结构设计中材料分散性的统计特征分析

结构设计中材料性能分散性统计特征的影响分析结构设计中材料性能分散性统计特征的影响分析摘要在大多数情况下，由于结构件需要试验至破坏，且航空发动机结构件及材料费用较高，因而很难对大量的试件进行试验。在小样本甚至极小样本（50的数据预处理。N2242数据的中位秩、平均秩和百分位秩这里将主要针对小样本数据来进行讨论其常用的分析方法。样本数通常，但50N是这些公式同样适用于大样本的数据处理。对于工程中常用的寿命类型的数据，常常分为完全寿命和不完全寿命。对于完全寿命的计算公式有中位秩、平均秩和秩分布的百分位秩公式；对于不完全寿命数据，有近似中位秩公式、新平均秩、中位秩和百分位秩近似公式10。现只对常用的前两种近似公式简述如下。1）近似中位秩公式213403NITFI式中样本总数；N寿命数据由小到大排列的顺序号，I,32,1I2）平均秩（即数学期望）公式2141NITFI式中样本总数；N寿命数据由小到大排列的顺序号。I23正态分布数据常用处理方法231参数的点估计2311矩估计方法最传统的对于平均值与方差的估计，不再赘述。2312参数的极大似然估计对数正态分布的密度函数是2150,212LNTETTFT以定时截尾试验子样为例，推导分布参数的极大似然估计。设子样容量为，试N验至时截止，共失效个，其顺序统计量为0TR021021LNLLNLTTTTTRR则似然函数为216RNTIRTETRNLIL12,0LN2112设，标准正态分布函数，并记为标准/L0TZ00Z）（）（0正态分布密度函数，则似然方程为217RIIRIITZRNTLT12003302LNLLNLL然后，使用数值方法求解上述超越方程组，即可得到参数，的极大似然估计。对于定数截尾寿命试验，与定时截尾相同，只需令为即可，正态分布与对数0TR正态分布估计的不同之处在于不必对其寿命数据取对数，即式中的用代替即可。IXIT为使用方便，对型和型截尾试验，已有不少数据表可供计算的MLE之,2用。例如GUPTA1952、COHEN1961、SCHMEENELSON1976、可靠性试验用表（1987）等。这里介绍COHEN的方法。记型截尾时间为，型截尾时间为，则型截尾时，的MLE为0YRY,2218；202,S则型截尾时，的MLE为,2219；22,RYSY以上两式中是截尾样本的均值和方差2,SY220RIIRIYSY122,被截尾产品的的百分率记为221NRH/令定数截尾试验，定时截尾试验，,/220RYSR其参数为001001010005070010090,，可查文献3附H015）（表92313定数截尾情形下参数的线性估计1）最优线性无偏估计正态分布的累积函数分布为（不可靠度）222TXDEF02LG1L式中为以10为底的常用对数。设则标准化后有LG,LXZT223GZT在一批产品中随机抽取个样品，至个失效时停止试验，得顺序统计量为NRR21TT则21GGRTLTL即21XR于是，容易得到参数和的最优线性无偏估计（BLUE）224RJJRJRJJRJTNDXJNTCJC11LG,L,式中，最优线性无偏估计函数可查表（参考文献9中的附表,JRR和B3）。2）与之类似还可以求得最优线性不变估计，简单线性无偏估计和简单线性不变估计。这方面的有关内容从略，但应指出当样本量时，用最优线性无偏估计和25N最优线性不变估计，可以得到精度较高的估计；在最优线性估计方法计算比时，较复杂，改为使用简单线性无偏估计和简单线性不变估计的方法。2314最小二乘估计1）现介绍正态分布参数的最小二乘估计最小二乘法提供了一个客观确定最佳拟合直线的方法，是一种使数据点距离这条直线纵坐标偏差的平方和小于任何一条其他直线的方法。最小二乘法确定的直线可用下式表示225BXAY式中任意一值对应的计算值；YXY分别为回归方程中两参数的估计值。BA,使纵坐标偏差的平方和最小的和可由下式求得AB226NXBYA227NXB22（具体的公式推导可以参考文献7）2）对数正态参数的最小二乘估计（与上部分相似，不再赘述）2315图估法现介绍在正态概率纸下的图估计11。应用正态分布坐标纸进行点估计均值和方差，从而可以进一步计算可靠性参数，图估计通过将秩近似公式得到的累积失效概率与作图法相结合，将正态分布函数改换成一拟合的直线，从而得到相应的点估计参数。具体方法如下1）取正态坐标纸，将故障数据整理，从小到大依次排序。2）应用平均秩或中位秩等近似公式，按照故障总数计算秩的相应值。N3）将故障数据绘在正态坐标纸上，横坐标为故障事件，如频率、时间或循环次数等。纵坐标为故障发生概率（中位秩值）。4）将坐标纸上的数据点，作线性拟合连成一条直线。在作图法中此直线由人为所致，因此直线将因人而异。也可以将各点采用最小二乘法等作直线拟合。5）纵坐标取05位置点，作横线与直线相交于C点，然后自C点向下作垂TF线与横坐标轴相交于D点，该D点的横坐标值就是所求的均值（估计值）。6）取纵坐标0159处，作横线与直线相交于E点，然后自E点向下作垂线T与横坐标轴相交于F点，F点的横坐标值设为Q，则知，由此可得。Q7）当都已知时，可以进行其他可靠性参数计算。（此部分内容具体可参考文和献9）对数正态概率纸上的图估计与上类似，不再赘述。232参数的区间估计2321正态参数的区间估计1）的区间估计已知时，设其中已知。求的置信水的一个样本，是来自正态母体,20321NX0平为的区间估计。易知的极大似然估计为样本均值其分布为，于是NIIX1,/,20NN228,0/0NU对于给定的置信水平，有12291/2/02/UNXUP然后利用不等式变形，可得2301/02/102/NUU因此，的置信度为的置信区间为1231NUXU/02/1L2）的置信区间已知时，2设其中已知。求的置信水的一个样本，是来自正态母体,20321NX02平为的置信区间。首先，从假设易得分布的定义可知20,3,1,于是，由NII2322102XNII因此，对于给定的置信水平，的置信水平为的置信区间为21233/2102/1NXNIIUIIL3）均未知时的区间估计和设从服从正态分布的某批产品中随机抽取件产品进行试验，得到一组,2NN完全样本值。由极大似然估计得到的点估计分别为与NX321,2和NIX1NIIS122容易证明，但是并非是的无偏估计，因此用的无偏估计和分别是22,SXS去估计应进行修偏。可以寻找修偏系数，使得SC/CE当然，修偏系数与样本量有关，其值见表21。CN表21修偏系数表由表21可见，当较小时（特别是），直接用去估计，估计值偏小，只N10NS有当足够大时（如）时，这种差别才可以忽略。因此建议，当时，用N2020N的修正值，即S去估计234CS/N2345678910C079790886209213094000951509594096500969309727N152025304050C098230986809896099140993609949由于，因此，在的置信水平下，的置信区间为1/122NSN1223512/122NSUL由于，因此，在的置信水平下，的置信区间为1NTSX23612/1/NTSXUL2322对数正态参数的区间估计设某产品寿命服从参数为的对数正态分布；先从该产品中随机抽取件进行,N试验，试验到全部产品失效，得到寿命安全样本；对每个观测值做变换，NTT321,IT，可得的样本。）（NITXI,32,1LGXNX321,由对数正态分布的性质可知，因此参数可用下式进行估计，,N2，即237NIINITX11LG238NIINIIXTS12122L给定置信度，对数均值和对数标准差的区间估计可由正态参数的区间估1计公式计算。对数正态分布可靠度的置信区间，亦可经对数变换后，再利用正态分布可靠度置信区间的计算方法求得。对于不完全数据的正态及对数正态参数及特征量的区间估计见第4章。24小结本章简要介绍了数据采集、数据检验、数据参数估计和点估计等，这些内容是传统的数据分析处理方法，一般其在分析处理时只有参数的区间估计考虑了存活率（可靠性），基本没有考虑置信度。本文主要是在数据处理分析中将置信度和存活率同时加以考虑，并以单侧容限系数为出发点进行对比分析研究，但是传统的经典方法仍然具有实际的指导意义。3完全数据下单侧容限系数分析与比较31单侧容限系数311正态分布容忍限的精确值12设为自正态总体中抽取的简单随机样本，,2,1NX,N2的充分统计量为），（31）1,122NIINIIXS在总体中，若已知，则水平为的容忍上下限和容忍区间,2N2和），（分别为。但现在未知，由于知道分U,U,2/2/和2和2SX和别是的良好估计，因此将上述容忍上限中的用代替得到。2和和SX和U由于估计而带来的随机性，水平的容忍上限不见得正好是，而可能），（1要将系数修改为某个，既与有关，也与有关（注意与无关）。容忍下限UU和容忍区间也如此处理。首先来求容忍上限，即找到使为可靠性水平和置信水平为的容SX），（1忍上限。按定义，对给定的和，05时，选用经典近似限的改进公式4，可保证最大百分比误差值在3以内；当子样数较少（5时N（366）（1N2单侧容限系数系数为（367）1122UNUKRR现对样本标准差修正系数的有效性进行讨论，分别给出样本数为550，置信度分别为095,090，存活率分别为090,099的不乘以修正系数的传统单侧容限系数与乘以修正系数的单侧容限系数相对单侧容限系数的误差值进行比较，结果如图39312，图中横坐标为子样数，纵坐标为（理论值近似值）/理论值。图39置信度095存活率090的单侧容限系数图310置信度095存活率099的单侧容限系数图311置信度090存活率090的单侧容限系数图312置信度090存活率099的单侧容限系数通过对乘以标准差修正系数和不乘以标准差修正系数的单侧容限系数值与单侧容限精确值的百分比误差相比较，可以发现（1）乘以标准差修正系数的单侧容限系数比精确值所得结果偏于保守，而不乘以标准差修正系数的单侧容限系数相对于精确值偏于危险。（2）在样本数大于10时，乘以标准差修正系数后的单侧容限系数与精确值的百分比误差普遍小于不乘以标准差修正系数的百分比误差。（3）当样本数大于10时，这种方法不管是否乘以标准差修正系数，其与精确值的百分比误差保持在2以内。（4）当样本数大于等于5，小于等于10时，乘以标准差修正系数后，其与单侧容限系数值的百分比误差反而偏高。（5）当置信度较高时（置信度95及其以上），不乘以标准差修正系数的单侧容限系数在样本数为540时的百分比误差值均比乘以标准差修正系数的单侧容限系数都较小。（由于数据不充分，“置信度95及其以上”仅为一假设，需要进一步验证，但在95置信度时的数据确实证明了上述问题）需要说明的是当标准差修正值取近似值时，其单侧容限系数与经典的一阶近似限公式推导出的系数值完全相同，仔细观察推导过程及参阅相关文献，的确可以发现两者同是由一阶近似公式推导出的。因而对于经典的一阶近似，可以得出相关的结论（1）当样本数大于10时，建议在单侧容限系数的基础上乘以标准差修正系数，可以得到与精确的单侧容限值更接近的值。（2）当样本数小于10时，不乘以标准差修正值，可获得较精确的结果。（但是如321所述，当样本数较小时，尽量不使用精确度较低的一阶近似公式方法）（3）在较高置信度时（大于等于95时），当样本数小于40时，不乘以标准差修正值，此时的计算精度较高；反之，在较低置信度时（小于等于90）时，需要乘以标准差修正值以获得较高的精度。（由于数据值有限，此结论（3）还有待进一步验证与完善）33小结本章分别对完全数据的单侧容限系数给出了7种求解方法，并分析比较了标准差修正系数的作用。可以得到如下结论当时，选用BAYES近似公式，最大百分比误差值在3以内，且无明显的偏向5N规律；当子样数5时，选用经典近似限的改进公式4，最大百分比误差值在3以内，无明显的偏向规律；当子样数较少（25）采用简单线性无偏估计和简单线性不变估计，目前后两N种方法在一定置信度和存活率下的单侧容限系数尚没有，当需要时，可以采用同样的数值方法进行模拟。2）当有历史数据可用时，可以只在有限寿命区的高应力水平下采用定时截尾试验（定数截尾试验类似），即在有限寿命区进行一组成组试验（即单点成组试验），然后使用文献20根据历史得出的SN曲线确定PSN曲线的方法进行计算，即可得到不完全数据的SN曲线。对于非线性的SN曲线拟合方法国内多采用基于极大似然法的数值计算来解决，对于SN曲线形状表达式的选取也不局限于上面两种，还有STROMEYER公式，WEIBULL公式17等。53发动机叶片定寿方法改进531压气机转子叶片定寿的传统方法21（1）模型的建立建立压气机转子叶片的有限元模型；通常由于压气机前面叶片的工作温度较低，可以不考虑温度的影响，认为叶片主要承受离心力与气动力的作用；可以由材料数据手册中查得叶片所用材料（如TC4）的力学性能数据，以及考虑相应的应力集中系数（如3）的疲劳数据。KT（2）载荷谱的确定确定几种典型的飞行任务剖面，并对飞行剖面进行压缩处理，包括去伪读数，峰谷值检测，无效幅值去除（需要注意的是，在此处为了简化计算可以把高循环疲劳去掉，当然如果要考虑的话，可将载荷谱按高低循环疲劳耦合作用的线性累积损伤寿命预测方法进行处理）；根据飞行剖面确定出一些典型的飞行状态进行计算，并得出危险点的应力剖面；将应力剖面进行雨流处理，结合任务混频即可求出叶片的载荷谱。（3）计算叶片寿命根据等寿命曲线将应力谱转换为对称循环应力谱；根据应力疲劳数据，进行线性插值算出在当前应力下的循环寿命；利用线性累加原理算出总的累积损伤并计算出总寿命。532考虑材料分散性和载荷分散性的压气机转子叶片定寿方法首先，有必要对传统定寿方法作进一步的分析。在传统的定寿方法中，作了以下近似（1）由于压气机前面级的转子叶片温度较低，忽略了温度的影响。（2）传统方法中忽略了高循环疲劳对发动机转子叶片寿命的影响，而高循环疲劳在压气机转子叶片的寿命研究中占有相当重要的地位。对叶片而言，最主要的是周期性激励。叶轮机中的叶片排总是承受着周期性的非定常流的作用，通常由于上游叶片排尾迹、来流畸变、支板或吊架的位势场以及高温热载荷作用，致使叶片发生强迫振动18。对于第一级压气机转子叶片，可仅考虑来流畸变的影响，而来流畸变主要发生在飞机快速起降和空中特技飞行（空中格斗）等几个飞行剖面内。对于转子叶片的振动问题，正如美军标中曾多次明确指出的那样，由于受到“阻尼可变性、零件间的响应差异、未知激振源等未知因素的敏感性”，致使它们的振动介质、载荷条件产生了变化，从而，作为响应的振动应力谱也将随之而异，值得注意的是它们的综合响应尤其是高循环部分，并不能满足上述过程对随机过程要求的“各态历经性”19。（3）没有考虑加载顺序对疲劳寿命的影响。（当然可以选择双线性累积损伤理论，但由于其计算过程相对线性累积损伤理论要复杂得多，对此不做进一步改进）（4）忽略了外物损伤和气体腐蚀的影响。针对以上几种近似原则并结合原有的传统对压气机转子叶片寿命分析过程，考虑材料分散性和载荷分散性等影响，给出比传统方法更精确的压气机转子叶片寿命估算方法。相应的改进方法如下（1）利用历史数据并结合51和52节提到的关于一定置信度和存活率下的SN曲线的试验和拟合方法，得出在一定置信度和存活率下的SN曲线。（2）高循环疲劳的影响，可将其分为两类在一般工作状态下的影响相对较小的高循环疲劳，认为其是一直存在的；在飞机做特技飞行（或空中格斗及快速起降）时，由进气畸变引起的振动相对较大的高循环疲劳，参考飞机飞行的历史信息，将其加入到特定几个飞行剖面对应的应力剖面中。为了安全起见，对于高循环疲劳应力的选择可以参考已得到的试验数据，并取较大值。（3）对载荷谱分散性的影响进行分析改进，对给出的几个应力剖面进行雨流处理后得到的应力循环进行损伤量比较，通过损伤量的大小并结合不同飞机的任务剖面将其工作类型进行分级，得到高，中，低三种工作负荷下的飞机的任务混频，从安全性考虑，将工作负荷等级上边界点的损伤量带入并进行计算。通过以上方法，可将材料的分散性和载荷的分散性都加以考虑，可以得到一个较精确的第一级压气机转子叶片寿命的估计值，当然为了安全性的考虑，最终仍要乘以一定的安全系数，但其远小于传统方法中比较粗糙的46的安全系数值。54小结本章先给出了有关文献上的一种对于SN曲线拟合的经典方法，然后对中高有限寿命区一线性模型进行分析计算，当采用完全数据时，使用最优线性无偏估计所得的结果与理论值相差很小，但对于定数截尾试验，最优线性无偏估计的优越性体现出来，可以充分利用实验数据，缩短试验时间，减少破坏试验件等。因而，对于满足线性模型的有限寿命区SN曲线拟合试验，只要试验方法中采用成组法时，都可以考虑使用定数截尾试验的方法，使用最优线性无偏估计进行计算。尤其当中高寿命区分散性较大时，可以为了节省时间，采用最优线性无偏估计，并结合使用相应的单侧容限系数值进行实验数据处理可以得到较好的结果。最后通过考虑材料的分散性和载荷的分散性，对压气机第一级转子叶片进行寿命估计的方法进行改进。结论通过对单侧容限系数的求解方法进行分析对比，得到以下结论经典近似限改进后的方法4当子样数5时具有很小的误差值，近似效果较好；当子样数20时，二NN阶近似12相对于经典近似限改进后的方法与精确值的偏差更小；而目前常用的为文献178等大多数文献给出的单侧容限系数的精确解（有一定的使用局限，前面已述）；但是，当5时，选用经典近似限的改进公式；5NN当子样数较少并且有可以利用的历史数据时，可以考虑使用二维单侧容限系数法5。对于标准差修正系数，只适用于在一阶近似方法的前提下使用，精确表中的系数，以及其他方法算得的系数均无须考虑标准差修正系数（即系数）；当样本数10时，N建议在单侧容限系数的基础上乘以标准差修正系数，可以得到与精确的单侧容限值更接近的值；当样本数10时，不乘以标准差修正值，可获得更精确的结果（但是如N321所述，当样本数较小时，尽量不采用精确度较低的一阶近似公式方法）。但要说明一点，单侧容限系数并不是越小越好，当选取某一近似计算公式算得的单侧容限系数近似值小于精确值，并不能说明其比精确值更优，当单侧容限系数值偏小时，其存活率或其置信度将达不到要求。对不完全数据的处理，可以优先采用最优线性无偏估计的方法，对其单侧容限值，通过数值模拟值与理论值的对比，可以发现，模拟值的相对误差基本在5以内，除了在故障个数很小时（故障数2）的几个数据点误差较大，其余数据点与理论值很接近。相对于传统的完全数据使用单侧容限系数进行统计的方法，最优线性无偏估计方法可以充分地利用不完全数据（或可以考虑使用定数截尾的试验方法），而对于完全数据，两者的处理结果相差很小，且后者的处理结果较为保守。实际试验中，可以采用节省时间，减少破坏试验件数的定数截尾试验方法，无疑此时使用带有单侧容限系数值的最优线性无偏估计方法可以得到相对传统完全数据的试验方法更优的结果。当然，在采用定数截尾试验时，如果样本数最优线性估计方法计算比较复杂，可以改时，25N为使用简单线性无偏估计和简单线性不变估计的方法。最后通过考虑材料的分散性和载荷的分散性，对压气机第一级转子叶片的寿命估计估计方法进行改进。参考文献1美童珣洲可靠性和有效性评审程序手册M北京宇航出版社，198