求解 10在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图 1和图 2 发现并验证了平方差公式和完全平方公式 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化 【研究速算】 第 16页（共 25页） 提出问题： 47 43， 56 54， 79 71， 是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以 47 43 为例： （ 1）画长为 47，宽为 43 的矩形，如图 3， 将这个 47 43的矩形从右边切下长 40，宽 3的一条，拼接到原矩形上面 （ 2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式： 47 43的矩形面积或（ 40+7+3） 40的矩形与右上角 3 7的矩形面积之和，即 47 43=（ 40+10） 40+3 7=5 4 100+3 7=2021 用文字表述 47 43的速算方法是：十位数字 4加 1的和与 4相乘，再乘以 100，加上个位数字 3与7 的积，构成运算结果 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） 十位数字加 1的和与十位数 字相乘，再乘以 100，加上个位数字的积，构成运算结果 【研究方程】 提出问题：怎样图解一元二次方程 x 35=0（ x 0）？ 几何建模： （ 1）变形： x（ x+2） =35 （ 2）画四个长为 x+2，宽为 造图 4 （ 3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（ x+x+2） 2或四个长 x+2，宽 上中间边长为 2的小正方形面积 即（ x+x+2） 2=4x（ x+2） +22 x（ x+2） =35 （ x+x+2） 2=4 35+22 （ 2x+2） 2=144 x 0 x=5 归纳提炼：求关于 x（ x+b） =c（ x 0， b 0， c 0）的解 要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长） 【研究不等关系】 第 17页（共 25页） 提出问题：怎样运用矩形面积表示（ y+3）（ y+2）与 2y+5的大小关系（其中 y 0）？ 几何建模： （ 1）画长 y+3，宽 y+2的矩形，按图 5方式分割 （ 2）变形： 2y+5=（ y+3） +（ y+2） （ 3）分析：图 5中大矩形的面积可以表示为（ y+3）（ y+2）；阴影部分面积可以表示为（ y+3） 1，画点部分的面积 可表示为 y+2，由图形的部分与整体的关系可知（ y+3）（ y+2） （ y+3） +（ y+2），即（ y+3）（ y+2） 2y+5 归纳提炼： 当 a 2， b 2时，表示 a+ 根据题意，设 a=2+m， b=2+n（ m 0， n 0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长） 【考点】一元二次方程的应用 【分析】【研究速算】：可根据已知示例归纳总结； 【研究方程】：画四个长为 x+b，宽为 ，构造图 ，按照示例步骤分割即可得； 【研究不等关系】：画长 m+2，宽 n+2的矩形，按图 方式分割，根据图形的部分与整体的关系即可得 【解答】解：【研究速算】 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）为：十位数字加 1的和与十位数字相乘，再乘以 100，加上个位数字的积，构成运算结果； 故答案为：十位数字加 1的和与十位数字相乘，再乘以 100，加上个位数字的积，构成运算结果 第 18页（共 25页） 【研究方程】 归纳提炼：求关于 x（ x+b） =c（ x 0， b 0， c 0）的解 几何建模： （ 1）画四个长为 x+b，宽为 造图 ， （ 2）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（ x+x+b） 2或四个长 x+b，宽 上中间边长为 即（ x+x+b） 2=4x（ x+b） + x（ x+b） =c （ x+x+b） 2=4c+ （ 2x+b） 2=4c+ x 0 2x+b= ， x= 【研究不等关系】 提出问题：怎样运用矩形面积表示（ y+3）（ y+2）与 2y+5的大小关系（其中 y 0）？ 几何建模： （ 1）画长 m+2，宽 n+2的矩形，按图 方式分割， （ 2）分析：图 中大矩形的面积可以表示为（ m+2）（ n+2）；阴影部分面积可以表示为（ m+2） 1，画点部分的面积可表示为 n+2，由图形的部分与整体的关系可知（ m+2）（ n+2） （ m+2） +（ n+2），即 a+b 第 19页（共 25页） 【点评】本题主要考查一元 一次方程、一元一次不等式的建模，根据示例和方程、不等式的特点构建几何图形并完成分割是解题的关键 11 “4 20” 雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷 16800顶，该商家备有 2辆大货车、 8辆小货车运送帐篷计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷 200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完 （ 1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ （ 2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运 200辆小货车每次比原计划少运 300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每 天比原计划多跑 次，小货车每天比原计划多跑 天恰好运送了帐篷 14400顶，求 【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用 【分析】（ 1）设小货车每次运送 大货车每次运送（ x+200）顶，根据两种类型的车辆共运送 16800顶帐篷为等量关系建立方程求出其解即可； （ 2）根据（ 1）的结论表示出大小货车每次运输的数量，根据条件可以表示出大货车现在每天运输次数为（ 1+ m）次，小货车现 在每天的运输次数为（ 1+m）次，根据一天恰好运送了帐篷 14400顶建立方程求出其解就可以了 【解答】解：（ 1）设小货车每次运送 大货车每次运送（ x+200）顶， 根据题意得： 22（ x+200） +8x=16800， 解得： x=800 大货车原计划每次运： 800+200=1000顶 答：小货车每次运送 800顶，大货车每次运送 1000顶； 第 20页（共 25页） （ 2）由题意，得 2 （ 1000 200m）（ 1+ m） +8（ 800 300）（ 1+m） =14400， 解得 ： ， 1（舍去） 答： 【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据各部分工作量之和 =工作总量建立方程是关键 12雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了 “ 一方有难，八方支援 ” 赈灾捐款活动第一天收到捐款 10 000元，第三天收到捐款 12 100元 （ 1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （ 2）按照（ 1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】（ 1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数 （ 1+每次增长的百分率） 2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可； （ 2）第三天收到捐款钱数 （ 1+每次增长的百分率） =第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可 【解答】解：（ 1）设捐款增长率为 x，根据题意列方程得， 10000 （ 1+x） 2=12100， 解得 合题意，舍去）； 答：捐款增长率为 10% （ 2） 12100 （ 1+10%） =13310元 答：第四天该单位能收到 13310元捐款 【点评】 本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数 （ 1+每次降价的百分率） 2=第三天收到捐款钱数 13某商场今年 2月份的营业额为 400万元， 3月份的营业额比 2月份增加 10%， 5月份的营业额达到 3月份到 5月份营业额的月平均增长率 【考点】一元二次方程的应用 第 21页（共 25页） 【专题】增长率问题；压轴题 【分析】本题是平均增长率问题，一般形式为 a（ 1+x） 2=b， 果设平均增长率为 x，那么结合到本题中 00 （ 1+10%），即 3月份的营业额， b 就是 月份的营业额由此可求出 【解答】解：设 3月份到 5 月份营业额的月平均增长率为 x， 根据题意