南京市第十四中学校本课程教材

南京市第十四中学校本课程教材常见的数学方法和数学思想大观主编付英波审核南京市第十四中学数学教研组目录第一讲数学方法和数学思想的简单认识第二讲定义法第三讲配方法第四讲换元法第五讲待定系数法第六讲参数法第七讲反证法第八讲数形结合思想第九讲分类讨论思想第十讲函数与方程思想第十一讲等价转化思想第一讲数学方法和数学思想的简单认识美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套“，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想；是在提出问题、解决问题过程中，所采用的各种方式、手段、途径“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施有关的“数学思想”的技术与操作程式中可以说“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，数学思想的数学的灵魂，它是数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得的数学基本方法是数学思想的具体体现，是数学的行为，是解决问题的重要手段，它不仅有明确的内涵，而且具有模式化与可操作性的特征，有实施的步骤和做法。常用数学方法配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；常用的数学逻辑方法分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；高考经典问题求解中的数学方法一般是指“定义法、配方法、换元法、待定系数法、反证法”等，有时在解决更小范围被的数学问题所使用的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法”等数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。常用数学思想数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、转化（化归）思想等我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查数学中渗透着基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到我们学习和应用数学的思维活动上，就能在发展我们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于学习数学、发展能力并开发智力都是至关重要的我们将近年来高考常用的数学方法和数学思想给同学们做个系统的学习，以帮助大家进一步理解数学的深刻内涵，同学也能帮助大家学好数学、用好数学。第二讲定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去典型例题例1求过定点M1,2，以X轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨12迹方程分析运动的椭圆过定点M，准线固定为X轴，所以M到准线距离为2抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到建立一个方程，再由离心率的定|AF21义建立一个方程解设AX,Y、FX,M，由M1,2，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为Y根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到，消M得（X1）1，XMY12122Y432所以椭圆下顶点的轨迹方程为（X1）12Y432解题回顾求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到本题还引入了一个参数M,列出的是所满足的方程组，消去参数M就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用例2已知FXXCX，F214，F4252，求YLOGFX的N2定义域，判定在,1上的单调性3分析要判断函数的单调性，必须首先确定N与C的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断解由得FCN214425C41所以FXXX又FX0得0，XX1231243所以XXXX1121232所以FXFX0即FX在,1上是减函数123因为1CKRDK或K1141442已知SINCOS1，则SINCOS的值为（）4A1B1C1或1D03函数YLOG2X5X3的单调递增区间是（）122A（,B,C,D,354541254544在正项等比数列A中，AA2AAAA25，则N153537AA_355已知方程XA2XA10的两根X、X，则点PX,X在圆XY2121224上，则实数A_2第四讲换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理换元法又称辅助元素法、变量代换法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用换元的方法有局部换元、三角换元、均值换元等局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现例如解不等式4220，先变形为设2T（T0），而变为熟悉的一元二次不XX等式求解和指数方程的问题三角换元应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元如求函数Y的值域时，X1易发现X0,1，设XSIN，0,，问题变成了熟悉的求三角函22数值域为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要如变量X、Y适合条件XYR（R0）时，则可作三角代换2XRCOS、YRSIN化为三角问题均值换元如遇到XYS形式时，设XT，YT等等S2我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大典型例题例1ABC的三个内角A、B、C满足AC2B，1COSAC，求COS的值2COSBAC2分析由已知“AC2B”和“三角形内角和等于180”的性质，可得；由“AC120”进行均值换元，则设，再106AC60代入可求COS即COSA2解法一由ABC中已知AC2B，可得,B1206由AC120，设，60代入已知等式得1COSA160COS160COS123SIN123SINCOSI4222,CO23解得COS，即COSAC2解法二由AC2B，得AC120，B60所以1COSCOS2，设M，M，A21S2所以COSA，COSC，1两式分别相加、相减得COSACOSC2COSCOSCOS，AC2AC22MCOSACOSC2SINSINSIN，32即SIN，232M2代入SINCOS1AC整理得3M16M120,4解出M6，2代入COSAC2例2设A0，求FX2ASINXCOSXSINXCOSX2A的最大值和2最小值解设SINXCOSXT，则T,，由SINXCOSX212SINXCOSX得SINXCOSX221FXGTT2A（A0），T,1222T时，取最小值2A2A21当2A时，T，取最大值2A2A；1当00恒成立，求KX192Y62的范围分析由已知条件1，可以发现它与AB1有相似X192Y622之处，于是实施三角换元解由1，X192Y62设COS，SIN，34即XY1COSIN代入不等式XYK0得3COS4SINK0，即K1），则FX的值域是2A4_3已知数列A中，A1，AAAA，则数列通项NN1N1A_N4设实数X、Y满足X2XY10，则XY的取值范围是_25方程3的解是_1X6不等式LOG21LOG222的解集是_22X1第五讲待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式FXGX的充要条件是对于一个任意的A值，都有FAGA；或者两个多项式各同类项的系数对应相等待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解使用待定系数法，它解题的基本步骤是第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析（1）利用对应系数相等列方程；（2）由恒等的概念用数值代入法列方程；（3）利用定义本身的属性列方程；（4）利用几何条件列方程比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程典型例题例1已知一元二次函数的顶点为，且图象经过点，试求函数2,15,2的表达式。解由已知一元二次函数的顶点为,可设所求二次函数为021AXY又图象经过点5,2则125A即3故所求函数为2XY例2已知一元二次函数与轴交点为2,0、3,0，且函数图象还经过点，试求函数的表达式。8,1解由已知一元二次函数与轴交点为2,0、3,0X可设所求二次函数为32AY又函数图象还经过点，代入上式，得,13218A即故所求函数为32XY例3过直线X2Y30与直线2X3Y20的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程解设所求的直线方程为X2Y32X3Y20，整理得，依题意，列方程得于是所求的直线方程为8X5Y200或2X5Y100解提回顾1本解法用到过两直线交点的直线系方程，是待定系数2待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法强化训练1设FX是一次函数，且其在定义域内是增函数，又F1F1X4X12，则FX的表达式为（）A、FXX2B、FX21X2C、FXX1D、FX2X12若函数YSIN2XACOS2X的图象关于直线X8对称，那么A的值为（）A、B、2C、1D、13二次不等式AX2BX20的解集是X|21，则2X、3Y、5Z从小到大排列是_XYZ2若K0时，FX0、A0、A2时分A0、A0和A0且A1，比较|LOG1X|与|LOG1X|的大AA小分析比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数A有关，所以对底数A分两类情况进行讨论解因为01（1）当00，LOG1X02（2）当A1时，LOG1X0，所以AA|LOG1X|LOG1X|LOG1XLOG1XLOG1XAAA20；由（1）、（2）可知，|LOG1X|LOG1X|AA解提回顾本题要求对对数函数YLOGX的单调性的两种情况十分熟悉，即当A1时其是增函数，当00，使得LG（SC）成立LGLSCCN2N1并证明结论分析要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解其中在应用等比数列前N项和的公式时，由于公式的要求，分Q1和Q1两种情况解设A的公比Q，则A0，Q0N1（1）当Q1时，SNA，从而SSSNAN2AN1NN2N1211AA0,使得LG（SC）LGLSCCNN2N1成立以上例题是属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型例3设函数FXAX2X2，对于满足10，求实数A的取值范围分析含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解解当A0时，FXA（X）21A所以或120FA4120FA或146820FAA1或；12当A12解提回顾本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数A分A0、A0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用1441例4在XOY平面上给定曲线Y2X，设点AA,0，AR，曲线上的点2到点A的距离的最小值为FA，求FA的函数表达式分析求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件X0下的最小值问题，而引起对参数A的取值讨论解设MX,Y为曲线Y2X上任意一点，则2|MA|XAYXA2XX2A1XAXA122222A12由于Y2X限定X0，所以分以下情况讨论2当A10时，XA1取最小值，即|MA2A1；2MIN当A1MX1对满足|M|2的一切实数M的取值都成2立求X的取值范围分析此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于X的不等式讨论然而，若变换一个角度以M为变量，记FMX1M2X1，则问题转化2为求一次函数（或常数函数）FM的值在2,2内恒负时参数X应满足的条件解设FMX1M2X1,则2FX2102解得X（,）73解提回顾本题有别于关于X的不等式2X1MX1的解集是2,2时2求M的值、关于X的不等式2X1MX1在2,2上恒成立时求M的范围2在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化例2若ZX4XYYZ0,求证X、Y、Z成等差数列2分析题设正好是判别式B4AC0的形式，因此构造一个一元二次方程2求解证明当XY时，可得XZ，X、Y、Z成等差数列；当XY时，设方程XYTZXTYZ0，由0得2TT，并易知T1是方程的根12所以TT1，2YZX即2YXZ，所以X、Y、Z成等差数列解提回顾题设条件具备或经变形整理后具备XXA、XXB的1212形式，则利用根与系数的关系构造方程；具备B4AC0或B4AC0的形2式，可利用根的判别式构造一元二次方程强化训练1等差数列A中，A84，前N项和为S,已知S0，SF12X12分析从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件证明FXFXF122X12TGXTGXTG12SINCOX1IS2INCOSX12IX21IX121COSXX2COSXCOSX2121COSXCOSXSINXSINX2COSXCOSX112COSXCOSXSINXSINXF12122X12解提回顾本题在用分析法证明数学问