《线性代数》-线性代数试卷(a)

线性代数试卷A一、选择题（每题3分，共15分）1_A_,22101210211的值为则的秩若矩阵AARAAA1DC0B或者或2_B_,1|AAA则，且为正交矩阵设AD）ACAAATT3设,是N维列向量,0T,N阶方阵TE,3N，则在A的个特征值中,必然_B_A有个特征值等于1B有1个特征值等于1C有1个特征值等于1D没有1个特征值等于14_D_,则阶方阵，且秩相等，既为设BRRNBAA,DR2,RCR205_B_,BAXNARANM则非齐次线性方程组的秩设矩阵一定无解B可能有解一定有唯一解一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1设A是N阶方阵A的伴随矩阵，行列式2|A，则|_22N1_2D中第二行元素的代数余子式的和412JJ_0_,其中D113已知实二次型32123232,4XAXXF正定,则实常数A的取值范围为_BA42N阶行列式,其中N阶矩阵_A2B2NABBAA00BB5设A，12而N2为正整数，则_21NA三、计算题每题9分,共54分1计算N阶行列式MXXMDNNN3213212求矩阵X使1206,102,01BABXA，其中3设非齐次线性方程组3432121DXXCBA有三个解向量12，21，32求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解其中TKJIDCBA,为已知常数4已知实二次型,321XF032321XX经过正交变换QYX,化为标准形5YY,求实参数及正交矩阵Q5设线性方程组为BXXA432143211730，问A,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解在有无穷多解时求出其通解6在四元实向量构成的线性空间4R中,求A使4321,为R的基,并求由基43214321,到的过渡矩阵P,其中01012013141A12A0304四、证明题每题8分,共16分1设321,是欧氏空间V的标准正交基,证明1232123123也是V的标准正交基2设FAXT是N元实二次型,有N维实列向量21,X,使1AT0，20,证明存在维列实向量0,使00线性代数考试A参考答案一、选择题1A2B3B4D5B二、填空题112|NA；20；327|A；4NBA2；50A21N三、计算题1解各列加到第一列，提出公因式MXXMDNNNI221MXXNNI01218分11XNIN9分21BAXA3分12032012/03X9分3由题设条件知1,2,3是BAX的三个解，因此316，321是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A的秩R2又A中有二阶子式052，AR2，因此R23分因此31，3为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解1K6243，21,K为任意常数9分4F的矩阵30A有特征值5,2,13由0,92|21得2分A对应的线性无关的特征向量1，02，135分A对应的单位正交特征向量121，02，10238分于是正交变换XQY中的正交矩阵,321Q109分520143131725BABAA3分当A4时，方程组有唯一解当4，B2时，方程组无解5分当4，2时，RA34，方程组有无穷多组解,其通解为012K，K为任意常数9分6解A2分设,4321A,4321B,则10，01A4分设P,4324321,则0121ABAP9分四、证明题1证因为0,2,491,3231321214分1112323,4,1，所以32是V的标准正交基。8分2证F是不定二次